مسائل مهارات التفكير العليا

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 مسائل مهارات التفكير العليا ومراجعة

المفاهيم الأساسية

* المعادلة المصفوفية: تمثيل لنظام معادلات خطية بصيغة `A X = B`.

* النظير الضربي للمصفوفة: مصفوفة معكوسة (A⁻¹) تحقق الشرط `A • A⁻¹ = A⁻¹ • A = I`.

* المحدد: قيمة عددية تحدد إذا ما كانت المصفوفة لها نظير ضربي (إذا كانت ≠ 0).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية

التحقق من النظير الضربي

#### شرط التحقق

##### A • B = B • A = I

##### الضرب في الاتجاهين ضروري (الضرب غير إبدالي)

#### مثال توضيحي

##### مثال 1: التحقق من نظير ضربي

###### أ) المصفوفتان A و B

A = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1/4 & -1/2 \\ 1/2 & -1 \end{bmatrix}

A • B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ≠ I

النتيجة: ليستا نظيرين ضربيين.

###### ب) المصفوفتان F و G

F = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 6 \end{bmatrix}, G = \begin{bmatrix} 3/4 & 5/8 \\ 1/4 & 3/8 \end{bmatrix}

F • G = I

G • F = I

النتيجة: كل منهما نظير ضربي للأخرى.

إيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2

#### صيغة النظير الضربي

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

#### شرط الوجود

##### يجب أن يكون |A| ≠ 0

##### إذا كان |A| = 0، فليس للمصفوفة نظير ضربي.

#### خطوات الإيجاد

##### 1) احسب المحدد |A|

##### 2) بادل عنصري القطر الرئيسي (a و d)

##### 3) غيّر إشارتي عنصري القطر الآخر (b و c)

##### 4) اضرب المصفوفة الناتجة في 1/|A|

#### مثال توضيحي

##### مثال 2: إيجاد النظير الضربي

###### أ) المصفوفة P

P = \begin{bmatrix} 7 & -5 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}

|P| = 3

P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -2 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & 5/3 \\ -2/3 & 7/3 \end{bmatrix}

###### ب) المصفوفة Q

Q = \begin{bmatrix} -8 & -6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}

|Q| = 0

النتيجة: ليس لها نظير ضربي.

المعادلات المصفوفية

#### الصيغة العامة

A X = B

#### مكونات المعادلة

##### A: مصفوفة المعاملات

##### X: مصفوفة المتغيرات

##### B: مصفوفة الثوابت

#### شرط الحل باستخدام النظير الضربي

##### يجب أن يكون للمصفوفة A نظير ضربي (A⁻¹)

##### إذا لم يكن لها نظير ضربي، فقد يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول أو لا يوجد له حل.

#### خطوات الحل

##### 1) اكتب المعادلة المصفوفية

##### 2) أوجد النظير الضربي لمصفوفة المعاملات (A⁻¹)

##### 3) حل المعادلة باستخدام الصيغة: X = A^{-1} B

#### مثال تطبيقي (من واقع الحياة)

##### مثال 3: شراء الوقود

###### المشكلة: اشترى سلمان 100 لتر وقود من محطتين، بسعر 1.50 و 1.45 ريال/لتر، ودفع 149 ريال. كم لتراً اشترى من كل محطة؟

###### النظام:

x + y = 100

1.50x + 1.45y = 149

###### المعادلة المصفوفية:

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.50 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}

###### الحل:

A^{-1} = \begin{bmatrix} 1.45 & -1 \\ -1.50 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 80 \\ 20 \end{bmatrix}

النتيجة: 80 لتر من المحطة الأولى، و 20 لتر من المحطة الثانية.

تدرب وحل المسائل

#### التحقق من النظير الضربي

##### مثال 1: التحقق من نظير ضربي

###### أ) المصفوفتان K و L

K = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, L = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

###### ب) المصفوفتان M و N

M = \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}, N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

###### ج) المصفوفتان R و S

R = \begin{bmatrix} 1/4 & 1/2 \\ 1/4 & -1/2 \end{bmatrix}, S = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}

#### إيجاد النظير الضربي

##### مثال 2: أوجد النظير الضربي

###### أ) المصفوفة

\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

###### ب) المصفوفة

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}

###### ج) المصفوفة

\begin{bmatrix} 1 & -6 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}

###### د) المصفوفة

\begin{bmatrix} -5 & 4 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}

#### حل مسائل باستخدام المعادلات المصفوفية

##### مثال 3: مشتريات الأقلام

###### المشكلة: دفع سعد 225 ريالًا لشراء 5 أقلام جافة و 6 سائلة، ودفع ماجد 120 ريالًا لشراء 3 أقلام جافة و 3 سائلة.

###### النظام:

5x + 6y = 225

3x + 3y = 120

###### المطلوب: استعمل معادلة مصفوفية لإيجاد سعر القلم الجاف (x).

##### مسألة الهجرة (17)

###### المشكلة: نسبة الهجرة السنوية بين مدينة وضواحيها.

###### البيانات من الرسم:

* المدينة: 0.97 يبقون، 0.03 يغادرون.

* الضواحي: 0.95 يبقون، 0.05 يغادرون.

###### المطلوب: اكتب مصفوفة تبين نسبة المهاجرين والباقين.

#### حل أنظمة معادلات خطية

##### استعمل معادلة مصفوفية لحل الأنظمة (18-26)

###### أمثلة:

-x + y = 4

-x + y = -4

3x + y = 3

5x + 3y = 6

1.6y - 0.2x = 1

0.4y - 0.1x = 0.5

#### اكتشاف الخطأ في المعادلة المصفوفية

##### (27) اكتشف الخطأ: أنشأت كل من هاجر وفاطمة معادلة مصفوفية لنظام المعادلتين 10 = 4x + y = 19, 3y + 5x.

#### وصف حالات خاصة

##### (28) تحد: صف المعادلة المصفوفية لنظام له عدد لا نهائي من الحلول.

##### (30) مسألة مفتوحة: اكتب معادلة مصفوفية ليس لها حل.

#### تحليل صحة الجمل

##### (29) تبرير: "المصفوفة المربعة لها نظير ضربي" (صحيحة أحيانًا؟ دائمًا؟ أبدًا؟).

#### الشرح والتطبيق

##### (31) اشرح كيف ومتى يستعمل المعادلات المصفوفية لحل الأنظمة.

تدريب على اختبار

#### (32) مسألة تطبيقية (بيع دفاتر): نظام معادلات لحساب عدد الدفاتر المباعة من كل حجم.

مراجعة تراكمية

#### حساب المحدد

##### (33-35) جد قيمة المحدد لمصفوفات 2×2 و 3×3.

#### البرمجة الخطية

##### (36) مسألة تطبيقية (مزرعة ألبان): إيجاد الكميات التي تعطي أكبر ربح ضمن شروط.

#### تحديد نوع الدالة من الرسم البياني

##### (37) دالة خطية مقطوعة بين نقطتين مغلقتين.

##### (38) دالة خطية أفقية (y = ثابت).

```

نقاط مهمة

* ليس كل مصفوفة مربعة لها نظير ضربي؛ يجب أن يكون محددها ≠ 0.

* يمكن أن تمثل المعادلة المصفوفية أنظمة ذات حل وحيد، أو عدد لا نهائي من الحلول، أو لا حل لها.

* استعمال المعادلات المصفوفية يكون أكثر فاعلية عندما يكون للمصفوفة معاملات نظير ضربي.

* تتضمن المراجعة تطبيقات على المحددات والبرمجة الخطية وتحديد نوع الدالة من الرسم البياني.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

مسائل مهارات التفكير العليا

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

27

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(27) اكتشف الخطأ : أنشأت كل من هاجر وفاطمة معادلة مصفوفية لنظام المعادلتين
10 = 4x + y = 19, 3y + 5x. فهل حل أحدهما أو كليهما صحيح؟ فسر إجابتك.

28

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(28) تحد: صفِ المعادلة المصفوفية لنظام معادلتين خطيتين بمتغيرين ذات العدد اللانهائي من الحلول.

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(29) تبرير: حدّد إذا كانت الجملة الآتية صحيحة دائمًا ، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدا، وفسر إجابتك.
" المصفوفة المربعة لها نظير ضربي".

30

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(30) مسألة مفتوحة : اكتب معادلة مصفوفية ليس لها حل.

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(31) اكتب اشرح كيف يمكن استعمال معادلات مصفوفية لحل أنظمة معادلات، ومتى يكون استعماله أكثر
فاعلية.

تدريب على اختبار

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(32) إجابة قصيرة تبيع مكتبة 3 أحجام من الدفاتر : حجم صغير بسعر 2 ريال، وحجم متوسط بسعر 3 ريالات، وحجم كبير بسعر
4 ريالات، فإذا باعت المكتبة 52 دفترًا في أحد الأشهر، وكان عدد الدفاتر المبيعة من الحجم المتوسط يزيد على عدد الدفاتر المبيعة من
الحجم الصغير بـ 7 دفاتر، وكان إجمالي المبيعات 150 ريالًا . فما عدد الدفاتر المبيعة من الحجم المتوسط ؟

مراجعة تراكمية

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة تراكمية

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

جد قيمة كل محددة فيما يأتي : (الدرس (4-2)
8 6-9

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9-7
-5-3

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8 6-1
-4 5 1
-3 -2 9

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(36) حليب تنتج مزرعة أبقار 200 جالون على الأكثر من الحليب الطازج والحليب المبستر يوميا. فإذا كان كل زبون من زبائن المزرعة يحتاج إلى
15 جالونا على الأقل من الحليب المبستر ، و 21 جالونا على الأقل من الحليب الطازج يوميا، وكان ربح المزرعة في الجالون الواحد من الحليب المبستر
8.2 ريالات، ومن الحليب الطازج 7.5 ريالات. فكم عدد الجالونات التي يجب إنتاجها من كلا النوعين ليكون الربح أكبر ما يمكن؟ (الدرس 6-1)

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدد نوع الدالة الممثلة بيانيا في كل مما يأتي: (الدرس (3-1)

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

🔍 عناصر مرئية

A linear function that starts at (-3, -4) and goes to (4, 3)

A horizontal line at y = 2

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا ---
مسائل مهارات التفكير العليا

--- SECTION: 27 ---
(27) اكتشف الخطأ : أنشأت كل من هاجر وفاطمة معادلة مصفوفية لنظام المعادلتين
10 = 4x + y = 19, 3y + 5x. فهل حل أحدهما أو كليهما صحيح؟ فسر إجابتك.

--- SECTION: 28 ---
(28) تحد: صفِ المعادلة المصفوفية لنظام معادلتين خطيتين بمتغيرين ذات العدد اللانهائي من الحلول.

--- SECTION: 29 ---
(29) تبرير: حدّد إذا كانت الجملة الآتية صحيحة دائمًا ، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدا، وفسر إجابتك.
" المصفوفة المربعة لها نظير ضربي".

--- SECTION: 30 ---
(30) مسألة مفتوحة : اكتب معادلة مصفوفية ليس لها حل.

--- SECTION: 31 ---
(31) اكتب اشرح كيف يمكن استعمال معادلات مصفوفية لحل أنظمة معادلات، ومتى يكون استعماله أكثر
فاعلية.

--- SECTION: تدريب على اختبار ---
تدريب على اختبار

--- SECTION: 32 ---
(32) إجابة قصيرة تبيع مكتبة 3 أحجام من الدفاتر : حجم صغير بسعر 2 ريال، وحجم متوسط بسعر 3 ريالات، وحجم كبير بسعر
4 ريالات، فإذا باعت المكتبة 52 دفترًا في أحد الأشهر، وكان عدد الدفاتر المبيعة من الحجم المتوسط يزيد على عدد الدفاتر المبيعة من
الحجم الصغير بـ 7 دفاتر، وكان إجمالي المبيعات 150 ريالًا . فما عدد الدفاتر المبيعة من الحجم المتوسط ؟
  11 A
  17 B
  24 C
  36 D

--- SECTION: مراجعة تراكمية ---
مراجعة تراكمية

--- SECTION: 33 ---
جد قيمة كل محددة فيما يأتي : (الدرس (4-2)
8 6-9

--- SECTION: 34 ---
9-7
-5-3

--- SECTION: 35 ---
8 6-1
-4 5 1
-3 -2 9

--- SECTION: 36 ---
(36) حليب تنتج مزرعة أبقار 200 جالون على الأكثر من الحليب الطازج والحليب المبستر يوميا. فإذا كان كل زبون من زبائن المزرعة يحتاج إلى
15 جالونا على الأقل من الحليب المبستر ، و 21 جالونا على الأقل من الحليب الطازج يوميا، وكان ربح المزرعة في الجالون الواحد من الحليب المبستر
8.2 ريالات، ومن الحليب الطازج 7.5 ريالات. فكم عدد الجالونات التي يجب إنتاجها من كلا النوعين ليكون الربح أكبر ما يمكن؟ (الدرس 6-1)

--- SECTION: 37 ---
حدد نوع الدالة الممثلة بيانيا في كل مما يأتي: (الدرس (3-1)

--- SECTION: 38 ---


--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: A linear function that starts at (-3, -4) and goes to (4, 3)
X-axis: x
Y-axis: y

**GRAPH**: Untitled
Description: A horizontal line at y = 2
X-axis: x
Y-axis: y

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 6

سؤال 33: جد قيمة كل محددة فيما يأتي : (الدرس (4-2) $\begin{vmatrix} 8 & 6 \\ -9 & -1 \end{vmatrix}$

الإجابة: 18

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا محدد من الدرجة الثانية: $$\begin{vmatrix} 8 & 6 \\ -9 & -1 \end{vmatrix}$$
**الخطوة 2 (القانون):** نتذكر قانون حساب محدد المصفوفة 2×2: $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = (a \times d) - (b \times c)$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$(8 \times -1) - (6 \times -9) = (-8) - (-54) = -8 + 54 = 46$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة المحدد = **46**

سؤال 34: $\begin{vmatrix} 9 & -7 \\ -5 & -3 \end{vmatrix}$

الإجابة: 3

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا محدد من الدرجة الثانية: $$\begin{vmatrix} 9 & -7 \\ -5 & -3 \end{vmatrix}$$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون حساب محدد المصفوفة 2×2: $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = (a \times d) - (b \times c)$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$(9 \times -3) - (-7 \times -5) = (-27) - (35) = -27 - 35 = -62$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة المحدد = **-62**

سؤال 35: $\begin{vmatrix} 8 & 6 & -1 \\ -4 & 5 & 1 \\ -3 & -2 & 9 \end{vmatrix}$

الإجابة: 243

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا محدد من الدرجة الثالثة: $$\begin{vmatrix} 8 & 6 & -1 \\ -4 & 5 & 1 \\ -3 & -2 & 9 \end{vmatrix}$$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قاعدة ساروس لحساب محدد المصفوفة 3×3: نكتب أول عمودين مرة أخرى بجانب المصفوفة: $$\begin{vmatrix} 8 & 6 & -1 \\ -4 & 5 & 1 \\ -3 & -2 & 9 \end{vmatrix} \begin{matrix} 8 & 6 \\ -4 & 5 \\ -3 & -2 \end{matrix}$$ ثم نجمع حاصل ضرب الأقطار من اليسار إلى اليمين، ونطرح حاصل ضرب الأقطار من اليمين إلى اليسار.
**الخطوة 3 (الحل):** **مجموع حاصل ضرب الأقطار من اليسار إلى اليمين:** $$(8 \times 5 \times 9) + (6 \times 1 \times -3) + (-1 \times -4 \times -2) = (360) + (-18) + (-8) = 360 - 18 - 8 = 334$$ **مجموع حاصل ضرب الأقطار من اليمين إلى اليسار:** $$(-1 \times 5 \times -3) + (8 \times 1 \times -2) + (6 \times -4 \times 9) = (15) + (-16) + (-216) = 15 - 16 - 216 = -217$$ **قيمة المحدد:** $$334 - (-217) = 334 + 217 = 551$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة المحدد = **551**

سؤال 36: حليب تنتج مزرعة أبقار 200 جالون على الأكثر من الحليب الطازج والحليب المبستر يوميا. فإذا كان كل زبون من زبائن المزرعة يحتاج إلى 15 جالونا على الأقل من الحليب المبستر ، و 21 جالونا على الأقل من الحليب الطازج يوميا، وكان ربح المزرعة في الجالون الواحد من الحليب المبستر 8.2 ريالات، ومن الحليب الطازج 7.5 ريالات. فكم عدد الجالونات التي يجب إنتاجها من كلا النوعين ليكون الربح أكبر ما يمكن؟ (الدرس 6-1)

الإجابة: الحليب المبستر 15 جالونًا، الحليب الطازج 185 جالونًا.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد المتغيرات: - لنفرض أن عدد جالونات الحليب المبستر = x - ولنفرض أن عدد جالونات الحليب الطازج = y المعطيات: 1) الإنتاج اليومي الكلي: x + y ≤ 200 جالون 2) الحد الأدنى للحليب المبستر: x ≥ 15 جالون 3) الحد الأدنى للحليب الطازج: y ≥ 21 جالون 4) الربح من الجالون الواحد: - الحليب المبستر: 8.2 ريال - الحليب الطازج: 7.5 ريال دالة الربح التي نريد تعظيمها: $$P = 8.2x + 7.5y$$
**الخطوة 2 (التحليل):** نريد تعظيم الربح P مع مراعاة القيود: 1) x + y ≤ 200 2) x ≥ 15 3) y ≥ 21 4) x ≥ 0, y ≥ 0 (كميات لا يمكن أن تكون سالبة) نلاحظ أن ربح الحليب المبستر (8.2) أكبر من ربح الحليب الطازج (7.5)، لذلك سنحاول زيادة x قدر الإمكان لزيادة الربح.
**الخطوة 3 (الحل):** من القيد x ≥ 15، نأخذ أقل قيمة ممكنة لـ x وهي 15 جالون (لأننا نريد تخصيص الباقي لـ y الذي ربحه أقل). إذا كانت x = 15، فمن القيد x + y ≤ 200: $$15 + y ≤ 200$$ $$y ≤ 185$$ ومن القيد y ≥ 21، نأخذ أكبر قيمة ممكنة لـ y وهي 185 جالون. التحقق من الربح: $$P = 8.2(15) + 7.5(185) = 123 + 1387.5 = 1510.5$$ ريال لنتحقق إذا كانت هناك قيمة أفضل: إذا زدنا x إلى 16، فسيكون y ≤ 184، والربح: $$P = 8.2(16) + 7.5(184) = 131.2 + 1380 = 1511.2$$ ريال (أفضل قليلاً) لكن إذا استمررنا في زيادة x، سينخفض y، ولأن الفرق بين الربحين صغير (0.7 ريال فقط للجالون)، فزيادة x على حساب y قد لا تكون الأفضل. لنجرب x = 15, y = 185: الربح = 1510.5 لنجرب x = 16, y = 184: الربح = 1511.2 (أفضل) لنجرب x = 17, y = 183: الربح = 8.2(17) + 7.5(183) = 139.4 + 1372.5 = 1511.9 (أفضل) يبدو أن الربح يزداد كلما زاد x. لكن يجب أن نتحقق من القيد y ≥ 21. لنجد أقصى قيمة لـ x: من x + y ≤ 200 و y ≥ 21، فإن أقصى x هو عندما y = 21: $$x + 21 ≤ 200$$ $$x ≤ 179$$ لنحسب الربح عندما x = 179, y = 21: $$P = 8.2(179) + 7.5(21) = 1467.8 + 157.5 = 1625.3$$ ريال هذا ربح أكبر! دعنا نتحقق من القيود: - x = 179 ≥ 15 ✓ - y = 21 ≥ 21 ✓ - x + y = 179 + 21 = 200 ≤ 200 ✓ الربح 1625.3 ريال هو الأكبر.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن لتعظيم الربح: - الحليب المبستر: **179 جالونًا** - الحليب الطازج: **21 جالونًا**

سؤال 37: حدد نوع الدالة الممثلة بيانيا في كل مما يأتي: (الدرس (3-1)

الإجابة: دالة خطية

خطوات الحل:

**الشرح:** لنفهم هذا السؤال: عندما نطلب تحديد نوع الدالة الممثلة بيانيًا، ننظر إلى شكل المنحنى أو الخط على الرسم البياني. الدالة الخطية هي دالة يمكن تمثيلها بمعادلة من الدرجة الأولى على الصورة: $$y = mx + b$$ حيث m هو الميل و b هو الجزء المقطوع من محور y. التمثيل البياني للدالة الخطية يكون على شكل **خط مستقيم**. إذن إذا كان الرسم البياني يظهر خطًا مستقيمًا (ليس أفقيًا تمامًا)، فإن الدالة هي: **دالة خطية**

سؤال 38: حدد نوع الدالة الممثلة بيانيا في كل مما يأتي: (الدرس (3-1)

الإجابة: دالة ثابتة

خطوات الحل:

**الشرح:** الدالة الثابتة هي حالة خاصة من الدوال الخطية حيث الميل m = 0. معادلة الدالة الثابتة: $$y = c$$ حيث c ثابت. التمثيل البياني للدالة الثابتة يكون على شكل **خط أفقي مستقيم** موازٍ لمحور x. لذلك إذا كان الرسم البياني يظهر خطًا أفقيًا مستقيمًا، فإن الدالة هي: **دالة ثابتة**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الشرط الذي يجب أن تتحقق فيه المصفوفة المربعة حتى يكون لها نظير ضربي؟

أ) دائمًا، لأن جميع المصفوفات المربعة قابلة للعكس.
ب) أحيانًا، فقط إذا كانت جميع عناصرها أعدادًا صحيحة.
ج) أحيانًا، فقط إذا كان محددها لا يساوي صفرًا.
د) غير صحيحة أبدًا، لأن النظير الضربي للمصفوفات غير موجود.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أحيانًا، فقط إذا كان محددها لا يساوي صفرًا.

الشرح: 1. المصفوفة المربعة لها نظير ضربي فقط إذا كانت قابلة للعكس. 2. المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها لا يساوي صفرًا. 3. إذا كان المحدد = 0، فإن المصفوفة تسمى مفردة وليس لها نظير ضربي.

تلميح: فكر في العلاقة بين وجود الحل لنظام المعادلات وقيمة المحدد.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

كيف يمكن وصف المعادلة المصفوفية لنظام معادلتين خطيتين بمتغيرين له عدد لا نهائي من الحلول؟

أ) عندما تكون مصفوفة المعاملات قابلة للعكس (محددها ≠ 0).
ب) عندما تكون مصفوفة المعاملات مفردة (محددها = 0) ويكون النظام متسقًا.
ج) عندما يكون عدد المعادلات أكبر من عدد المتغيرات.
د) عندما تكون جميع عناصر مصفوفة المعاملات أصفارًا.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: عندما تكون مصفوفة المعاملات مفردة (محددها = 0) ويكون النظام متسقًا.

الشرح: 1. النظام له عدد لا نهائي من الحلول إذا كان غير محدد. 2. يحدث هذا عندما تكون مصفوفة المعاملات (A) مفردة (محددها = 0). 3. وفي نفس الوقت، يجب أن يكون النظام متسقًا (أي أن معادلاته غير متناقضة). 4. في هذه الحالة، لا يمكن استخدام قاعدة كرامر، ويكون للمعادلة المصفوفية AX = B عدد لا نهائي من الحلول.

تلميح: تذكر أن عدد الحلول يعتمد على قابلية عكس مصفوفة المعاملات واتساق النظام.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب

ما الخطوة الأولى الأساسية عند استخدام المعادلات المصفوفية لحل أنظمة المعادلات الخطية؟

أ) حساب محدد مصفوفة المعاملات مباشرة.
ب) كتابة النظام على صورة معادلة مصفوفية AX = B.
ج) تعويض قيمة أحد المتغيرات من معادلة في الأخرى.
د) رسم المعادلات بيانيًا لإيجاد نقطة التقاطع.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: كتابة النظام على صورة معادلة مصفوفية AX = B.

الشرح: 1. الخطوة الأولى هي تمثيل نظام المعادلات الخطية في صورة معادلة مصفوفية. 2. الشكل القياسي هو: A X = B، حيث: - A: مصفوفة معاملات المتغيرات. - X: مصفوفة عمود للمتغيرات. - B: مصفوفة عمود للثوابت. 3. بعد ذلك، إذا كانت A قابلة للعكس، يكون الحل: X = A⁻¹ B.

تلميح: فكر في الشكل القياسي الذي يجب أن يكون عليه النظام ليطبق عليه الحل المصفوفي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في مسألة تعظيم الربح باستخدام البرمجة الخطية، إذا كان ربيع الجالون من المنتج (أ) أكبر من ربيع المنتج (ب)، وكانت الموارد محدودة، فما الإستراتيجية المثلى لتعظيم الربح؟

أ) تساوي إنتاج كلا المنتجين لتحقيق التوازن.
ب) زيادة إنتاج المنتج (أ) قدر الإمكان ضمن القيود، وتقليل إنتاج المنتج (ب) إلى الحد الأدنى المسموح به.
ج) زيادة إنتاج المنتج (ب) لأنه قد يكون طلبه أكبر.
د) تقسيم الموارد بالتساوي بين المنتجين بغض النظر عن الربحية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: زيادة إنتاج المنتج (أ) قدر الإمكان ضمن القيود، وتقليل إنتاج المنتج (ب) إلى الحد الأدنى المسموح به.

الشرح: 1. الهدف هو تعظيم دالة الربح (P). 2. إذا كان ربح الوحدة من (أ) > ربح الوحدة من (ب)، فإن زيادة إنتاج (أ) تزيد الربح الكلي. 3. لذلك، يجب تخصيص أكبر كمية ممكنة من الموارد لإنتاج (أ)، مع الالتزام بجميع القيود (الحد الأدنى للإنتاج، السعة الكلية). 4. تُنتج من (ب) فقط الكمية الدنيا المطلوبة لتلبية القيود، لتحرير الموارد لـ(أ).

تلميح: فكر في كيفية تخصيص الموارد المحدودة للمنتج ذو الربحية الأعلى.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط