مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال مثال 1: أوجد قيمة الحد المطلوب في كل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: 1) $a_{14}$ في المتتابعة 11, 14, 17, ... 2) $a_{11}$ إذا كان $a_1 = 12, d = 3$

الإجابة: $a_{14} = 11 + (14-1)3 = 50$ $a_{11} = 12 + (11-1)3 = 42$

سؤال س:2: اكتب صيغة الحد النوني لكل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: 3) 13, 19, 25, ... 4) $a_1 = -12, d = -4$

الإجابة: $a_{5} = -12, d = -4$ $a_{n} = -12 + (n-1)(-4)$

سؤال مثال 3: أوجد الأوساط الحسابية في كل من المتتابعتين الآتيتين: 5) 6, ?, ?, ?, 42 6) ?, ?, ?, ?, ?, 5

الإجابة: $a_{n} = -12 - (n-1)4 = 8 - 4n$

سؤال س:3: أوجد مجموع حدود كل متتابعة حسابية فيما يأتي: 7) أول 50 حدًا فيها $a_1 = 12, d = 3$ 8) $n = 12, a_1 = 18, d = 4$

الإجابة: $d = 3 \implies -1, 2, 5, 8, ...$

سؤال مثال 4: أوجد مجموع حدود كل متتابعة حسابية فيما يأتي: 9) أول 50 حدًا فيها $a_1 = 12, d = 3$ 10) $n = 12, a_1 = 18, d = 4$

الإجابة: $S_{50} = \frac{50}{2}(2(12) + (50-1)3) = 1275$ $S_{12} = \frac{12}{2}(2(18) + (12-1)4) = 342$

سؤال س:4: أوجد الحدود الثلاثة الأولى في كل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: 11) $a_1 = 40, S_{21} = 1995$ 12) $n = 18, a_1 = 112, S_{18} = 400$

الإجابة: $n = 50, S_{50} = 5100$ $n = 21, S_{21} = 4500$

سؤال مثال 5: أوجد الحدود الثلاثة الأولى في كل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: 13) $a_1 = 10, d = 6$ 14) $a_1 = 12, d = 3$

الإجابة: $a_1 = 40, S_{21} = 1995$ $a_1 = 112, S_{18} = 400$

سؤال س:5: أوجد الحدود الثلاثة الأولى في كل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: 15) $a_1 = 10, d = 6$ 16) $a_1 = 12, d = 3$

الإجابة: $a_1 = 10, d = 6 \implies 10, 16, 22, ...$ $a_1 = 12, d = 3 \implies 12, 15, 18, ...$

سؤال مثال 6: أوجد مجموع حدود كل متتابعة حسابية فيما يأتي: 17) $a_1 = 10, d = 6$ 18) $a_1 = 12, d = 3$

الإجابة: 342 C 410 D

سؤال س:13: أوجد مجموع حدود كل متتابعة حسابية فيما يأتي: 19) $a_1 = 10, d = 6$ 20) $a_1 = 12, d = 3$

الإجابة: 45 A 78 B

سؤال مثال 1: أوجد قيمة الحد المطلوب في كل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: 1) $a_{15}$ في المتتابعة 18, 30, 42, ... 2) $a_{18}$ إذا كان $a_1 = 15, d = 2$

الإجابة: $a_{15} = 18 + (15-1)12 = 162$ $a_{18} = 15 + (18-1)2 = 49$

سؤال س:14: أوجد قيمة الحد المطلوب في كل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: 3) $a_{24}$ في المتتابعة 14, 21, 28, ... 4) $a_{17}$ إذا كان $a_1 = 0.25, d = 0.5$

الإجابة: $a_{24} = 14 + (24-1)7 = 175$ $a_{17} = 0.25 + (17-1)0.5 = 8.25$

سؤال س:15: اكتب صيغة الحد النوني لكل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: 5) 24, 35, 46, ... 6) $a_1 = 22, d = -2$

الإجابة: $a_{n} = 11n + 13$ $a_{n} = 8 - 2n$

سؤال س:16: اكتب صيغة الحد النوني لكل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: 7) 20, 13, 6, ... 8) $a_1 = -12, d = -5$

الإجابة: $a_{n} = 16 - 7n$ $a_{n} = -5n - 7$

سؤال س:17: أوجد الأوساط الحسابية في كل من المتتابعتين الآتيتين: 9) 24, ?, ?, ?, -1 10) 5, ?, ?, ?, ?, 49

الإجابة: $d = 5 \implies 19, 14, 9, 4, ...$ $d = 11 \implies 5, 16, 27, 38, ...$

سؤال س:18: أوجد الأوساط الحسابية في كل من المتتابعتين الآتيتين: 11) -28, ?, ?, ?, ?, 26 12) 84, ?, ?, ?, ?, 39

الإجابة: $d = -7 \implies -21, -14, -7, 0, 26, ...$ $d = -9 \implies 75, 66, 57, 48, 27, ...$

ما هي الخطوات الأساسية لإيجاد العنصر الموجود في الصف m والعمود l من ناتج ضرب مصفوفتين A و B (AB)؟

• أ) ضرب عناصر العمود m من A في عناصر الصف l من B ثم جمع النواتج.
• ب) ضرب عناصر الصف l من A في عناصر العمود m من B ثم جمع النواتج.
• ج) مجموع نواتج ضرب عناصر الصف m من المصفوفة A في عناصر العمود l من المصفوفة B بالترتيب.
• د) ضرب العنصر الموجود في الصف m والعمود l من A في العنصر الموجود في الصف m والعمود l من B.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: مجموع نواتج ضرب عناصر الصف m من المصفوفة A في عناصر العمود l من المصفوفة B بالترتيب.

الشرح: 1. خذ عناصر الصف m من المصفوفة الأولى (A). 2. خذ عناصر العمود l من المصفوفة الثانية (B). 3. اضرب كل عنصر من الصف في العنصر المقابل له في العمود (بالترتيب). 4. اجمع جميع نواتج الضرب هذه. 5. الناتج هو العنصر المطلوب في المصفوفة الناتجة (AB).

تلميح: فكر في عملية تجمع بين صف من الأولى وعمود من الثانية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي نتيجة ضرب المصفوفتين التاليتين وفقاً للقاعدة العامة؟ [[a, b], [c, d]] • [[e, f], [g, h]] = ?

• أ) [[ae+cf, bg+dh], [af+ce, bh+dg]]
• ب) [[a+e, b+f], [c+g, d+h]]
• ج) [[ae+bg, af+bh], [ce+dg, cf+dh]]
• د) [[ae, bf], [cg, dh]]

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: [[ae+bg, af+bh], [ce+dg, cf+dh]]

الشرح: 1. العنصر (1,1): صف1 من الأولى [a,b] × عمود1 من الثانية [e,g] = ae + bg. 2. العنصر (1,2): صف1 [a,b] × عمود2 [f,h] = af + bh. 3. العنصر (2,1): صف2 [c,d] × عمود1 [e,g] = ce + dg. 4. العنصر (2,2): صف2 [c,d] × عمود2 [f,h] = cf + dh. 5. الناتج: [[ae+bg, af+bh], [ce+dg, cf+dh]].

تلميح: تذكر أن كل عنصر في الناتج هو مجموع ضرب صف من الأولى في عمود من الثانية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

ما هي إحدى النصائح المذكورة للمحافظة على التركيز وتجنب الأخطاء أثناء ضرب المصفوفات؟

• أ) استخدام الآلة الحاسبة للجميع العمليات.
• ب) تغطية الصفوف أو الأعمدة التي لا تقوم بضربها عند إيجاد عناصر مصفوفة الضرب.
• ج) حفظ جميع النتائج المتوسطة عن ظهر قلب.
• د) ضرب جميع العناصر معًا ثم القسمة على عددها.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تغطية الصفوف أو الأعمدة التي لا تقوم بضربها عند إيجاد عناصر مصفوفة الضرب.

الشرح: عند حساب عنصر معين في المصفوفة الناتجة، يركز الطالب على صف وعمود محددين. تغطية بقية الصفوف والأعمدة غير المستخدمة في هذه الخطوة يمنع الخلط بينها ويقلل من الأخطاء الحسابية أو في تحديد العناصر الصحيحة.

تلميح: فكر في طريقة لتجنب تشتت الانتباه بين الصفوف والأعمدة المختلفة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هي القاعدة الأساسية المتبعة لإيجاد عناصر المصفوفة الناتجة من ضرب مصفوفتين؟

• أ) ضرب عناصر أعمدة المصفوفة الأولى في عناصر صفوف المصفوفة الثانية بالترتيب ثم جمع النواتج.
• ب) ضرب عناصر صفوف المصفوفة الأولى في عناصر أعمدة المصفوفة الثانية بالترتيب ثم جمع النواتج.
• ج) ضرب العناصر المتناظرة في كلا المصفوفتين مباشرة (العنصر الأول في الأول والثاني في الثاني) دون جمع.
• د) جمع عناصر صفوف المصفوفة الأولى مع عناصر أعمدة المصفوفة الثانية ثم ضرب الناتج النهائي في عدد ثابت.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ضرب عناصر صفوف المصفوفة الأولى في عناصر أعمدة المصفوفة الثانية بالترتيب ثم جمع النواتج.

الشرح: عملية ضرب المصفوفات تعتمد على خوارزمية محددة: 1. نختار صفاً من المصفوفة الأولى (اليسرى). 2. نختار عموداً من المصفوفة الثانية (اليمنى). 3. نضرب العناصر المتناظرة بالترتيب. 4. نجمع نواتج الضرب للحصول على قيمة عنصر واحد في المصفوفة الناتجة.

تلميح: تذكر ترتيب العمليات بين الصفوف والأعمدة (صف من الأولى × عمود من الثانية).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط