فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

7-4 الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية Probability and Probability Distributions

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

درست إيجاد احتمال وقوع حادثة إذا علم أن حادثة أخرى قد وقعت. (الدرس 3-7)

• أجد الاحتمالات باستعمال التباديل والتوافيق. • أجد الاحتمالات باستعمال المتغيرات العشوائية. • أمثل بيانيًا التوزيعات الاحتمالية وأستعملها.

النجاح success الفشل failure المتغير العشوائي random variable المتغير العشوائي المنفصل discrete random variable التوزيع الاحتمالي probability distribution التوزيع الاحتمالي المنفصل discrete probability distribution الاحتمال النظري theoretical probability الاحتمال التجريبي experimental probability القيمة المتوقعة expected value

افترض أن شركة لديها 4 شواغر، وتشترط لتعيين الموظفين لديها اجتيازهم لمقابلة شخصية. إذا تقدم للشركة 8 أشخاص من المنطقة A، و 10 أشخاص من المنطقة B، وتمت مقابلة المتقدمين، واختير 4 منهم بشكل عشوائي، فما احتمال أن يفوز بالوظائف 3 أشخاص من المنطقة A وشخص واحد من المنطقة B؟

الاحتمال تسمى النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة معينة احتمالاً. ووقوع الشيء المرغوب فيه يُسمى نجاحًا، وعدم وقوعه يُسمى فشلاً. ومجموعة النواتج الممكنة تُسمى فضاء العينة. وكلما اقترب احتمال وقوع حادثة من 1، كانت فرصة أو إمكانية وقوعها أكبر.

إذا كان عدد مرات نجاح وقوع حادثة s من المرات، وعدد مرات فشل وقوع الحادثة نفسها f من المرات، فإن احتمال النجاح يُكتب على النحو P(S)، كما يُكتب احتمال الفشل على النحو P(F). ويُعطى كل من احتمال النجاح واحتمال الفشل بالصيغتين الآتيتين: P(S) = s / (s + f) , P(F) = f / (s + f)

لاحظ أن الصيغة: P(S) = s / (s + f) لا تختلف في مضمونها عن الصيغة: P(الحادثة) = عدد النواتج في الحادثة / عدد النواتج الممكنة

الاحتمال باستعمال التوافيق رشحت مدرسة 12 طالبًا من الصف الثاني الثانوي، و 16 طالبًا من الصف الأول الثانوي للتنافس على 6 جوائز؛ نظرًا لتفوقهم الدراسي. إذا تمت مقابلة المرشحين، واختير 6 منهم بشكل عشوائي، فما احتمال أن يفوز بالجوائز 3 طلاب من الصف الأول الثانوي و 3 طلاب من الصف الثاني الثانوي؟

احتمال النجاح والفشل لاحظ أن الحرف الصغير s يدل على عدد مرات النجاح في وقوع حادثة، بينما الحرف الكبير S يدل على حادثة النجاح، وكذلك الأمر بالنسبة للحرفين f و F.

102 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء

7-4 الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية Probability and Probability Distributions رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: فيما سبق --- درست إيجاد احتمال وقوع حادثة إذا علم أن حادثة أخرى قد وقعت. (الدرس 3-7) --- SECTION: والآن --- • أجد الاحتمالات باستعمال التباديل والتوافيق. • أجد الاحتمالات باستعمال المتغيرات العشوائية. • أمثل بيانيًا التوزيعات الاحتمالية وأستعملها. --- SECTION: المفردات --- النجاح success الفشل failure المتغير العشوائي random variable المتغير العشوائي المنفصل discrete random variable التوزيع الاحتمالي probability distribution التوزيع الاحتمالي المنفصل discrete probability distribution الاحتمال النظري theoretical probability الاحتمال التجريبي experimental probability القيمة المتوقعة expected value --- SECTION: لماذا؟ --- افترض أن شركة لديها 4 شواغر، وتشترط لتعيين الموظفين لديها اجتيازهم لمقابلة شخصية. إذا تقدم للشركة 8 أشخاص من المنطقة A، و 10 أشخاص من المنطقة B، وتمت مقابلة المتقدمين، واختير 4 منهم بشكل عشوائي، فما احتمال أن يفوز بالوظائف 3 أشخاص من المنطقة A وشخص واحد من المنطقة B؟ --- SECTION: الاحتمال --- الاحتمال تسمى النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة معينة احتمالاً. ووقوع الشيء المرغوب فيه يُسمى نجاحًا، وعدم وقوعه يُسمى فشلاً. ومجموعة النواتج الممكنة تُسمى فضاء العينة. وكلما اقترب احتمال وقوع حادثة من 1، كانت فرصة أو إمكانية وقوعها أكبر. --- SECTION: مفهوم أساسي: احتمال النجاح والفشل --- إذا كان عدد مرات نجاح وقوع حادثة s من المرات، وعدد مرات فشل وقوع الحادثة نفسها f من المرات، فإن احتمال النجاح يُكتب على النحو P(S)، كما يُكتب احتمال الفشل على النحو P(F). ويُعطى كل من احتمال النجاح واحتمال الفشل بالصيغتين الآتيتين: P(S) = s / (s + f) , P(F) = f / (s + f) لاحظ أن الصيغة: P(S) = s / (s + f) لا تختلف في مضمونها عن الصيغة: P(الحادثة) = عدد النواتج في الحادثة / عدد النواتج الممكنة --- SECTION: مثال 1 --- الاحتمال باستعمال التوافيق رشحت مدرسة 12 طالبًا من الصف الثاني الثانوي، و 16 طالبًا من الصف الأول الثانوي للتنافس على 6 جوائز؛ نظرًا لتفوقهم الدراسي. إذا تمت مقابلة المرشحين، واختير 6 منهم بشكل عشوائي، فما احتمال أن يفوز بالجوائز 3 طلاب من الصف الأول الثانوي و 3 طلاب من الصف الثاني الثانوي؟ الخطوة 1. حدد عدد مرات النجاح s عدد طرق اختيار 3 طلاب من الصف الثاني هو 12C3 عدد طرق اختيار 3 طلاب من الصف الأول هو 16C3 استعمل التوافيق، ومبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النجاحات s. s = 12C3 * 16C3 = (12! / (9! 3!)) * (16! / (13! 3!)) = 123200 الخطوة 2. حدد عدد النواتج الممكنة (عدد عناصر فضاء العينة)، s + f. s + f = 28C6 = 28! / (22! 6!) = 376740 الخطوة 3. أوجد الاحتمال احتمال النجاح P(فوز 3 من الأول و 3 من الثاني) = s / (s + f) = 123200 / 376740 ≈ 0.327016 s = 123200, s + f = 376740 استعمل الآلة الحاسبة احتمال فوز 3 طلاب من الصف الأول و 3 من الصف الثاني هو تقريبًا 0.33 أو 33%. --- SECTION: تنبيه! --- احتمال النجاح والفشل لاحظ أن الحرف الصغير s يدل على عدد مرات النجاح في وقوع حادثة، بينما الحرف الكبير S يدل على حادثة النجاح، وكذلك الأمر بالنسبة للحرفين f و F. 102 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code linking to digital lesson content on ien.edu.sa **IMAGE**: Untitled Description: صورة لشخصين يرتديان الزي السعودي التقليدي يتحدثان في بيئة مكتبية، مما يمثل سياق المقابلة الشخصية المذكورة في النص. **FORMULA**: احتمال النجاح والفشل Description: صيغ رياضية لحساب احتمال النجاح P(S) واحتمال الفشل P(F) باستخدام عدد مرات النجاح s وعدد مرات الفشل f. Key Values: P(S) = s / (s + f), P(F) = f / (s + f) **HIGHLIGHT_BOX**: Untitled Description: مربع تنبيه جانبي يوضح الفرق بين الرموز الصغيرة والكبيرة (s, S, f, F) في سياق الاحتمالات.