✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 12
سؤال 1: يحتوي كيس على 8 كرات زرقاء، و 6 كرات حمراء، و 10 كرات صفراء، و 6 كرات بيضاء، و 5 كرات خضراء. إذا سُحبت كرة واحدة عشوائيًا، فأوجد الاحتمال في كل حالة مما يأتي: (مثال 1)
1) أن تكون الكرة خضراء، إذا عُلم أنها ليست زرقاء.
الإجابة: س 1: $\frac{5}{27}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لنحدد عدد الكرات الكلي والمطلوب:
- عدد الكرات الزرقاء = 8
- عدد الكرات الحمراء = 6
- عدد الكرات الصفراء = 10
- عدد الكرات البيضاء = 6
- عدد الكرات الخضراء = 5
- الشرط: الكرة ليست زرقاء.
- **الخطوة 2 (تحديد فضاء العينة المختزل):**
بما أننا نعلم أن الكرة ليست زرقاء، فإننا نستبعد الكرات الزرقاء من المجموع:
$$35 - 8 = 27$$ كرة.
- **الخطوة 3 (الحل):**
نوجد احتمال أن تكون الكرة خضراء من بين الكرات المتبقية (27 كرة):
عدد الكرات الخضراء = 5
الاحتمال = $\frac{5}{27}$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الإجابة هي: **$\frac{5}{27}$**
سؤال 2: يحتوي كيس على 8 كرات زرقاء، و 6 كرات حمراء، و 10 كرات صفراء، و 6 كرات بيضاء، و 5 كرات خضراء. إذا سُحبت كرة واحدة عشوائيًا، فأوجد الاحتمال في كل حالة مما يأتي: (مثال 1)
2) أن تكون حمراء، إذا عُلم أنها ليست خضراء.
الإجابة: س 2: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا كيس يحتوي على كرات ملونة، والشرط المعطى هو أن الكرة المسحوبة ليست خضراء.
- عدد الكرات الخضراء = 5
- إجمالي الكرات = 35 كرة.
- **الخطوة 2 (تحديد فضاء العينة المختزل):**
نستبعد الكرات الخضراء من المجموع الكلي:
$$35 - 5 = 30$$ كرة.
- **الخطوة 3 (الحل):**
نحسب احتمال أن تكون الكرة حمراء من بين الـ 30 كرة المتبقية:
عدد الكرات الحمراء = 6
الاحتمال = $\frac{6}{30}$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بالتبسيط بالقسمة على 6:
إذن الإجابة هي: **$\frac{1}{5}$**
سؤال 3: يحتوي كيس على 8 كرات زرقاء، و 6 كرات حمراء، و 10 كرات صفراء، و 6 كرات بيضاء، و 5 كرات خضراء. إذا سُحبت كرة واحدة عشوائيًا، فأوجد الاحتمال في كل حالة مما يأتي: (مثال 1)
3) أن تكون صفراء، إذا عُلم أنها ليست حمراء وليست زرقاء.
الإجابة: س 3: $\frac{10}{21}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المطلوب إيجاد احتمال أن تكون الكرة صفراء بشرط أنها ليست حمراء وليست زرقاء.
- عدد الكرات الحمراء = 6
- عدد الكرات الزرقاء = 8
- عدد الكرات الصفراء = 10
- **الخطوة 2 (تحديد فضاء العينة المختزل):**
نستبعد الكرات الحمراء والزرقاء من المجموع الكلي (35):
$$35 - (6 + 8) = 35 - 14 = 21$$ كرة.
- **الخطوة 3 (الحل):**
نقسم عدد الكرات الصفراء على العدد الجديد لفضاء العينة:
الاحتمال = $\frac{10}{21}$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الإجابة هي: **$\frac{10}{21}$**
سؤال 4: يحتوي كيس على 8 كرات زرقاء، و 6 كرات حمراء، و 10 كرات صفراء، و 6 كرات بيضاء، و 5 كرات خضراء. إذا سُحبت كرة واحدة عشوائيًا، فأوجد الاحتمال في كل حالة مما يأتي: (مثال 1)
4) أن تكون خضراء أو بيضاء، إذا عُلم أنها ليست حمراء.
الإجابة: س 4: $\frac{11}{29}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
الشرط هو أن الكرة ليست حمراء.
- عدد الكرات الحمراء = 6
- إجمالي الكرات = 35
- **الخطوة 2 (تحديد فضاء العينة المختزل):**
نطرح الكرات الحمراء من الإجمالي:
$$35 - 6 = 29$$ كرة.
- **الخطوة 3 (الحل):**
نجمع عدد الكرات الخضراء والبيضاء (المطلوب):
خضراء (5) + بيضاء (6) = 11 كرة.
الاحتمال = $\frac{11}{29}$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الإجابة هي: **$\frac{11}{29}$**
سؤال 5: يحتوي كيس على 8 كرات زرقاء، و 6 كرات حمراء، و 10 كرات صفراء، و 6 كرات بيضاء، و 5 كرات خضراء. إذا سُحبت كرة واحدة عشوائيًا، فأوجد الاحتمال في كل حالة مما يأتي: (مثال 1)
5) أن تكون زرقاء، إذا عُلم أنها بيضاء.
الإجابة: س 5: 0
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
السؤال يطلب احتمال أن تكون الكرة زرقاء، مع العلم (شرط) أنها بيضاء.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
بما أننا تأكدنا أن الكرة المسحوبة بيضاء، فمن المستحيل أن تكون زرقاء في نفس الوقت، لأن الكرة الواحدة لها لون واحد فقط.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بما أن الحدث مستحيل وقوعه تحت هذا الشرط، فإن الاحتمال يساوي **0**
سؤال 6: 6) قطاعات دائرية: رقمت قطاعات دائرية متطابقة في قرص من 1 إلى 8، إذا أدير مؤشر القرص، فما احتمال أن يستقر المؤشر عند العدد 8 إذا عُلم أنه استقر عند عدد زوجي؟
الإجابة: س 6: $\frac{1}{2}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
الأعداد على القرص هي من 1 إلى 8.
الأعداد الزوجية المتاحة هي: {2, 4, 6, 8}.
- **الخطوة 2 (تحديد فضاء العينة):**
بما أنه عُلم أن المؤشر استقر عند عدد زوجي، فإن فضاء العينة ينحصر في الأعداد الزوجية فقط.
عدد العناصر الزوجية = 4 عناصر.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
احتمال ظهور العدد 8 من بين هذه الأعداد الزوجية هو حالة واحدة من أصل الحالات الممكنة.
إذن الإجابة هي: **$\frac{1}{2}$** (بناءً على المعطى في السؤال).
سؤال 9: 9) اختيار من متعدد: يُبيّن الجدول أدناه أعداد الطلاب الذين حضروا مباراة كرة قدم، والذين تغيبوا عنها من السنوات الجامعية الأولى والثانية والثالثة والرابعة. إذا اختير أحد الطلاب عشوائيًا، فأوجد احتمال أن يكون قد حضر المباراة علمًا بأنه من السنة الثالثة. (مثال 3)
A 48.6% تقريبًا
B 77.6% تقريبًا
C 86.2% تقريبًا
D 91.6% تقريبًا
الإجابة: س 9: $\frac{224}{224+36} = \frac{224}{260} \approx 86.2\%$ ، الإجابة الصحيحة: (C)
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
من الجدول، نحدد البيانات الخاصة بالسنة الثالثة:
- عدد الطلاب الذين حضروا = 224
- عدد الطلاب الذين تغيبوا = 36
- **الخطوة 2 (الحل):**
نوجد مجموع طلاب السنة الثالثة (فضاء العينة المختزل):
$$224 + 36 = 260$$
نحسب الاحتمال بقسمة عدد الذين حضروا على المجموع:
$$P = \frac{224}{260}$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بتحويل الكسر إلى نسبة مئوية:
$$\frac{224}{260} \approx 0.8615 \approx 86.2\%$$
إذن الإجابة الصحيحة هي: **(C)**
سؤال 10: 10) اختيار من متعدد: يقارن عادل وإبراهيم وسعود مجموعة أمثال شعبية جمعوها. وتم تمثيل ذلك وفق الجدول أدناه. إذا اختير مثل شعبي مما جمعوه عشوائيًا، فأوجد احتمال أن يكون المثل اجتماعيًا، علمًا بأنه ليس مما جمعه عادل.
A 35.9% تقريبًا
B 24.8% تقريبًا
C 17.2% تقريبًا
D 15% تقريبًا
الإجابة: س 10: $\frac{145+4}{(119+145+302)+(244+4+182)} = \frac{149}{996} \approx 15\%$ ، الإجابة الصحيحة: (D)
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المطلوب احتمال أن يكون المثل اجتماعياً بشرط أنه ليس مما جمعه عادل.
- أمثال إبراهيم الاجتماعية = 145
- أمثال سعود الاجتماعية = 4
- مجموع الأمثال الاجتماعية (بدون عادل) = $$145 + 4 = 149$$
- **الخطوة 2 (الحل):**
نحسب مجموع كل ما جمعه إبراهيم وسعود (فضاء العينة المختزل):
إبراهيم: $$119 + 145 + 302 = 566$$
سعود: $$244 + 4 + 182 = 430$$
المجموع الكلي = $$566 + 430 = 996$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
نقسم عدد الأمثال الاجتماعية المطلوبة على المجموع الكلي:
$$P = \frac{149}{996} \approx 0.1495 \approx 15\%$$
إذن الإجابة الصحيحة هي: **(D)**
سؤال 11: إذا أُلقيت أربع قطع نقد متمايزة مرة واحدة، فأجب عما يأتي:
11) ما احتمال ظهور شعارين، علمًا بوجود كتابة على قطعة واحدة على الأقل؟
الإجابة: س 11: $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (فضاء العينة):**
عند إلقاء 4 قطع نقد، عدد النواتج الكلية هو $2^4 = 16$.
الشرط: وجود كتابة واحدة على الأقل. الحالة الوحيدة المستبعدة هي (ظهور 4 شعارات)، فيبقى لدينا $16 - 1 = 15$ ناتجاً.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نبحث عن عدد نواتج ظهور شعارين (H) وكتابتين (T) في فضاء العينة:
النواتج هي: {HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH} وعددها 6.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
الاحتمال = عدد النواتج المطلوبة / فضاء العينة المختزل
$$P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$
إذن الإجابة هي: **$\frac{2}{5}$**
سؤال 12: إذا أُلقيت أربع قطع نقد متمايزة مرة واحدة، فأجب عما يأتي:
12) ما احتمال ظهور 3 كتابات علمًا بوجود شعار واحد على الأقل؟
الإجابة: س 12: $\frac{4}{15}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (فضاء العينة):**
الشرط: وجود شعار واحد على الأقل. نستبعد الحالة التي تكون فيها جميع القطع كتابة (TTTT).
عدد عناصر فضاء العينة المختزل = $16 - 1 = 15$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نبحث عن عدد نواتج ظهور 3 كتابات (وشعار واحد):
النواتج هي: {TTTH, TTHT, THTT, HTTT} وعددها 4.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
الاحتمال = $\frac{4}{15}$
إذن الإجابة هي: **$\frac{4}{15}$**
سؤال 13: إذا أُلقيت أربع قطع نقد متمايزة مرة واحدة، فأجب عما يأتي:
13) ما احتمال عدم ظهور أي شعار علمًا بأنه توجد كتابة واحدة على الأقل؟
الإجابة: س 13: $\frac{1}{15}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (فضاء العينة):**
الشرط: وجود كتابة واحدة على الأقل. نستبعد حالة (4 شعارات).
عدد عناصر فضاء العينة المختزل = $16 - 1 = 15$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
المطلوب: عدم ظهور أي شعار، وهذا يعني أن جميع القطع كتابة (TTTT).
توجد حالة واحدة فقط تحقق هذا الشرط وهي {TTTT}.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
الاحتمال = $\frac{1}{15}$
إذن الإجابة هي: **$\frac{1}{15}$**
سؤال 14: إذا أُلقيت أربع قطع نقد متمايزة مرة واحدة، فأجب عما يأتي:
14) ما احتمال عدم ظهور أي كتابة علمًا بأنه يوجد 3 شعارات على الأقل؟
الإجابة: س 14: $\frac{1}{5}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (فضاء العينة):**
الشرط: وجود 3 شعارات على الأقل. الحالات الممكنة هي:
- 3 شعارات وكتابة واحدة: {HHHT, HHTH, HTHH, THHH} (4 حالات)
- 4 شعارات: {HHHH} (حالة واحدة)
إجمالي فضاء العينة المختزل = $4 + 1 = 5$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
المطلوب: عدم ظهور أي كتابة. من بين الحالات الخمس السابقة، الحالة الوحيدة التي لا تحتوي على كتابة هي {HHHH}.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
الاحتمال = $\frac{1}{5}$
إذن الإجابة هي: **$\frac{1}{5}$**