إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: $a_n = (\frac{1}{2})^n$

الإجابة: 0

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتتابعة: $a_n = (\frac{1}{2})^n$ نريد إيجاد نهاية هذه المتتابعة عندما $n$ يؤول إلى ما لا نهاية ($n \to \infty$).
2. **الخطوة 2 (المفهوم):** نتذكر قاعدة مهمة: إذا كان لدينا عدد $r$ حيث $|r| < 1$، فإن نهاية $r^n$ عندما $n \to \infty$ تساوي الصفر. $$\lim_{n \to \infty} r^n = 0 \quad \text{إذا كان} \quad |r| < 1$$
3. **الخطوة 3 (التطبيق):** في متتابعتنا، $r = \frac{1}{2}$. نفحص الشرط: $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. إذن الشرط $|r| < 1$ محقق.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتالي، نهاية المتتابعة عندما $n \to \infty$ هي: $$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n = 0$$ إذن الإجابة هي: **0**

سؤال 2: $a_n = (-\frac{2}{3})^n$

الإجابة: 0

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتتابعة: $a_n = (-\frac{2}{3})^n$ نريد إيجاد نهاية هذه المتتابعة عندما $n \to \infty$.
2. **الخطوة 2 (المفهوم):** نفس القاعدة السابقة تنطبق هنا: إذا كان $|r| < 1$، فإن $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$. هذه القاعدة صحيحة حتى لو كان $r$ سالباً، المهم أن تكون القيمة المطلقة $|r|$ أقل من 1.
3. **الخطوة 3 (التطبيق):** في متتابعتنا، $r = -\frac{2}{3}$. نحسب القيمة المطلقة: $|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$. نفحص الشرط: $\frac{2}{3} < 1$؟ نعم، $\frac{2}{3} \approx 0.666$ وهو أقل من 1. إذن الشرط $|r| < 1$ محقق.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتالي، نهاية المتتابعة هي: $$\lim_{n \to \infty} (-\frac{2}{3})^n = 0$$ إذن الإجابة هي: **0**

سؤال 3: $a_n = 5^n$

الإجابة: ∞+ (لا توجد نهاية)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتتابعة: $a_n = 5^n$ نريد إيجاد نهاية هذه المتتابعة عندما $n \to \infty$.
2. **الخطوة 2 (المفهوم):** نتذكر قاعدة أخرى: إذا كان لدينا عدد $r$ حيث $r > 1$، فإن نهاية $r^n$ عندما $n \to \infty$ تؤول إلى ما لا نهاية ($\infty$). $$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty \quad \text{إذا كان} \quad r > 1$$
3. **الخطوة 3 (التطبيق):** في متتابعتنا، $r = 5$. نفحص الشرط: $5 > 1$؟ نعم. إذن الشرط $r > 1$ محقق.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتالي، نهاية المتتابعة عندما $n \to \infty$ تؤول إلى ما لا نهاية: $$\lim_{n \to \infty} 5^n = \infty$$ إذن الإجابة هي: **$\infty$ (لا توجد نهاية)**

سؤال 4: $a_n = \frac{1}{n^2}$

الإجابة: 0

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتتابعة: $a_n = \frac{1}{n^2}$ نريد إيجاد نهاية هذه المتتابعة عندما $n \to \infty$.
2. **الخطوة 2 (المفهوم):** نتذكر قاعدة أساسية: نهاية $\frac{1}{n^k}$ عندما $n \to \infty$ تساوي الصفر، لأي عدد حقيقي موجب $k > 0$. $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 \quad \text{لـ} \quad k > 0$$
3. **الخطوة 3 (التطبيق):** في متتابعتنا، المقام هو $n^2$. هنا $k = 2$، وهو عدد موجب ($2 > 0$). إذن تنطبق القاعدة مباشرة.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتالي، نهاية المتتابعة هي: $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$$ إذن الإجابة هي: **0**

سؤال 5: $a_n = 3^{n+1}$

الإجابة: 1

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتتابعة: $a_n = 3^{n+1}$ نريد إيجاد نهاية هذه المتتابعة عندما $n \to \infty$. **ملاحظة:** يبدو أن هناك خطأ مطبعي محتمل في الإجابة المعطاة (1)، لأن قاعدة الأسس أكبر من 1 تؤدي عادة إلى نهاية لا نهائية. سنشرح الطريقة الصحيحة أولاً، ثم نذكر الاحتمال.
2. **الخطوة 2 (تبسيط المتتابعة):** نعيد كتابة المتتابعة باستخدام خواص الأسس: $$a_n = 3^{n+1} = 3^n \times 3^1 = 3 \times 3^n$$
3. **الخطوة 3 (تطبيق القاعدة):** نعلم أن $\lim_{n \to \infty} 3^n = \infty$ لأن $3 > 1$. وبالتالي: $$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (3 \times 3^n) = 3 \times \infty = \infty$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة والاحتمال):** إذن، النهاية الصحيحة لهذه المتتابعة هي: **$\infty$ (لا توجد نهاية)**. **احتمال تفسير السؤال:** إذا كان السؤال الأصلي يطلب شيئاً آخر (مثل نهاية $\frac{3^{n+1}}{3^n}$ أو $\sqrt[n]{3^{n+1}}$)، فقد تكون النهاية 1. ولكن للمتتابعة $a_n = 3^{n+1}$ نفسها، النهاية هي $\infty$.

سؤال 6: $a_n = \frac{n^2}{n+2}$

الإجابة: ∞+ (لا توجد نهاية)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتتابعة: $a_n = \frac{n^2}{n+2}$ نريد إيجاد نهاية هذه المتتابعة عندما $n \to \infty$.
2. **الخطوة 2 (الطريقة - قسمة البسط والمقام على أعلى قوة):** أعلى قوة لـ $n$ في الكسر هي $n^2$ (في البسط). نقسم كل من البسط والمقام على $n^2$: $$a_n = \frac{n^2}{n+2} = \frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{n}{n^2} + \frac{2}{n^2}} = \frac{1}{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}$$
3. **الخطوة 3 (إيجاد النهاية):** الآن نجد النهاية عندما $n \to \infty$: $$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}$$ نعلم أن: $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \quad \text{و} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} = 0$$ لذلك: $$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{0 + 0} = \frac{1}{0}$$ قسمة عدد على صفر (في سياق النهايات) تؤول إلى ما لا نهاية.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن البسط موجب ($n^2$ موجب) والمقام موجب ($n+2$ موجب لـ $n$ كبير)، فإن النهاية تؤول إلى ما لا نهاية موجبة. إذن الإجابة هي: **$\infty$ (لا توجد نهاية)**

ما الشرط الأساسي لوجود النظير الضربي لمصفوفة مربعة من الرتبة 2×2؟

• أ) أن تكون جميع عناصر المصفوفة أعدادًا صحيحة.
• ب) أن تكون المصفوفة متماثلة حول القطر الرئيسي.
• ج) أن تكون قيمة محدد المصفوفة لا تساوي صفرًا (|A| ≠ 0).
• د) أن يكون ناتج ضرب عناصر القطر الرئيسي أكبر من ناتج ضرب عناصر القطر الآخر.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن تكون قيمة محدد المصفوفة لا تساوي صفرًا (|A| ≠ 0).

الشرح: 1. الشرط الأساسي هو أن يكون للمصفوفة محدد (determinant). 2. بالنسبة لمصفوفة 2×2، إذا كان محددها |A| = 0، فإنه ليس لها نظير ضربي. 3. إذا كان |A| ≠ 0، فإن للمصفوفة نظيرًا ضربيًا يمكن إيجاده.

تلميح: فكر في الخطوة الأولى من خطوات إيجاد النظير الضربي.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما الخطوات الصحيحة بالترتيب لإيجاد النظير الضربي (A⁻¹) لمصفوفة 2×2 إذا كان |A| ≠ 0؟

• أ) 1. تغيير إشارة جميع العناصر. 2. مبادلة الصفوف والأعمدة. 3. ضرب الناتج في |A|.
• ب) 1. قسمة جميع العناصر على |A|. 2. مبادلة عنصري القطر الرئيسي. 3. تغيير إشارتي عنصري القطر الآخر.
• ج) 1. مبادلة عنصري القطر الرئيسي. 2. تغيير إشارتي عنصري القطر الآخر. 3. ضرب المصفوفة الناتجة في 1/|A|.
• د) 1. إيجاد محدد المصفوفة. 2. ضرب المصفوفة في نفسها. 3. طرح مصفوفة الوحدة من الناتج.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1. مبادلة عنصري القطر الرئيسي. 2. تغيير إشارتي عنصري القطر الآخر. 3. ضرب المصفوفة الناتجة في 1/|A|.

الشرح: 1. الخطوة الأولى: مبادلة موضعي عنصري القطر الرئيسي (a و d). 2. الخطوة الثانية: تغيير إشارتي عنصري القطر الآخر (b و c). 3. الخطوة الثالثة: ضرب المصفوفة الناتجة بعد الخطوتين السابقتين في العدد 1/|A| (مقلوب محدد المصفوفة الأصلية).

تلميح: تذكر أن الخطوة الأخيرة تتضمن استخدام مقلوب المحدد.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الشكل العام للمعادلة المصفوفية التي تمثل نظام معادلتين خطيتين: ax + by = m ، fx + gy = n؟

• أ) X A = B ، حيث X = [[a, b], [f, g]] ، A = [[x], [y]] ، B = [[m], [n]].
• ب) A B = X ، حيث A = [[a, b], [f, g]] ، B = [[m], [n]] ، X = [[x], [y]].
• ج) A X = B ، حيث A = [[a, b], [f, g]] ، X = [[x], [y]] ، B = [[m], [n]].
• د) B X = A ، حيث B = [[m], [n]] ، X = [[x], [y]] ، A = [[a, b], [f, g]].

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: A X = B ، حيث A = [[a, b], [f, g]] ، X = [[x], [y]] ، B = [[m], [n]].

الشرح: 1. نظام المعادلات: ax + by = m ، fx + gy = n. 2. مصفوفة المعاملات (A): تحتوي على معاملات x و y: [[a, b], [f, g]]. 3. مصفوفة المتغيرات (X): تحتوي على المتغيرات: [[x], [y]]. 4. مصفوفة الثوابت (B): تحتوي على الحدود الثابتة: [[m], [n]]. 5. المعادلة المصفوفية هي حاصل ضرب A في X يساوي B: A X = B.

تلميح: فكر في فصل معاملات المتغيرات عن المتغيرات نفسها وعن الثوابت.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

متى يمكن استخدام طريقة النظير الضربي للمصفوفة لحل نظام معادلات خطية مُمثل في صورة معادلة مصفوفية A X = B؟

• أ) عندما يكون عدد المعادلات أكبر من عدد المجاهيل.
• ب) عندما تكون جميع عناصر مصفوفة الثوابت B أعدادًا موجبة.
• ج) عندما يكون للمصفوفة A نظير ضربي (أي عندما يكون |A| ≠ 0).
• د) عندما تكون المصفوفة A مصفوفة قطرية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عندما يكون للمصفوفة A نظير ضربي (أي عندما يكون |A| ≠ 0).

الشرح: 1. لحل نظام معادلات مُمثل بالصيغة A X = B باستخدام النظير الضربي، نضرب طرفي المعادلة في A⁻¹ من اليسار. 2. هذا يعطي: A⁻¹ A X = A⁻¹ B → I X = A⁻¹ B → X = A⁻¹ B. 3. هذه الطريقة ممكنة فقط إذا كان لـ A نظير ضربي A⁻¹. 4. شرط وجود A⁻¹ هو أن يكون محددها |A| ≠ 0.

تلميح: اربط شرط وجود حل باستخدام النظير الضربي بشرط وجود النظير نفسه.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

ما الشرط الأساسي الذي يؤدي إلى عدم وجود نظير ضربي للمصفوفة المربعة من الرتبة 2 × 2؟

• أ) عندما تكون قيمة المحددة عدداً سالباً.
• ب) عندما تكون قيمة المحددة مساوية للواحد.
• ج) عندما تكون قيمة محددة المصفوفة مساوية للصفر.
• د) عندما تكون جميع عناصر القطر الرئيس أصفاراً والمحددة لا تساوي صفراً.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عندما تكون قيمة محددة المصفوفة مساوية للصفر.

الشرح: 1. لإيجاد النظير الضربي للمصفوفة A، نستخدم القانون الذي يتضمن ضرب مقلوب المحددة (1/|A|) في المصفوفة الناتجة عن تبديل العناصر. 2. رياضياً، لا يمكن القسمة على الصفر. 3. بناءً على ذلك، إذا كانت قيمة المحددة |A| = 0، فإن عملية حساب النظير تصبح غير معرفة. 4. النتيجة: المصفوفة التي محددتها صفر لا يوجد لها نظير ضربي وتسمى أحياناً مصفوفة منفردة.

تلميح: تذكر أن قانون النظير الضربي يتضمن القسمة على قيمة المحددة (|A|).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط