مثال 3 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل نظام معادلات باستخدام المعادلة المصفوفية

المفاهيم الأساسية

حل المعادلة المصفوفية: هو حاصل ضرب النظير الضربي لمصفوفة المعاملات (A⁻¹) في مصفوفة الثوابت (B).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية

التحقق من النظير الضربي

#### شرط التحقق

##### A • B = B • A = I

##### الضرب في الاتجاهين ضروري (الضرب غير إبدالي)

#### مثال توضيحي

##### مثال 1: التحقق من نظير ضربي

###### أ) المصفوفتان A و B

A = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1/4 & -1/2 \\ 1/2 & -1 \end{bmatrix}

A • B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ≠ I

النتيجة: ليستا نظيرين ضربيين.

###### ب) المصفوفتان F و G

F = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 6 \end{bmatrix}, G = \begin{bmatrix} 3/4 & 5/8 \\ 1/4 & 3/8 \end{bmatrix}

F • G = I

G • F = I

النتيجة: كل منهما نظير ضربي للأخرى.

إيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2

#### صيغة النظير الضربي

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

#### شرط الوجود

##### يجب أن يكون |A| ≠ 0

##### إذا كان |A| = 0، فليس للمصفوفة نظير ضربي.

#### خطوات الإيجاد

##### 1) احسب المحدد |A|

##### 2) بادل عنصري القطر الرئيسي (a و d)

##### 3) غيّر إشارتي عنصري القطر الآخر (b و c)

##### 4) اضرب المصفوفة الناتجة في 1/|A|

#### مثال توضيحي

##### مثال 2: إيجاد النظير الضربي

###### أ) المصفوفة P

P = \begin{bmatrix} 7 & -5 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}

|P| = 3

P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -2 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & 5/3 \\ -2/3 & 7/3 \end{bmatrix}

###### ب) المصفوفة Q

Q = \begin{bmatrix} -8 & -6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}

|Q| = 0

النتيجة: ليس لها نظير ضربي.

المعادلات المصفوفية

#### الصيغة العامة

A X = B

#### مكونات المعادلة

##### A: مصفوفة المعاملات

##### X: مصفوفة المتغيرات

##### B: مصفوفة الثوابت

#### شرط الحل باستخدام النظير الضربي

##### يجب أن يكون للمصفوفة A نظير ضربي (A⁻¹)

##### إذا لم يكن لها نظير ضربي، فقد يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول أو لا يوجد له حل.

#### خطوات الحل

##### 1) اكتب المعادلة المصفوفية

##### 2) أوجد النظير الضربي لمصفوفة المعاملات (A⁻¹)

##### 3) حل المعادلة باستخدام الصيغة: X = A^{-1} B

#### مثال تطبيقي (من واقع الحياة)

##### مثال 3: شراء الوقود

###### المشكلة: اشترى سلمان 100 لتر وقود من محطتين، بسعر 1.50 و 1.45 ريال/لتر، ودفع 149 ريال. كم لتراً اشترى من كل محطة؟

###### النظام:

x + y = 100

1.50x + 1.45y = 149

###### المعادلة المصفوفية:

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.50 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}

###### الحل:

A^{-1} = \begin{bmatrix} 1.45 & -1 \\ -1.50 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 80 \\ 20 \end{bmatrix}

النتيجة: 80 لتر من المحطة الأولى، و 20 لتر من المحطة الثانية.

```

نقاط مهمة

• حل المعادلة المصفوفية AX = B يشبه حل المعادلة العددية ax = b.
• الصيغة الأساسية للحل هي: X = A⁻¹B.
• في المثال التطبيقي، تم تحويل مسألة كلامية إلى نظام معادلات، ثم إلى معادلة مصفوفية، وحُلَّت باستخدام النظير الضربي.

ثم حل المعادلة المصفوفية بالطريقة نفسها التي تُحَلُّ بها أي معادلة أخرى من الشكل ax = b.

ax = b (1)ax = (1)b 1x = b x = b

AX = B A-1AX = A-1B IX = A-1B X = A-1B

لاحظ أن حل المعادلة المصفوفية من الشكل AX = B هو حاصل ضرب النظير الضربي لمصفوفة المعاملات في مصفوفة الثوابت.

سفر: زود سلمان سيارته بالوقود مرتين في أثناء سفره إلى الرياض قادمًا من جدة، إذا كان سعر البنزين في المحطة الأولى 1.50 ريال لكل لتر، وفي المحطة الثانية كان السعر 1.45 ريال لكل لتر، وكان مجموع ما زود به سيارته من البنزين 100 لتر، بسعر إجمالي 149 ریال، فكم لتر بنزین زود به سيارته من كل محطة؟

يكتب نظام المعادلتين الذي يمثل هذه الحالة على النحو الآتي: x + y = 100 1.50x + 1.45y = 149

اكتب المعادلة المصفوفية بافتراض أن x عدد لترات البنزين من المحطة الأولى، ولا عدد لترات البنزين من المحطة الثانية:

1 [1.50 1.45][][149]

أوجد النظير الضربي لمصفوفة المعاملات.

A-1 = 1.45 -1 1.45-1.50 -1.50 -1]=[]=[20]

حُلَّ المعادلة المصفوفية باستعمال X = A-1B

[]=[20] []=[20]

إذن الحل هو (800)، وهذا يعني أن سلمان زود سيارته بـ 80 لترًا من المحطة الأولى و 20 لترا من الثانية.

هناك 90% من محطات الوقود العاملة في المملكة يُديرها أفراد يمتلكون هذه المحطات، بينما %10% فقط من هذه المحطات تديرها شركات متخصصة في مجال تشغيل وإدارة محطات الوقود.

94 الفصل 2 المصفوفات

ثم حل المعادلة المصفوفية بالطريقة نفسها التي تُحَلُّ بها أي معادلة أخرى من الشكل ax = b. ax = b (1)ax = (1)b 1x = b x = b AX = B A-1AX = A-1B IX = A-1B X = A-1B لاحظ أن حل المعادلة المصفوفية من الشكل AX = B هو حاصل ضرب النظير الضربي لمصفوفة المعاملات في مصفوفة الثوابت. --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة --- سفر: زود سلمان سيارته بالوقود مرتين في أثناء سفره إلى الرياض قادمًا من جدة، إذا كان سعر البنزين في المحطة الأولى 1.50 ريال لكل لتر، وفي المحطة الثانية كان السعر 1.45 ريال لكل لتر، وكان مجموع ما زود به سيارته من البنزين 100 لتر، بسعر إجمالي 149 ریال، فكم لتر بنزین زود به سيارته من كل محطة؟ يكتب نظام المعادلتين الذي يمثل هذه الحالة على النحو الآتي: x + y = 100 1.50x + 1.45y = 149 --- SECTION: الخطوة 1 --- اكتب المعادلة المصفوفية بافتراض أن x عدد لترات البنزين من المحطة الأولى، ولا عدد لترات البنزين من المحطة الثانية: 1 [1.50 1.45][][149] --- SECTION: الخطوة 2 --- أوجد النظير الضربي لمصفوفة المعاملات. A-1 = 1.45 -1 1.45-1.50 -1.50 -1]=[]=[20] --- SECTION: الخطوة 3 --- حُلَّ المعادلة المصفوفية باستعمال X = A-1B []=[20] []=[20] إذن الحل هو (800)، وهذا يعني أن سلمان زود سيارته بـ 80 لترًا من المحطة الأولى و 20 لترا من الثانية. --- SECTION: الربط مع الحياة --- هناك 90% من محطات الوقود العاملة في المملكة يُديرها أفراد يمتلكون هذه المحطات، بينما %10% فقط من هذه المحطات تديرها شركات متخصصة في مجال تشغيل وإدارة محطات الوقود. 94 الفصل 2 المصفوفات