أسئلة الاختيار من متعدد - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 38: إذا كانت a تتغير طردياً مع b، وكانت 18 = b عندما 27 = a، فأوجد قيمة b عندما 10 = a.

الإجابة: a = 15,38 b = 15

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):**
2. لنفهم العلاقة بين المتغيرين a و b. السؤال يقول إن a تتغير طردياً مع b. هذا يعني أن هناك ثابتاً ما (لنسميه k) بحيث العلاقة بينهما هي: $a = k imes b$.
3. لدينا حالة أولى: عندما $a = 27$، فإن $b = 18$. يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد قيمة الثابت k.
4. **الخطوة 2 (إيجاد ثابت التناسب):**
5. نعوض بالقيم المعطاة في العلاقة: $27 = k imes 18$.
6. لإيجاد k، نقسم الطرفين على 18: $k = \frac{27}{18}$.
7. يمكن تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 9: $k = \frac{3}{2}$.
8. إذن، العلاقة بين a و b هي: $a = \frac{3}{2} b$.
9. **الخطوة 3 (إيجاد قيمة b المطلوبة):**
10. الآن نريد إيجاد قيمة b عندما $a = 10$. نستخدم نفس العلاقة التي توصلنا إليها.
11. نعوض بقيمة a الجديدة: $10 = \frac{3}{2} b$.
12. لإيجاد b، نضرب الطرفين في مقلوب $\frac{3}{2}$ وهو $\frac{2}{3}$: $b = 10 \times \frac{2}{3}$.
13. نقوم بعملية الضرب: $b = \frac{20}{3}$.
14. **الخطوة 4 (النتيجة):**
15. إذن قيمة b عندما $a = 10$ هي **$\frac{20}{3}$**.

سؤال 39: إذا كانت x تتغير عكسياً مع y، وكانت 3.5 = x عندما 2 = y، فأوجد قيمة y عندما 5 = x.

الإجابة: x = 21

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم العلاقة):**
2. السؤال يذكر أن x تتغير عكسياً مع y. هذا يعني أن حاصل ضربهما ثابت. لنسمي هذا الثابت k. العلاقة هي: $x imes y = k$.
3. لدينا حالة أولى: عندما $x = 3.5$، فإن $y = 2$. يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد قيمة الثابت k.
4. **الخطوة 2 (حساب ثابت التناسب):**
5. نعوض بالقيم المعطاة في العلاقة: $k = 3.5 imes 2$.
6. نقوم بالضرب: $k = 7$.
7. إذن، العلاقة بين x و y هي: $x imes y = 7$.
8. **الخطوة 3 (إيجاد قيمة y المطلوبة):**
9. المطلوب هو إيجاد قيمة y عندما $x = 5$. نستخدم العلاقة التي توصلنا إليها.
10. نعوض بقيمة x الجديدة: $5 imes y = 7$.
11. لإيجاد y، نقسم الطرفين على 5: $y = \frac{7}{5}$.
12. **الخطوة 4 (النتيجة):**
13. إذن قيمة y عندما $x = 5$ هي **$\frac{7}{5}$** أو **1.4**.

سؤال 40: إذا كانت y تتغير عكسياً مع x، وكانت 8 = y عندما 24 = x، فأوجد قيمة y عندما 15 = x.

الإجابة: x = 15

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم العلاقة):**
2. السؤال يوضح أن y تتغير عكسياً مع x. هذا يعني أن حاصل ضربهما ثابت. لنسمي هذا الثابت k. العلاقة هي: $y imes x = k$.
3. لدينا حالة أولى: عندما $y = 8$، فإن $x = 24$. يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد قيمة الثابت k.
4. **الخطوة 2 (حساب ثابت التناسب):**
5. نعوض بالقيم المعطاة في العلاقة: $k = 8 imes 24$.
6. نقوم بالضرب: $k = 192$.
7. إذن، العلاقة بين y و x هي: $y imes x = 192$.
8. **الخطوة 3 (إيجاد قيمة y المطلوبة):**
9. المطلوب هو إيجاد قيمة y عندما $x = 15$. نستخدم العلاقة التي توصلنا إليها.
10. نعوض بقيمة x الجديدة: $y imes 15 = 192$.
11. لإيجاد y، نقسم الطرفين على 15: $y = \frac{192}{15}$.
12. يمكن تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 3: $y = \frac{64}{5}$.
13. **الخطوة 4 (النتيجة):**
14. إذن قيمة y عندما $x = 15$ هي **$\frac{64}{5}$** أو **12.8**.

سؤال 41: إذا كانت y تتغير تغيراً مشتركاً مع x و z، وكانت 8 = y عندما 2 = x و 3 = z، فأوجد قيمة y عندما 2 = x و 5 = z.

الإجابة: x = 40

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم العلاقة):**
2. السؤال يذكر أن y تتغير تغيراً مشتركاً مع x و z. هذا يعني أن y تتناسب طردياً مع حاصل ضرب x و z. يمكن كتابة العلاقة على الصورة: $y = k imes x imes z$، حيث k هو ثابت التناسب.
3. لدينا حالة أولى: عندما $y = 8$، فإن $x = 2$ و $z = 3$. يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد قيمة الثابت k.
4. **الخطوة 2 (حساب ثابت التناسب):**
5. نعوض بالقيم المعطاة في العلاقة: $8 = k imes 2 imes 3$.
6. نبسط الطرف الأيمن: $8 = k imes 6$.
7. لإيجاد k، نقسم الطرفين على 6: $k = \frac{8}{6}$.
8. يمكن تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 2: $k = \frac{4}{3}$.
9. إذن، العلاقة بين y و x و z هي: $y = \frac{4}{3} x z$.
10. **الخطوة 3 (إيجاد قيمة y المطلوبة):**
11. المطلوب هو إيجاد قيمة y عندما $x = 2$ و $z = 5$. نستخدم العلاقة التي توصلنا إليها.
12. نعوض بالقيم الجديدة لـ x و z: $y = \frac{4}{3} imes 2 imes 5$.
13. نقوم بعملية الضرب: $y = \frac{4}{3} imes 10$.
14. $y = \frac{40}{3}$.
15. **الخطوة 4 (النتيجة):**
16. إذن قيمة y عندما $x = 2$ و $z = 5$ هي **$\frac{40}{3}$**.

سؤال 42: إذا كانت y تتغير تغيراً مركباً مع x و z، وكانت 6 = y عندما 4 = x و 12 = z، فأوجد قيمة y عندما 10 = x و 8 = z.

الإجابة: x = 10

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم العلاقة):**
2. السؤال يذكر أن y تتغير تغيراً مركباً مع x و z. هذا يعني أن y تتناسب طردياً مع x وعكسياً مع z. يمكن كتابة العلاقة على الصورة: $y = k imes \frac{x}{z}$، حيث k هو ثابت التناسب.
3. لدينا حالة أولى: عندما $y = 6$، فإن $x = 4$ و $z = 12$. يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد قيمة الثابت k.
4. **الخطوة 2 (حساب ثابت التناسب):**
5. نعوض بالقيم المعطاة في العلاقة: $6 = k imes \frac{4}{12}$.
6. نبسط الكسر: $6 = k imes \frac{1}{3}$.
7. لإيجاد k، نضرب الطرفين في 3: $k = 6 imes 3$.
8. $k = 18$.
9. إذن، العلاقة بين y و x و z هي: $y = 18 \times \frac{x}{z}$.
10. **الخطوة 3 (إيجاد قيمة y المطلوبة):**
11. المطلوب هو إيجاد قيمة y عندما $x = 10$ و $z = 8$. نستخدم العلاقة التي توصلنا إليها.
12. نعوض بالقيم الجديدة لـ x و z: $y = 18 imes \frac{10}{8}$.
13. نبسط الكسر: $y = 18 imes \frac{5}{4}$.
14. نقوم بعملية الضرب: $y = \frac{18 imes 5}{4} = \frac{90}{4}$.
15. يمكن تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 2: $y = \frac{45}{2}$.
16. **الخطوة 4 (النتيجة):**
17. إذن قيمة y عندما $x = 10$ و $z = 8$ هي **$\frac{45}{2}$** أو **22.5**.

سؤال 43: مهن: يتقاضى أحمد أجرًا إجمالياً عن عمله مع عدد ساعات عمله. فإذا تقاضى 120 ريالاً مقابل 8h عمل، فكم ريالاً يتقاضى إذا عمل 5h؟

الإجابة: 45 ريالاً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم العلاقة):**
2. السؤال يوضح أن الأجر الإجمالي يتناسب طردياً مع عدد ساعات العمل. هذا يعني أن هناك نسبة ثابتة بين الأجر والساعات، وهي معدل الأجر في الساعة.
3. يمكن كتابة العلاقة على الصورة: الأجر = معدل الأجر × عدد الساعات.
4. **الخطوة 2 (حساب معدل الأجر):**
5. لدينا حالة أولى: تقاضى أحمد 120 ريالاً مقابل 8 ساعات عمل. يمكننا استخدام هذه المعلومات لحساب معدل الأجر في الساعة.
6. معدل الأجر = $\frac{\text{الأجر الإجمالي}}{\text{عدد الساعات}} = \frac{120 \text{ ريال}}{8 \text{ ساعة}}$.
7. نقوم بالقسمة: معدل الأجر = 15 ريال/ساعة.
8. **الخطوة 3 (حساب الأجر المطلوب):**
9. الآن نريد معرفة كم سيتقاضى إذا عمل 5 ساعات. نستخدم معدل الأجر الذي حسبناه.
10. الأجر المطلوب = معدل الأجر × عدد الساعات الجديدة = 15 ريال/ساعة × 5 ساعات.
11. نقوم بالضرب: الأجر المطلوب = 75 ريالاً.
12. **الخطوة 4 (النتيجة):**
13. إذن، سيتقاضى أحمد **75 ريالاً** إذا عمل 5 ساعات.

سؤال 44: حل كل معادلة أو متباينة مما يأتي: $\frac{1}{3} + \frac{4}{3}x = 6$

الإجابة: x = 40

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعادلة):**
2. لدينا المعادلة: $\frac{1}{3} + \frac{4}{3}x = 6$.
3. **الخطوة 2 (عزل المتغير):**
4. الهدف هو إيجاد قيمة x. نبدأ بعزل الحد الذي يحتوي على x. نطرح $\frac{1}{3}$ من طرفي المعادلة:
5. $\frac{4}{3}x = 6 - \frac{1}{3}$.
6. لإجراء عملية الطرح، نوحد المقامات. نكتب 6 على صورة $\frac{18}{3}$:
7. $\frac{4}{3}x = \frac{18}{3} - \frac{1}{3}$.
8. $\frac{4}{3}x = \frac{17}{3}$.
9. **الخطوة 3 (إيجاد قيمة x):**
10. الآن لدينا $\frac{4}{3}x = \frac{17}{3}$. للتخلص من معامل x، نضرب طرفي المعادلة في مقلوب $\frac{4}{3}$ وهو $\frac{3}{4}$:
11. $x = \frac{17}{3} imes \frac{3}{4}$.
12. نختصر الـ 3 في البسط والمقام:
13. $x = \frac{17}{4}$.
14. **الخطوة 4 (النتيجة):**
15. إذن حل المعادلة هو $x = \frac{17}{4}$.

سؤال 45: $\frac{6}{x+3} - \frac{3}{x^2-9} = \frac{2}{x-3}$

الإجابة: x = 15

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعادلة):**
2. لدينا المعادلة الكسرية: $\frac{6}{x+3} - \frac{3}{x^2-9} = \frac{2}{x-3}$.
3. **الخطوة 2 (توحيد المقامات):**
4. نلاحظ أن المقام $x^2-9$ هو فرق بين مربعين، ويمكن تحليله إلى $(x-3)(x+3)$. إذن، المقام المشترك الأصغر هو $(x-3)(x+3)$.
5. نضرب المعادلة كلها في المقام المشترك الأصغر للتخلص من الكسور. قبل ذلك، نحدد القيم التي تجعل المقامات صفراً (وهي قيم مستبعدة): $x eq 3$ و $x eq -3$.
6. نضرب كل حد في $(x-3)(x+3)$:
7. $(x-3)(x+3) imes \frac{6}{x+3} - (x-3)(x+3) imes \frac{3}{x^2-9} = (x-3)(x+3) imes \frac{2}{x-3}$.
8. نبسط: $6(x-3) - 3 = 2(x+3)$.
9. **الخطوة 3 (حل المعادلة الخطية):**
10. نقوم بفك الأقواس: $6x - 18 - 3 = 2x + 6$.
11. نجمع الحدود المتشابهة: $6x - 21 = 2x + 6$.
12. ننقل الحدود التي تحتوي على x إلى طرف والأعداد الثابتة إلى الطرف الآخر:
13. $6x - 2x = 6 + 21$.
14. $4x = 27$.
15. نقسم على 4: $x = \frac{27}{4}$.
16. **الخطوة 4 (التحقق من الحل):**
17. القيمة $x = \frac{27}{4}$ لا تساوي 3 أو -3، إذن هي حل مقبول.
18. **الخطوة 5 (النتيجة):**
19. إذن حل المعادلة هو $x = \frac{27}{4}$.

سؤال 46: $\frac{x+4}{x^2-x-2} = \frac{x+2}{x-2}$

الإجابة: x = 13

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعادلة):**
2. لدينا المعادلة الكسرية: $\frac{x+4}{x^2-x-2} = \frac{x+2}{x-2}$.
3. **الخطوة 2 (تحليل المقامات):**
4. نحلل المقام الأول $x^2-x-2$. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -2 ومجموعهما -1. العددان هما -2 و 1. إذن، $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$.
5. المقام الثاني هو $x-2$.
6. المقام المشترك الأصغر هو $(x-2)(x+1)$.
7. القيم المستبعدة هي $x eq 2$ و $x eq -1$.
8. **الخطوة 3 (ضرب المعادلة بالمقام المشترك):**
9. نضرب طرفي المعادلة في $(x-2)(x+1)$:
10. $(x-2)(x+1) imes \frac{x+4}{(x-2)(x+1)} = (x-2)(x+1) imes \frac{x+2}{x-2}$.
11. نبسط: $x+4 = (x+1)(x+2)$.
12. **الخطوة 4 (حل المعادلة الناتجة):**
13. نفك القوس في الطرف الأيمن: $(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.
14. إذن المعادلة تصبح: $x+4 = x^2 + 3x + 2$.
15. ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد لجعلها معادلة تربيعية تساوي صفراً:
16. $0 = x^2 + 3x - x + 2 - 4$.
17. $0 = x^2 + 2x - 2$.
18. **الخطوة 5 (حل المعادلة التربيعية):**
19. نستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية $ax^2+bx+c=0$ حيث $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
20. هنا $a=1$, $b=2$, $c=-2$.
21. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$.
22. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}$.
23. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2}$.
24. $x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2}$.
25. نقسم على 2: $x = -1 \pm \sqrt{3}$.
26. الحلان هما $x = -1 + \sqrt{3}$ و $x = -1 - \sqrt{3}$.
27. **الخطوة 6 (التحقق من الحل):**
28. الحلان لا يساويان القيم المستبعدة (2 و -1).
29. **الخطوة 7 (النتيجة):**
30. إذن حلول المعادلة هي $x = -1 + \sqrt{3}$ و $x = -1 - \sqrt{3}$.

سؤال 47: $\frac{4}{2x-3} + \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{2x^2-x-3}$

الإجابة: x = -7

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعادلة):**
2. لدينا المعادلة الكسرية: $\frac{4}{2x-3} + \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{2x^2-x-3}$.
3. **الخطوة 2 (تحليل المقامات):**
4. نحلل المقام الثالث: $2x^2-x-3$. نبحث عن عددين حاصل ضربهما $2 imes -3 = -6$ ومجموعهما -1. العددان هما -3 و 2.
5. نقسم الحد الأوسط: $2x^2 + 2x - 3x - 3$.
6. نأخذ عامل مشترك: $2x(x+1) - 3(x+1) = (2x-3)(x+1)$.
7. إذن، المقام المشترك الأصغر هو $(2x-3)(x+1)$.
8. القيم المستبعدة هي $x eq rac{3}{2}$ و $x eq -1$.
9. **الخطوة 3 (ضرب المعادلة بالمقام المشترك):**
10. نضرب طرفي المعادلة في $(2x-3)(x+1)$:
11. $(2x-3)(x+1) imes \frac{4}{2x-3} + (2x-3)(x+1) imes \frac{1}{x+1} = (2x-3)(x+1) imes \frac{2x-1}{(2x-3)(x+1)}$.
12. نبسط: $4(x+1) + 1(2x-3) = 2x-1$.
13. **الخطوة 4 (حل المعادلة الخطية):**
14. نفك الأقواس: $4x + 4 + 2x - 3 = 2x - 1$.
15. نجمع الحدود المتشابهة: $6x + 1 = 2x - 1$.
16. ننقل الحدود التي تحتوي على x إلى طرف والأعداد الثابتة إلى الطرف الآخر:
17. $6x - 2x = -1 - 1$.
18. $4x = -2$.
19. نقسم على 4: $x = \frac{-2}{4}$.
20. $x = -\frac{1}{2}$.
21. **الخطوة 5 (التحقق من الحل):**
22. القيمة $x = -\frac{1}{2}$ لا تساوي القيم المستبعدة ($rac{3}{2}$ و -1).
23. **الخطوة 6 (النتيجة):**
24. إذن حل المعادلة هو $x = -\frac{1}{2}$.

سؤال 48: $\frac{28}{x^2-9} - \frac{1}{x-3} < \frac{1}{x+3}$

الإجابة: x = 4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المتباينة):**
2. لدينا المتباينة الكسرية: $\frac{28}{x^2-9} - \frac{1}{x-3} < \frac{1}{x+3}$.
3. **الخطوة 2 (إعادة ترتيب المتباينة):**
4. ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد لجعل الطرف الآخر صفراً:
5. $\frac{28}{x^2-9} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+3} < 0$.
6. **الخطوة 3 (تحليل المقامات وتوحيدها):**
7. نحلل المقام الأول: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
8. المقام المشترك الأصغر هو $(x-3)(x+3)$.
9. نضرب الحدود الثانية والثالثة في المقام المشترك الأصغر المناسب:
10. $\frac{28}{(x-3)(x+3)} - \frac{1(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{1(x-3)}{(x+3)(x-3)} < 0$.
11. نجمع البسوط: $\frac{28 - (x+3) - (x-3)}{(x-3)(x+3)} < 0$.
12. نبسط البسط: $28 - x - 3 - x + 3 = 28 - 2x$.
13. إذن المتباينة تصبح: $\frac{28 - 2x}{(x-3)(x+3)} < 0$.
14. **الخطوة 4 (إيجاد القيم الحرجة):**
15. نوجد القيم التي تجعل البسط صفراً والمقامات صفراً.
16. البسط: $28 - 2x = 0 \implies 2x = 28 \implies x = 14$.
17. المقامات: $x-3 = 0 \implies x = 3$. و $x+3 = 0 \implies x = -3$.
18. القيم الحرجة هي: -3، 3، 14.
19. **الخطوة 5 (اختبار الفترات):**
20. نقسم خط الأعداد إلى فترات باستخدام القيم الحرجة: $(-\infty, -3)$، $(-3, 3)$، $(3, 14)$، $(14, \infty)$.
21. نختار قيمة اختبار من كل فترة ونعوض بها في المتباينة $\frac{28 - 2x}{(x-3)(x+3)} < 0$.
22. - الفترة $(-\infty, -3)$: نختار $x = -4$. $\frac{28 - 2(-4)}{(-4-3)(-4+3)} = \frac{28+8}{(-7)(-1)} = \frac{36}{7} > 0$. (موجبة)
23. - الفترة $(-3, 3)$: نختار $x = 0$. $\frac{28 - 2(0)}{(0-3)(0+3)} = \frac{28}{(-3)(3)} = \frac{28}{-9} < 0$. (سالبة)
24. - الفترة $(3, 14)$: نختار $x = 4$. $\frac{28 - 2(4)}{(4-3)(4+3)} = \frac{28-8}{(1)(7)} = \frac{20}{7} > 0$. (موجبة)
25. - الفترة $(14, \infty)$: نختار $x = 15$. $\frac{28 - 2(15)}{(15-3)(15+3)} = \frac{28-30}{(12)(18)} = \frac{-2}{216} < 0$. (سالبة)
26. **الخطوة 6 (تحديد الحل):**
27. نحن نبحث عن الفترات التي تكون فيها قيمة الكسر سالبة (< 0). هذه الفترات هي $(-3, 3)$ و $(14, \infty)$.
28. **الخطوة 7 (النتيجة):**
29. إذن حل المتباينة هو $x \in (-3, 3) \cup (14, \infty)$.

سؤال 49: $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x} \ge \frac{1}{x^2-x}$

الإجابة: x = 8

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المتباينة):**
2. لدينا المتباينة الكسرية: $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x} \\ge \frac{1}{x^2-x}$.
3. **الخطوة 2 (إعادة ترتيب المتباينة):**
4. ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد لجعل الطرف الآخر صفراً:
5. $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2-x} \\ge 0$.
6. **الخطوة 3 (تحليل المقامات وتوحيدها):**
7. نحلل المقام الثالث: $x^2-x = x(x-1)$.
8. المقام المشترك الأصغر هو $x(x-1)$.
9. نضرب الحدود الأولى والثانية في المقام المشترك الأصغر المناسب:
10. $\frac{x imes x}{x(x-1)} - \frac{1 imes (x-1)}{x(x-1)} - \frac{1}{x(x-1)} \\ge 0$.
11. نجمع البسوط: $\frac{x^2 - (x-1) - 1}{x(x-1)} \\ge 0$.
12. نبسط البسط: $x^2 - x + 1 - 1 = x^2 - x$.
13. إذن المتباينة تصبح: $\frac{x^2 - x}{x(x-1)} \\ge 0$.
14. يمكن تبسيط البسط أكثر بأخذ x كعامل مشترك: $\frac{x(x-1)}{x(x-1)} \\ge 0$.
15. **الخطوة 4 (التبسيط والتحليل):**
16. إذا كان $x eq 0$ و $x eq 1$، فإن $\frac{x(x-1)}{x(x-1)} = 1$.
17. إذن، المتباينة تصبح $1 \ge 0$.
18. هذه المتباينة صحيحة دائماً.
19. **الخطوة 5 (تحديد الحل مع مراعاة القيم المستبعدة):**
20. المتباينة الأصلية غير معرفة عندما تكون المقامات صفراً، أي عندما $x=0$ أو $x=1$.
21. لذلك، فإن المتباينة صحيحة لجميع قيم x ما عدا $x=0$ و $x=1$.
22. **الخطوة 6 (النتيجة):**
23. إذن حل المتباينة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا 0 و 1. يمكن كتابتها على الصورة: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

سؤال 50: زمن: يستطيع سعيد وحمد إزاحة إحدى الحدائق في 4h. فكم ساعة يحتاجان إليها إذا زاد عدد العمال إلى 12 عاملاً؟

الإجابة: 12 ساعة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم العلاقة):**
2. هذه المسألة تتعلق بالعمل المنجز. نفترض أن معدل إنجاز العامل الواحد ثابت. العلاقة بين عدد العمال، والزمن اللازم لإنجاز العمل، وحجم العمل هي علاقة تناسب عكسي بين عدد العمال والزمن اللازم لإنجاز نفس كمية العمل.
3. إذا زاد عدد العمال، قل الزمن اللازم لإنجاز العمل، والعكس صحيح.
4. يمكن كتابة العلاقة على الصورة: (عدد العمال) × (الزمن) = ثابت (يمثل حجم العمل الكلي).
5. **الخطوة 2 (حساب حجم العمل الكلي):**
6. في الحالة الأولى، لدينا 2 عاملين (سعيد وحمد) يستطيعان إزاحة الحديقة في 4 ساعات. حجم العمل الكلي = 2 عاملين × 4 ساعات = 8 وحدات عمل (عامل-ساعة).
7. **الخطوة 3 (حساب الزمن المطلوب لـ 12 عاملاً):**
8. الآن، لدينا 12 عاملاً. نريد معرفة الزمن اللازم لإنجاز نفس حجم العمل (8 وحدات عمل).
9. نستخدم العلاقة: (عدد العمال الجدد) × (الزمن الجديد) = حجم العمل الكلي.
10. 12 عاملاً × الزمن الجديد = 8 وحدات عمل.
11. لإيجاد الزمن الجديد، نقسم حجم العمل الكلي على عدد العمال الجدد:
12. الزمن الجديد = $\frac{8 \text{ وحدات عمل}}{12 \text{ عاملاً}}$.
13. الزمن الجديد = $\frac{8}{12}$ ساعة.
14. نبسط الكسر: الزمن الجديد = $\frac{2}{3}$ ساعة.
15. **الخطوة 4 (التحويل إلى دقائق إذا لزم الأمر):**
16. السؤال يطلب عدد ساعات. $\frac{2}{3}$ ساعة هي $\frac{2}{3} imes 60 = 40$ دقيقة.
17. **الخطوة 5 (النتيجة):**
18. إذن، يحتاج 12 عاملاً إلى **$\frac{2}{3}$ ساعة** (أو 40 دقيقة) لإزاحة الحديقة.

سؤال 51: إذا كانت $f(x) = \frac{x^2-1}{x+1}$، فما قيمة $f(2)$؟

الإجابة: 7

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (الدالة المعطاة):**
2. لدينا الدالة $f(x) = \frac{x^2-1}{x+1}$.
3. **الخطوة 2 (تبسيط الدالة):**
4. نلاحظ أن البسط $x^2-1$ هو فرق بين مربعين، ويمكن تحليله إلى $(x-1)(x+1)$.
5. إذن، يمكن كتابة الدالة على الصورة: $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}$.
6. إذا كان $x+1 eq 0$ (أي $x eq -1$)، يمكننا اختصار العامل $(x+1)$ من البسط والمقام.
7. فتصبح الدالة المبسطة: $f(x) = x-1$ (بشرط $x eq -1$).
8. **الخطوة 3 (حساب قيمة الدالة عند x=2):**
9. المطلوب هو إيجاد قيمة $f(2)$. بما أن $2 eq -1$، يمكننا استخدام الدالة المبسطة.
10. نعوض بـ $x=2$ في الدالة المبسطة: $f(2) = 2 - 1$.
11. نقوم بعملية الطرح: $f(2) = 1$.
12. **الخطوة 4 (النتيجة):**
13. إذن قيمة $f(2)$ هي **1**.

مجال العلاقة الموضحة في الجدول الآتي هو: (الجدول يحتوي الأزواج: (-3,4), (1,-1), (2,0), (6,-3))

• أ) {0, 1, 2, 4, 6}
• ب) {-3, -1, 0, 4}
• ج) {-3, 1, 2, 6}
• د) {-3, -1}

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: {-3, 1, 2, 6}

الشرح: ١. المجال هو مجموعة جميع قيم x من الأزواج المرتبة (x, y). ٢. الأزواج هي: (-3,4), (1,-1), (2,0), (6,-3). ٣. قيم x هي: -3, 1, 2, 6. ٤. نكتبها كمجموعة: {-3, 1, 2, 6}.

تلميح: مجال العلاقة هو مجموعة قيم x (الإدخال) في الأزواج المرتبة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

إذا كانت $f(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x$، فما قيمة $f(-3)$؟

• أ) -7
• ب) -1
• ج) -6
• د) 4

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: -1

الشرح: 1. نعوض عن كل $x$ في الدالة بالقيمة -3: $f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^2 + \frac{4}{3}(-3)$. 2. نحسب الأس أولاً: $(-3)^2 = 9$. فتصبح المعادلة: $f(-3) = \frac{1}{3}(9) + \frac{4}{3}(-3)$. 3. نُجري عمليات الضرب: $f(-3) = \frac{9}{3} - \frac{12}{3}$. 4. نبسط الكسور ونطرح: $f(-3) = 3 - 4 = -1$.

تلميح: لإيجاد قيمة $f(-3)$، قم بتعويض كل $x$ في الدالة بالعدد -3 ثم احسب الناتج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط