مثال 3 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 ضرب المصفوفات (تابع)

المفاهيم الأساسية

خصائص ضرب المصفوفات: بعض خصائص ضرب الأعداد الحقيقية لا تكون صحيحة دائماً عند ضرب المصفوفات (مثل الخاصية الإبدالية).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

العمليات على المصفوفات (2-2)

تمارين التطبيق (ص 74)

#### أسئلة تبرير (سؤال 29)

##### تحليل شروط تعريف العمليات

###### A + B معرفة ⇒ A - B معرفة؟

###### kA و kB معرفتان؟

###### A - B غير معرفة ⇒ B - A غير معرفة؟

###### A و B لهما نفس عدد العناصر ⇒ A + B معرفة؟

###### A و kB معرفتان ⇒ kA + kB معرفة؟

#### مسائل مفتوحة وتوضيح (أسئلة 30، 31)

##### إعطاء مثال على مصفوفتين تحقق 4B - 3A

##### شرح كيفية إيجاد 4D - 3C لأي مصفوفتين C, D لهما نفس الرتبة

#### تدريب على اختبار (أسئلة 32، 33)

##### حل نظام معادلات خطية

##### إيجاد رتبة مصفوفة ناتجة عن طرح مصفوفتين (A - B)

#### مراجعة تراكمية (أسئلة 34-41)

##### تحديد عناصر مصفوفة

##### حل نظام متراجحات بيانياً

##### كتابة معادلة وحلها (تطبيق واقعي)

##### تبسيط عبارات جبرية

ضرب المصفوفات (3-2)

شرط تعريف الضرب

#### عدد أعمدة A = عدد صفوف B

رتبة المصفوفة الناتجة

#### A (mxr) × B (rxt) = AB (mxt)

مثال تطبيقي (مكتبة)

#### مصفوفة الكميات B

#### مصفوفة الأسعار P

#### إيجاد إجمالي المبيعات شهرياً (B × P)

مثال 1: رتبة مصفوفة ناتج الضرب

#### A₃ₓ₄ × B₄ₓ₂ ⇒ معرفة، رتبتها 3×2

#### A₅ₓ₃ × B₅ₓ₄ ⇒ غير معرفة

طريقة الحساب

#### العنصر في الصف m والعمود l من AB

##### مجموع نواتج ضرب عناصر الصف m من A بعناصر العمود l من B

#### مثال توضيحي

##### [a\ b] • [e\ f] = [ae+bg\ af+bh]

##### [c\ d]\ \ \ [g\ h]\ \ \ [ce+dg\ cf+dh]

مثال 2: ضرب مصفوفتين مربعتين

#### الخطوات

##### 1. اضرب عناصر الصف الأول في العمود الأول، ثم اجمع.

##### 2. كرر للصف الأول والعمود الثاني.

##### 3. كرر للصف الثاني والعمود الأول.

##### 4. كرر للصف الثاني والعمود الثاني.

##### 5. بسّط المصفوفة الناتجة.

مثال 3: تطبيق واقعي (مسابقة سباحة)

#### تحديد الفريق الفائز

##### مصفوفة النتائج R (4×3)

##### مصفوفة النقاط P (3×1)

##### حاصل الضرب RP (4×1) يعطي نقاط كل فريق

##### الفريق صاحب أكبر مجموع نقاط هو الفائز

خصائص ضرب المصفوفات

#### بعض خصائص ضرب الأعداد الحقيقية لا تكون صحيحة دائماً

مثال 4: اختبار الخاصية الإبدالية

#### إيجاد حاصل ضرب GH

##### GH = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 4 & -2 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & -8 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 & -56 \\ 12 & 28 \end{bmatrix}

```

نقاط مهمة

• يمكن استخدام ضرب المصفوفات لحل مسائل واقعية، مثل تحديد الفريق الفائز في مسابقة بناءً على نقاط المراكز.
• رتبة المصفوفة الناتجة عن الضرب: إذا كانت R من الرتبة 4×3 و P من الرتبة 3×1، فإن RP ستكون من الرتبة 4×1.
• الخاصية الإبدالية (تبديل عوامل الضرب) لا تنطبق بالضرورة على ضرب المصفوفات.

الربط مع الحياة تدل البحوث الصحية والرياضية أن ممارسة السباحة نصف ساعة يوميًا تخفض ضغط الدم وتقوي القلب وتقلل معدل الكولسترول في الدم وتزيد كفاءة الدورة الدموية وتحرق 500 : 250 سعرة حرارية؛ لذا تعد من أفضل الرياضات لتخفيض الوزن.

سباحة في مسابقة للسباحة بين أربع فرق سجلت 7 نقاط لمن يحل في المركز الأول، و 4 نقاط لمن يحل في المركز الثاني، ونقطتان لمن يحل في المركز الثالث. استعمل الجدول المجاور الذي يبين نتائج مسابقة السباحة لكل فريق لتحديد الفريق الفائز في المسابقة. افهم المعطيات : . جدول يبين عدد مرات حصول 4 فرق على المراكز الثلاثة الأولى في مسابقة للسباحة. . عدد النقاط التي تحتسب للفريق في كل مركز. المطلوب : . تحديد الفريق الفائز. خطط يمكن إيجاد النقاط النهائية التي أحرزها كل فريق بضرب مصفوفة النتائج للفريق في مصفوفة عدد النقاط التي تحتسب لكل من المراكز الأول والثاني والثالث). حل اكتب كلا من النتائج والنقاط التي تم الحصول عليها في مصفوفتين، ورتب المصفوفتين على أن يكون عدد الصفوف في مصفوفة النقاط يساوي عدد الأعمدة في مصفوفة النتائج.

النتائج R = 4 7 3 8 9 1 10 5 3 3 3 6

النقاط P= 7 4 2

اضرب المصفوفتين. RP RP = 4 7 3 8 9 1 10 5 3 3 3 6 7 4 2 = 4(7)+7(4) + 3(2) 8(7)+9(4) + 1(2) 10(7)+5(4) + 3(2) 3(7) + 3(4) + 6(2) = 62 94 96 45

تبين مصفوفة حاصل الضرب عدد النقاط التي أحرزها كل من الفرق A, B, C, D على الترتيب؛ لذا فالفريق C هو الفائز في المسابقة؛ لأنه حصل على أكبر مجموع من النقاط وهو 96 نقطة. تحقق المصفوفة R من الرتبة 3 × 4 ، والمصفوفة من الرتبة 1 × 3 ؛ لذا فإن حاصل الضرب سيكون مصفوفة من الرتبة 1 × 4.

تحقق من فهمك

مبيعات: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" بداية الدرس، واستعمل ضرب المصفوفات لتحديد سعر بيع الأقلام في كل شهر.

خصائص ضرب المصفوفات: تذكّر أن خصائص جمع الأعداد الحقيقية تبقى صحيحة أيضًا عند جمع المصفوفات، إلا أن بعض خصائص ضرب الأعداد الحقيقية لا تكون صحيحة دائما عند ضرب المصفوفات.

إذا كانت G = 1 3 -5 4 -2 0 , H= 2 3 -2 -8 1 7 ، فأوجد ناتج كل ما يأتي:

GH = 1 3 -5 4 -2 0 2 3 -2 -8 1 7 = 2-6-5 3-24-35 8+4+0 12+16+0 = -9 -56 12 28

الربط مع الحياة تدل البحوث الصحية والرياضية أن ممارسة السباحة نصف ساعة يوميًا تخفض ضغط الدم وتقوي القلب وتقلل معدل الكولسترول في الدم وتزيد كفاءة الدورة الدموية وتحرق 500 : 250 سعرة حرارية؛ لذا تعد من أفضل الرياضات لتخفيض الوزن. --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة --- سباحة في مسابقة للسباحة بين أربع فرق سجلت 7 نقاط لمن يحل في المركز الأول، و 4 نقاط لمن يحل في المركز الثاني، ونقطتان لمن يحل في المركز الثالث. استعمل الجدول المجاور الذي يبين نتائج مسابقة السباحة لكل فريق لتحديد الفريق الفائز في المسابقة. افهم المعطيات : . جدول يبين عدد مرات حصول 4 فرق على المراكز الثلاثة الأولى في مسابقة للسباحة. . عدد النقاط التي تحتسب للفريق في كل مركز. المطلوب : . تحديد الفريق الفائز. خطط يمكن إيجاد النقاط النهائية التي أحرزها كل فريق بضرب مصفوفة النتائج للفريق في مصفوفة عدد النقاط التي تحتسب لكل من المراكز الأول والثاني والثالث). حل اكتب كلا من النتائج والنقاط التي تم الحصول عليها في مصفوفتين، ورتب المصفوفتين على أن يكون عدد الصفوف في مصفوفة النقاط يساوي عدد الأعمدة في مصفوفة النتائج. النتائج R = 4 7 3 8 9 1 10 5 3 3 3 6 النقاط P= 7 4 2 اضرب المصفوفتين. RP RP = 4 7 3 8 9 1 10 5 3 3 3 6 7 4 2 = 4(7)+7(4) + 3(2) 8(7)+9(4) + 1(2) 10(7)+5(4) + 3(2) 3(7) + 3(4) + 6(2) = 62 94 96 45 تبين مصفوفة حاصل الضرب عدد النقاط التي أحرزها كل من الفرق A, B, C, D على الترتيب؛ لذا فالفريق C هو الفائز في المسابقة؛ لأنه حصل على أكبر مجموع من النقاط وهو 96 نقطة. تحقق المصفوفة R من الرتبة 3 × 4 ، والمصفوفة من الرتبة 1 × 3 ؛ لذا فإن حاصل الضرب سيكون مصفوفة من الرتبة 1 × 4. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- مبيعات: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" بداية الدرس، واستعمل ضرب المصفوفات لتحديد سعر بيع الأقلام في كل شهر. خصائص ضرب المصفوفات: تذكّر أن خصائص جمع الأعداد الحقيقية تبقى صحيحة أيضًا عند جمع المصفوفات، إلا أن بعض خصائص ضرب الأعداد الحقيقية لا تكون صحيحة دائما عند ضرب المصفوفات. --- SECTION: مثال 4 اختبار الخاصية الإبدالية --- إذا كانت G = 1 3 -5 4 -2 0 , H= 2 3 -2 -8 1 7 ، فأوجد ناتج كل ما يأتي: --- SECTION: a --- GH = 1 3 -5 4 -2 0 2 3 -2 -8 1 7 = 2-6-5 3-24-35 8+4+0 12+16+0 = -9 -56 12 28 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: جدول Description: A table showing the points for each team in the swimming competition. Table Structure: Headers: الفريق | المركز الأول | المركز الثاني | المركز الثالث Rows: Row 1: A | 4 | 7 | 3 Row 2: B | 8 | 9 | 1 Row 3: C | 10 | 5 | 3 Row 4: D | 3 | 3 | 6 Calculation needed: N/A Data: N/A Context: N/A