تمارين ومسائل - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: تمارين ومسائل

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حل أنظمة المعادلات الخطية (تطبيقات)

المفاهيم الأساسية

نظام المعادلات الخطية: معادلتان خطيتان أو أكثر تربط بين متغيرين أو أكثر، ويُطلب إيجاد قيم المتغيرات التي تحقق جميع المعادلات في وقت واحد.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل أنظمة المعادلات الخطية (تطبيقات)

1. نمذجة المسائل الكلامية

الخطوات

#### 1. تعريف المتغيرات

##### مثال: x = عدد الدقائق، y = قيمة الفاتورة

#### 2. كتابة المعادلات

##### مثال: y = قيمة الاشتراك + (تكلفة الدقيقة × عدد الدقائق)

#### 3. تكوين النظام

##### مثال:

###### الشركة A: y = 14.5 + 0.05x

###### الشركة B: y = 20 + 0.04x

2. طرق الحل

الحل البياني

#### تمثيل المعادلتين بيانياً

#### إيجاد نقطة التقاطع (x, y)

##### مثال: (550, 42)

الحل الجبري

#### تكوين النظام وحله جبرياً

3. تفسير الحل

نقطة التقاطع

#### تمثل عدد الوحدات (x) والتكلفة (y) التي تتساوى عندها القيمتان

#### مثال: عند 550 دقيقة، تكون الفاتورة 42 ريالاً في كلا الشركتين

```

نقاط مهمة

  • يمكن تمثيل العديد من المواقف الحياتية (مثل فواتير الاتصال) بأنظمة معادلات خطية.
  • نقطة تقاطع الخطين في التمثيل البياني تمثل حل النظام.
  • يجب كتابة خطوات الحل والتبريرات بوضوح للحصول على الدرجة الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

اقرأ السؤال بعناية؛ لديك معلومات عن شركتين مختلفتين للاتصالات والعروض للاشتراكات الشهرية المقدمة من كل منها. حيث إن قيمة الفاتورة تعتمد على قيمة ثابتة للاشتراك الشهري، بالإضافة إلى مبلغ متغير يعتمد على عدد دقائق الاتصال، والمطلوب منك تحديد عدد الدقائق التي يمكن استخدامها من قبل المشترك لكل من الشركتين بحيث يدفع المبلغ نفسه، ويمكنك تكوين نظام معادلتين آنيتين وحله.

نوع: محتوى تعليمي

إجابة تستحق الدرجة الكاملة (2).

نوع: محتوى تعليمي

كون نظامًا من معادلتين، وحلّه.

نوع: محتوى تعليمي

قيمة الفاتورة الشهرية = قيمة الاشتراك الشهري + تكلفة الدقيقة × عدد الدقائق.

نوع: محتوى تعليمي

افترض أن y = قيمة الفاتورة الشهرية، و x = عدد الدقائق المستعملة شهريا.

نوع: محتوى تعليمي

(الشركة (A) y = 14.5 + 0.05x

نوع: محتوى تعليمي

(الشركة (B) y = 20 + 0.04x

نوع: محتوى تعليمي

حل النظام بيانيا.

نوع: محتوى تعليمي

حل النظام هو (550, 42)، أي أن المشترك سيدفع 42 ريالا إذا اتصل 550 دقيقة شهريًا، سواء أكان مشتركا في الشركة A أو B . خطوات الحل والحسابات والتبريرات واضحة، وتوصل الطالب إلى الإجابة الصحيحة، إذن تستحق هذه الإجابة درجتين.

تمارين ومسائل

نوع: محتوى تعليمي

تمارين ومسائل

نوع: محتوى تعليمي

اقرأ كل سؤال فيما يأتي، وحدد المطلوب، ثم استعمل المعلومات الواردة في السؤال، واكتب خطوات الحل:

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اقترض علي ومحمود مبلغ 11000 ريال لشراء آلة زراعية لبدء مشروعهم التجاري لقص الحشائش في الحدائق، فإذا كانوا يتقاضون مبلغ 245 ريالًا أجرة من كل زبون لقص حشائش الحديقة الواحدة، ويدفعون 20.5 ريالا بدل صيانة وثمنا للمحروقات، فبعد كم حديقة سيبدؤون في تحقيق الربح.

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

يرغب خالد في شراء بعض الأدوات المدرسية بحيث لا يدفع أكثر من 50 ريالا، فإذا كان ثمن المسطرة الواحدة 4.75 ريالات، وثمن القلم الواحد 6.5 ريالات، وأراد شراء قطعتين من كل نوع على الأقل، اكتب نظام المتباينات، ومثل منطقة الحل على المستوى الإحداثي. ثم أعط ثلاثة حلول مختلفة.

🔍 عناصر مرئية

Graph of two linear equations

Two linear equations are plotted on a Cartesian grid. The x-axis represents عدد الدقائق (number of minutes), and the y-axis represents قيمة الفاتورة (بالريال) (bill value in riyals). The intersection point of the two lines is marked as (550, 42).

📄 النص الكامل للصفحة

اقرأ السؤال بعناية؛ لديك معلومات عن شركتين مختلفتين للاتصالات والعروض للاشتراكات الشهرية المقدمة من كل منها. حيث إن قيمة الفاتورة تعتمد على قيمة ثابتة للاشتراك الشهري، بالإضافة إلى مبلغ متغير يعتمد على عدد دقائق الاتصال، والمطلوب منك تحديد عدد الدقائق التي يمكن استخدامها من قبل المشترك لكل من الشركتين بحيث يدفع المبلغ نفسه، ويمكنك تكوين نظام معادلتين آنيتين وحله. إجابة تستحق الدرجة الكاملة (2). كون نظامًا من معادلتين، وحلّه. قيمة الفاتورة الشهرية = قيمة الاشتراك الشهري + تكلفة الدقيقة × عدد الدقائق. افترض أن y = قيمة الفاتورة الشهرية، و x = عدد الدقائق المستعملة شهريا. (الشركة (A) y = 14.5 + 0.05x (الشركة (B) y = 20 + 0.04x حل النظام بيانيا. حل النظام هو (550, 42)، أي أن المشترك سيدفع 42 ريالا إذا اتصل 550 دقيقة شهريًا، سواء أكان مشتركا في الشركة A أو B . خطوات الحل والحسابات والتبريرات واضحة، وتوصل الطالب إلى الإجابة الصحيحة، إذن تستحق هذه الإجابة درجتين. --- SECTION: تمارين ومسائل --- تمارين ومسائل اقرأ كل سؤال فيما يأتي، وحدد المطلوب، ثم استعمل المعلومات الواردة في السؤال، واكتب خطوات الحل: --- SECTION: 1 --- اقترض علي ومحمود مبلغ 11000 ريال لشراء آلة زراعية لبدء مشروعهم التجاري لقص الحشائش في الحدائق، فإذا كانوا يتقاضون مبلغ 245 ريالًا أجرة من كل زبون لقص حشائش الحديقة الواحدة، ويدفعون 20.5 ريالا بدل صيانة وثمنا للمحروقات، فبعد كم حديقة سيبدؤون في تحقيق الربح. --- SECTION: 2 --- يرغب خالد في شراء بعض الأدوات المدرسية بحيث لا يدفع أكثر من 50 ريالا، فإذا كان ثمن المسطرة الواحدة 4.75 ريالات، وثمن القلم الواحد 6.5 ريالات، وأراد شراء قطعتين من كل نوع على الأقل، اكتب نظام المتباينات، ومثل منطقة الحل على المستوى الإحداثي. ثم أعط ثلاثة حلول مختلفة. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Graph of two linear equations Description: Two linear equations are plotted on a Cartesian grid. The x-axis represents عدد الدقائق (number of minutes), and the y-axis represents قيمة الفاتورة (بالريال) (bill value in riyals). The intersection point of the two lines is marked as (550, 42). X-axis: عدد الدقائق Y-axis: قيمة الفاتورة (بالريال) Data: The graph shows two linear equations intersecting at (550, 42).

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 18

سؤال 23: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{10}{x}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 24: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{12}{x+2}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 25: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{6}{x-3}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 26: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{8}{x-4}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 27: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{4}{x+4}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 28: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{2}{x-1}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 29: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{3}{x+1}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال س 29 أ: أكتب دالة تمثل هذا الموقف. a) حل النظام بيانيا. f(x) = $\frac{28}{x}$

الإجابة: y = 0, x = 0

سؤال س 29 ب: أكتب دالة تمثل هذا الموقف. b) مثل هذه الدالة بيانيا. دالة كسرية في الربع الأول، خطوط التقارب 0 = y

الإجابة: y = 0, x = 0

سؤال 30: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{x}{x-4}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 31: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{x+2}{x+2}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 32: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{x^2+6x+8}{x+2}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 33: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{x^2-9}{x-3}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 34: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{x^2-1}{x+1}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 35: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{x^2+5x+6}{x+2}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال 36: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f(x) = $\frac{x^2-4}{x-2}$

الإجابة: خطوط التقارب: x = 0, y = 0

سؤال س 37 أ: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: a) حل النظام بيانيا. f(x) = $\frac{15}{x+10}$

الإجابة: y = 0, x = 0

سؤال س 37 ب: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية، ونقط الانفصال (إن وجدت) للتمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: b) مثل هذه الدالة بيانيا. دالة كسرية في الربع الأول، خطوط التقارب 0 = y

الإجابة: y = 0, x = 0

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الخطوة الأولى لحل نظام معادلتين خطيتين جبرياً لإيجاد عدد الدقائق التي تتساوى فيها فاتورة شركتي اتصالات؟

  • أ) رسم المعادلتين بيانياً
  • ب) تعيين قيمة عشوائية لـ x
  • ج) مساواة المعادلتين (y1 = y2)
  • د) حساب ميل كل معادلة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: مساواة المعادلتين (y1 = y2)

الشرح: الخطوة الأساسية هي وضع المعادلتين المتعلقتين بالفاتورة (y) في حالة مساواة، لأننا نبحث عن عدد الدقائق (x) الذي يجعل الفاتورة متساوية في الحالتين. مثال: 14.5 + 0.05x = 20 + 0.04x.

تلميح: تذكّر أن الهدف هو إيجاد النقطة التي تتساوى فيها قيم y (الفاتورة) لكلا المعادلتين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في التمثيل البياني لنظام المعادلتين y = 14.5 + 0.05x و y = 20 + 0.04x، ماذا تمثل إحداثيات نقطة التقاطع (550, 42)؟

  • أ) سعر الاشتراك الشهري لكل شركة
  • ب) عدد الدقائق (550) وقيمة الفاتورة (42) عندما تكون الفاتورة متساوية في الشركتين.
  • ج) تكلفة الدقيقة في كل شركة
  • د) الفرق في السعر بين الشركتين لأي عدد دقائق

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: عدد الدقائق (550) وقيمة الفاتورة (42) عندما تكون الفاتورة متساوية في الشركتين.

الشرح: في التمثيل البياني، تمثل نقطة تقاطع خطي المعادلتين الحل المشترك للنظام. الإحداثي x = 550 يمثل عدد الدقائق التي تجعل الفاتورة متساوية. الإحداثي y = 42 يمثل قيمة تلك الفاتورة المتساوية بالريال.

تلميح: تذكّر أن الإحداثي السيني (x) يمثل عدد الدقائق، والصادي (y) يمثل قيمة الفاتورة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي الصيغة الرياضية الصحيحة لتمثيل تكلفة فاتورة شهرية (y) تتضمن مبلغاً ثابتاً للاشتراك (b) ومبلغاً متغيراً يعتمد على سعر الدقيقة الواحدة (m) لعدد (x) من الدقائق؟

  • أ) y = mx + b
  • ب) y = (m + b)x
  • ج) y = m + bx
  • د) y = mx - b

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: y = mx + b

الشرح: 1. القيمة الكلية (y) تعتمد على جزأين: ثابت ومتغير. 2. الجزء المتغير (mx) يمثل حاصل ضرب سعر الدقيقة (m) في عدد الدقائق المستهلكة (x). 3. الجزء الثابت (b) يمثل رسوم الاشتراك الشهرية التي تدفع بغض النظر عن الاستهلاك. 4. بجمع الجزأين نحصل على المعادلة الخطية: y = mx + b.

تلميح: تذكر أن التكلفة المتغيرة تضرب في عدد الوحدات، بينما تضاف القيمة الثابتة مرة واحدة فقط.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند تمثيل نظام مكون من معادلتين لتكلفة عرضين من شركات الاتصالات بيانيًا، ماذا يمثل حل النظام (x, y) من الناحية العملية؟

  • أ) القيمة الثابتة للاشتراك الشهري لكل شركة قبل احتساب تكلفة الدقائق.
  • ب) عدد الدقائق القصوى التي يمكن للمشترك استخدامها في الشهر الواحد.
  • ج) عدد الدقائق المستهلكة (x) التي يتساوى عندها مبلغ الفاتورة (y) في كلا العرضين.
  • د) الفرق المالي بين تكلفة الدقيقة الواحدة في الشركة الأولى والشركة الثانية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عدد الدقائق المستهلكة (x) التي يتساوى عندها مبلغ الفاتورة (y) في كلا العرضين.

الشرح: 1. نظام المعادلات يمثل علاقة بين عدد الدقائق (x) والتكلفة الإجمالية (y). 2. حل النظام بيانيًا هو نقطة تقاطع المستقيمين. 3. عند هذه النقطة، يكون للمتغير x نفس القيمة في كلا المعادلتين، وينتج عنه نفس قيمة y. 4. إذن، عند استهلاك x دقيقة، ستكون التكلفة متساوية في الشركتين وهي y ريال.

تلميح: فكر في معنى نقطة التقاطع بين مستقيمين يمثلان دالتين للتكلفة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط