📚 النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية
المفاهيم الأساسية
النظير الضربي للمصفوفة: مصفوفة إذا ضربت في المصفوفة الأصلية (في كلا الاتجاهين) أعطت مصفوفة الوحدة.
خريطة المفاهيم
```markmap
الفصل 2: المصفوفات
النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية
التحقق من النظير الضربي
#### شرط التحقق
##### A • B = B • A = I
##### الضرب في الاتجاهين ضروري (الضرب غير إبدالي)
#### مثال توضيحي
##### مثال 1: التحقق من نظير ضربي
###### أ) المصفوفتان A و B
A = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1/4 & -1/2 \\ 1/2 & -1 \end{bmatrix}
A • B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ≠ I
النتيجة: ليستا نظيرين ضربيين.
###### ب) المصفوفتان F و G
F = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 6 \end{bmatrix}, G = \begin{bmatrix} 3/4 & 5/8 \\ 1/4 & 3/8 \end{bmatrix}
F • G = I
G • F = I
النتيجة: كل منهما نظير ضربي للأخرى.
إيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2
#### صيغة النظير الضربي
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
#### شرط الوجود
##### يجب أن يكون |A| ≠ 0
##### إذا كان |A| = 0، فليس للمصفوفة نظير ضربي.
#### خطوات الإيجاد
##### 1) احسب المحدد |A|
##### 2) بادل عنصري القطر الرئيسي (a و d)
##### 3) غيّر إشارتي عنصري القطر الآخر (b و c)
##### 4) اضرب المصفوفة الناتجة في 1/|A|
#### مثال توضيحي
##### مثال 2: إيجاد النظير الضربي
###### أ) المصفوفة P
P = \begin{bmatrix} 7 & -5 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}
|P| = 3
P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -2 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & 5/3 \\ -2/3 & 7/3 \end{bmatrix}
###### ب) المصفوفة Q
Q = \begin{bmatrix} -8 & -6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}
|Q| = 0
النتيجة: ليس لها نظير ضربي.
المعادلات المصفوفية
#### الصيغة العامة
A X = B
#### مكونات المعادلة
##### A: مصفوفة المعاملات
##### X: مصفوفة المتغيرات
##### B: مصفوفة الثوابت
#### شرط الحل باستخدام النظير الضربي
##### يجب أن يكون للمصفوفة A نظير ضربي (A⁻¹)
##### إذا لم يكن لها نظير ضربي، فقد يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول أو لا يوجد له حل.
#### خطوات الحل
##### 1) اكتب المعادلة المصفوفية
##### 2) أوجد النظير الضربي لمصفوفة المعاملات (A⁻¹)
##### 3) حل المعادلة باستخدام الصيغة: X = A^{-1} B
#### مثال تطبيقي (من واقع الحياة)
##### مثال 3: شراء الوقود
###### المشكلة: اشترى سلمان 100 لتر وقود من محطتين، بسعر 1.50 و 1.45 ريال/لتر، ودفع 149 ريال. كم لتراً اشترى من كل محطة؟
###### النظام:
x + y = 100
1.50x + 1.45y = 149
###### المعادلة المصفوفية:
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.50 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}
###### الحل:
A^{-1} = \begin{bmatrix} 1.45 & -1 \\ -1.50 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 80 \\ 20 \end{bmatrix}
النتيجة: 80 لتر من المحطة الأولى، و 20 لتر من المحطة الثانية.
تدرب وحل المسائل
#### التحقق من النظير الضربي
##### مثال 1: التحقق من نظير ضربي
###### أ) المصفوفتان K و L
K = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, L = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
###### ب) المصفوفتان M و N
M = \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}, N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
###### ج) المصفوفتان R و S
R = \begin{bmatrix} 1/4 & 1/2 \\ 1/4 & -1/2 \end{bmatrix}, S = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}
#### إيجاد النظير الضربي
##### مثال 2: أوجد النظير الضربي
###### أ) المصفوفة
\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
###### ب) المصفوفة
\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}
###### ج) المصفوفة
\begin{bmatrix} 1 & -6 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}
###### د) المصفوفة
\begin{bmatrix} -5 & 4 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}
#### حل مسائل باستخدام المعادلات المصفوفية
##### مثال 3: مشتريات الأقلام
###### المشكلة: دفع سعد 225 ريالًا لشراء 5 أقلام جافة و 6 سائلة، ودفع ماجد 120 ريالًا لشراء 3 أقلام جافة و 3 سائلة.
###### النظام:
5x + 6y = 225
3x + 3y = 120
###### المطلوب: استعمل معادلة مصفوفية لإيجاد سعر القلم الجاف (x).
##### مسألة الهجرة (17)
###### المشكلة: نسبة الهجرة السنوية بين مدينة وضواحيها.
###### البيانات من الرسم:
* المدينة: 0.97 يبقون، 0.03 يغادرون.
* الضواحي: 0.95 يبقون، 0.05 يغادرون.
###### المطلوب: اكتب مصفوفة تبين نسبة المهاجرين والباقين.
#### حل أنظمة معادلات خطية
##### استعمل معادلة مصفوفية لحل الأنظمة (18-26)
###### أمثلة:
-x + y = 4
-x + y = -4
3x + y = 3
5x + 3y = 6
1.6y - 0.2x = 1
0.4y - 0.1x = 0.5
```
نقاط مهمة
- يمكن استخدام المعادلات المصفوفية لحل مسائل من واقع الحياة مثل حساب عدد العملات أو أسعار السلع.
- مسألة الهجرة توضح تطبيقاً عملياً للمصفوفات في وصف حركة السكان بين المناطق.
- قسم "الربط مع الحياة" يذكر أن المشاريع التنموية في الضواحي تشجع على الهجرة العكسية من المدن.