تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 4: إذا كانت A = [ 4 -1 ] , B = [ -3 6 ] , فهل AB = BA ؟ 5 -2 -4 5

الإجابة: لا، لأن AB ≠ BA

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مصفوفتان: $$A = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$$ $$B = \begin{bmatrix} -3 & 6 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$$ السؤال: هل $AB = BA$؟ أي هل ضرب المصفوفتين تبادلي؟
2. **الخطوة 2 (القانون):** للمصفوفات، عملية الضرب ليست تبادلية بشكل عام. أي $AB$ قد لا يساوي $BA$. للتحقق، نحسب كلا الضربين.
3. **الخطوة 3 (حساب AB):** $$AB = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 6 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$$ العنصر (1,1): $(4 \times -3) + (-1 \times -4) = -12 + 4 = -8$ العنصر (1,2): $(4 \times 6) + (-1 \times 5) = 24 - 5 = 19$ العنصر (2,1): $(5 \times -3) + (-2 \times -4) = -15 + 8 = -7$ العنصر (2,2): $(5 \times 6) + (-2 \times 5) = 30 - 10 = 20$ إذن: $$AB = \begin{bmatrix} -8 & 19 \\ -7 & 20 \end{bmatrix}$$
4. **الخطوة 4 (حساب BA):** $$BA = \begin{bmatrix} -3 & 6 \\ -4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$$ العنصر (1,1): $(-3 \times 4) + (6 \times 5) = -12 + 30 = 18$ العنصر (1,2): $(-3 \times -1) + (6 \times -2) = 3 - 12 = -9$ العنصر (2,1): $(-4 \times 4) + (5 \times 5) = -16 + 25 = 9$ العنصر (2,2): $(-4 \times -1) + (5 \times -2) = 4 - 10 = -6$ إذن: $$BA = \begin{bmatrix} 18 & -9 \\ 9 & -6 \end{bmatrix}$$
5. **الخطوة 5 (المقارنة والنتيجة):** نلاحظ أن: $$AB = \begin{bmatrix} -8 & 19 \\ -7 & 20 \end{bmatrix}$$ $$BA = \begin{bmatrix} 18 & -9 \\ 9 & -6 \end{bmatrix}$$ المصفوفتان مختلفتان تماماً. إذن: $$AB \neq BA$$ لذلك الإجابة هي: **لا، لأن $AB \neq BA$**

سؤال 5: إذا كانت R = [ 2 -1 ] , S = [ 4 6 ] , T = [ -3 7 ] , فحدد ما إذا كانت المعادلة (S + T)R = SR + TR صحيحة للمصفوفات المعطاة أم لا. 1 3 -2 5 -4 8

الإجابة: نعم، لأن (S + T)R = SR + TR

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا ثلاث مصفوفات: $$R = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$ $$S = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$$ $$T = \begin{bmatrix} -3 & 7 \\ -4 & 8 \end{bmatrix}$$ السؤال: هل المعادلة $(S + T)R = SR + TR$ صحيحة لهذه المصفوفات؟
2. **الخطوة 2 (القانون):** للمصفوفات، خاصية التوزيع للضرب على الجمع صحيحة. أي: $$(S + T)R = SR + TR$$ لكن للتحقق من صحتها للمصفوفات المعطاة، سنحسب الطرفين.
3. **الخطوة 3 (حساب الطرف الأيسر: (S+T)R):** أولاً: نجمع $S + T$: $$S + T = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 & 7 \\ -4 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+(-3) & 6+7 \\ -2+(-4) & 5+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ -6 & 13 \end{bmatrix}$$ ثانياً: نضرب الناتج في $R$: $$(S + T)R = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ -6 & 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$ العنصر (1,1): $(1 \times 2) + (13 \times 1) = 2 + 13 = 15$ العنصر (1,2): $(1 \times -1) + (13 \times 3) = -1 + 39 = 38$ العنصر (2,1): $(-6 \times 2) + (13 \times 1) = -12 + 13 = 1$ العنصر (2,2): $(-6 \times -1) + (13 \times 3) = 6 + 39 = 45$ إذن: $$(S + T)R = \begin{bmatrix} 15 & 38 \\ 1 & 45 \end{bmatrix}$$
4. **الخطوة 4 (حساب الطرف الأيمن: SR + TR):** أولاً: نحسب $SR$: $$SR = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$ العنصر (1,1): $(4 \times 2) + (6 \times 1) = 8 + 6 = 14$ العنصر (1,2): $(4 \times -1) + (6 \times 3) = -4 + 18 = 14$ العنصر (2,1): $(-2 \times 2) + (5 \times 1) = -4 + 5 = 1$ العنصر (2,2): $(-2 \times -1) + (5 \times 3) = 2 + 15 = 17$ إذن: $$SR = \begin{bmatrix} 14 & 14 \\ 1 & 17 \end{bmatrix}$$ ثانياً: نحسب $TR$: $$TR = \begin{bmatrix} -3 & 7 \\ -4 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$ العنصر (1,1): $(-3 \times 2) + (7 \times 1) = -6 + 7 = 1$ العنصر (1,2): $(-3 \times -1) + (7 \times 3) = 3 + 21 = 24$ العنصر (2,1): $(-4 \times 2) + (8 \times 1) = -8 + 8 = 0$ العنصر (2,2): $(-4 \times -1) + (8 \times 3) = 4 + 24 = 28$ إذن: $$TR = \begin{bmatrix} 1 & 24 \\ 0 & 28 \end{bmatrix}$$ ثالثاً: نجمع $SR + TR$: $$SR + TR = \begin{bmatrix} 14 & 14 \\ 1 & 17 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 24 \\ 0 & 28 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14+1 & 14+24 \\ 1+0 & 17+28 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 38 \\ 1 & 45 \end{bmatrix}$$
5. **الخطوة 5 (المقارنة والنتيجة):** الطرف الأيسر: $$(S + T)R = \begin{bmatrix} 15 & 38 \\ 1 & 45 \end{bmatrix}$$ الطرف الأيمن: $$SR + TR = \begin{bmatrix} 15 & 38 \\ 1 & 45 \end{bmatrix}$$ الطرفان متساويان تماماً. وهذا يتوافق مع خاصية التوزيع للمصفوفات. إذن الإجابة هي: **نعم، لأن $(S + T)R = SR + TR$**

هل عملية ضرب المصفوفات عملية إبدالية (تبادلية)؟

• أ) نعم، ضرب المصفوفات إبدالي دائماً.
• ب) لا، عملية ضرب المصفوفات ليست إبدالية بشكل عام، أي أن AB قد لا يساوي BA.
• ج) نعم، ولكن فقط إذا كانت المصفوفتان مربعتان.
• د) لا، إلا إذا كانت المصفوفتان من نفس البعد.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا، عملية ضرب المصفوفات ليست إبدالية بشكل عام، أي أن AB قد لا يساوي BA.

الشرح: 1. الخاصية الإبدالية تعني أن ترتيب العوامل لا يغير الناتج (أ×ب = ب×أ). 2. في ضرب المصفوفات، هذه الخاصية لا تتحقق بشكل عام. 3. لإثبات ذلك، يكفي إعطاء مثال مضاد يوضح أن AB ≠ BA. 4. مثال: إذا كانت A = [[4, -1], [5, -2]] و B = [[-3, 6], [-4, 5]]، فإن AB = [[-8, 19], [-7, 20]] بينما BA = [[18, -9], [9, -6]]. 5. النتيجة: AB ≠ BA، لذا الضرب ليس إبدالياً.

تلميح: فكر في أهمية الترتيب عند ضرب المصفوفات. هل يمكنك إعطاء مثال مضاد؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الطريقة الصحيحة لإثبات أن خاصية رياضية (مثل الإبدالية) ليست صحيحة لضرب المصفوفات؟

• أ) إجراء برهان رياضي معقد للحالة العامة.
• ب) إعطاء مثال مضاد واحد يبين أن الخاصية لا تتحقق.
• ج) اختبار الخاصية على 100 مثال مختلف.
• د) الرجوع إلى تعريف الخاصية في الكتاب فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إعطاء مثال مضاد واحد يبين أن الخاصية لا تتحقق.

الشرح: 1. لإثبات صحة خاصية في جميع الحالات، يجب إثباتها في الحالة العامة باستخدام البرهان الرياضي. 2. لإثبات أن خاصية ما ليست صحيحة (أو نفيها)، يكفي إعطاء مثال واحد مضاد. 3. مثال مضاد: إذا وجدنا مصفوفتين A و B بحيث AB ≠ BA، فهذا يثبت أن ضرب المصفوفات ليس إبدالياً. 4. هذه الطريقة فعالة لأنها تبطل الادعاء العام للخاصية. 5. النتيجة: يكفي مثال مضاد واحد.

تلميح: ما الفرق بين إثبات صحة شيء ما وإثبات خطئه؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا كانت J، K، L مصفوفات، وكانت عمليتا الضرب والجمع معرفتين، فماذا تساوي J(K + L)؟

• أ) تساوي KJ + LJ.
• ب) تساوي (K + L)J.
• ج) تساوي JK + JL (خاصية التوزيع).
• د) لا يمكن حسابها إلا إذا كانت المصفوفات إبدالية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تساوي JK + JL (خاصية التوزيع).

الشرح: 1. خاصية التوزيع للضرب على الجمع تنص على: أ(ب+ج) = أب + أج. 2. هذه الخاصية صحيحة للمصفوفات أيضاً، بشرط أن تكون عمليتا الضرب والجمع معرفتين (الأبعاد متوافقة). 3. في المثال: J(K+L) = [[6, 14], [1, -11]] و JK+JL = [[6, 14], [1, -11]]. 4. النتائج متساوية، مما يؤكد صحة الخاصية. 5. يمكن إثبات أن الخاصية صحيحة دائماً في هذه الحالة.

تلميح: تذكر خاصية توزيع الضرب على الجمع في الأعداد. هل تنطبق على المصفوفات؟

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كانت R = [[2, -1], [1, 3]]، S = [[4, 6], [-2, 5]]، T = [[-3, 7], [-4, 8]]، فما قيمة (S + T)R؟

• أ) [[14, 14], [1, 17]]
• ب) [[15, 38], [1, 45]]
• ج) [[1, 24], [0, 28]]
• د) [[-8, 19], [-7, 20]]

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: [[15, 38], [1, 45]]

الشرح: 1. احسب S + T: [[4,6],[-2,5]] + [[-3,7],[-4,8]] = [[1,13],[-6,13]]. 2. اضرب الناتج في R: [[1,13],[-6,13]] × [[2,-1],[1,3]]. 3. العنصر (1,1): (1×2)+(13×1)=2+13=15. 4. العنصر (1,2): (1×-1)+(13×3)=-1+39=38. 5. العنصر (2,1): (-6×2)+(13×1)=-12+13=1. 6. العنصر (2,2): (-6×-1)+(13×3)=6+39=45. 7. النتيجة النهائية: [[15, 38], [1, 45]].

تلميح: احسب أولاً مجموع S و T، ثم اضرب الناتج في R. تذكر خطوات ضرب المصفوفات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب