إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تحقق من فهمك

أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية مستعملاً قاعدة المثلث، أو متوازي الأضلاع. ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي.

3C) لعبة أطفال: رمى طفل كرة صغيرة في لعبة مخصصة للأطفال بسرعة 7in/s، باتجاه 310°، فارتدت باتجاه 055°، وبسرعة 4in/s. أوجد مقدار محصلة حركة الكرة واتجاهها. (قرب طول المحصلة إلى أقرب بوصة، والاتجاه إلى أقرب درجة)

إرشادات للدراسة المتجهات المتوازية في الاتجاه نفسه محصلة ناتج جمع متجهين أو أكثر لها الاتجاه نفسه، هو متجه طوله يساوي مجموع أطوال هذه المتجهات، واتجاهه هو اتجاه المتجهات الأصلية نفسه.

عند جمع متجهين متعاكسين لهما الطول نفسه، فإن المحصلة هي المتجه الصفري. ويرمز له بالرمز 0 أو 0، وطوله صفر، وليس له اتجاه. وعملية طرح المتجهات تشبه عملية طرح الأعداد. لإيجاد p - q، اجمع معكوس q إلى p؛ أي أن: p - q = p + (-q). وكذلك يمكن ضرب المتجه في عدد حقيقي.

مفهوم أساسي ضرب المتجه في عدد حقيقي

إذا ضُرب المتجه v في عدد حقيقي k، فإن طول المتجه kv هو |k| |v|. ويتحدّد اتجاهه بإشارة k. • إذا كانت k > 0، فإن اتجاه kv هو اتجاه v نفسه. • إذا كانت k < 0، فإن اتجاه kv هو عكس اتجاه v.

قراءة الرياضيات |k| تقرأ القيمة المطلقة للعدد الحقيقي k. |v| تمثل طول المتجه v.

مثال 4 العمليات على المتجهات ارسم المتجه 3x - 3/4y، حيث x, y متجهان كما في الشكل المجاور. أعد كتابة المتجه 3x - 3/4y على صورة حاصل جمع متجهين (3x + (-3/4y))، ثم مثّل المتجه 3x برسم متجه طوله 3 أمثال المتجه x، وبالاتجاه نفسه كما في الشكل 5.1.1. ولتمثيل المتجه -3/4y، ارسم متجهًا طوله 3/4 طول y، وفي اتجاه معاكس لاتجاه y كما في الشكل 5.1.2، ثم استعمل قاعدة المثلث؛ لرسم متجه المحصلة كما في الشكل 5.1.3.

إرشادات للدراسة المتجهات المتوازيان المتعاكسان محصلة ناتج جمع متجهين متوازيين متعاكسين، هو متجه طوله يساوي القيمة المطلقة للفرق بين طولي المتجهين، واتجاهه هو اتجاه المتجه الأكبر طولاً.

تحقق من فهمك

ارسم المتجه الذي يُمثّل كلاً مما يأتي:

تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية مستعملاً قاعدة المثلث، أو متوازي الأضلاع. ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي. 3A. أوجد محصلة المتجهين v و w الموضحين في الرسم. 3B. أوجد محصلة المتجهين a و b الموضحين في الرسم. --- SECTION: 3C --- 3C) لعبة أطفال: رمى طفل كرة صغيرة في لعبة مخصصة للأطفال بسرعة 7in/s، باتجاه 310°، فارتدت باتجاه 055°، وبسرعة 4in/s. أوجد مقدار محصلة حركة الكرة واتجاهها. (قرب طول المحصلة إلى أقرب بوصة، والاتجاه إلى أقرب درجة) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة المتجهات المتوازية في الاتجاه نفسه محصلة ناتج جمع متجهين أو أكثر لها الاتجاه نفسه، هو متجه طوله يساوي مجموع أطوال هذه المتجهات، واتجاهه هو اتجاه المتجهات الأصلية نفسه. عند جمع متجهين متعاكسين لهما الطول نفسه، فإن المحصلة هي المتجه الصفري. ويرمز له بالرمز 0 أو 0، وطوله صفر، وليس له اتجاه. وعملية طرح المتجهات تشبه عملية طرح الأعداد. لإيجاد p - q، اجمع معكوس q إلى p؛ أي أن: p - q = p + (-q). وكذلك يمكن ضرب المتجه في عدد حقيقي. مفهوم أساسي ضرب المتجه في عدد حقيقي إذا ضُرب المتجه v في عدد حقيقي k، فإن طول المتجه kv هو |k| |v|. ويتحدّد اتجاهه بإشارة k. • إذا كانت k > 0، فإن اتجاه kv هو اتجاه v نفسه. • إذا كانت k < 0، فإن اتجاه kv هو عكس اتجاه v. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- قراءة الرياضيات |k| تقرأ القيمة المطلقة للعدد الحقيقي k. |v| تمثل طول المتجه v. --- SECTION: مثال 4 --- مثال 4 العمليات على المتجهات ارسم المتجه 3x - 3/4y، حيث x, y متجهان كما في الشكل المجاور. أعد كتابة المتجه 3x - 3/4y على صورة حاصل جمع متجهين (3x + (-3/4y))، ثم مثّل المتجه 3x برسم متجه طوله 3 أمثال المتجه x، وبالاتجاه نفسه كما في الشكل 5.1.1. ولتمثيل المتجه -3/4y، ارسم متجهًا طوله 3/4 طول y، وفي اتجاه معاكس لاتجاه y كما في الشكل 5.1.2، ثم استعمل قاعدة المثلث؛ لرسم متجه المحصلة كما في الشكل 5.1.3. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة المتجهات المتوازيان المتعاكسان محصلة ناتج جمع متجهين متوازيين متعاكسين، هو متجه طوله يساوي القيمة المطلقة للفرق بين طولي المتجهين، واتجاهه هو اتجاه المتجه الأكبر طولاً. تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- ارسم المتجه الذي يُمثّل كلاً مما يأتي: 4A. a - c + 2b 4B. m - 1/4p --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لمتجهين v و w. المتجه v يبدأ من نقطة ويتجه للأعلى واليمين بزاوية 45 درجة تقريباً. المتجه w يبدأ من رأس المتجه v ويتجه للأعلى واليمين بزاوية أكثر حدة (حوالي 60 درجة). هذا الترتيب يمثل قاعدة المثلث لجمع المتجهات. Context: تطبيق قاعدة المثلث لإيجاد محصلة متجهين. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لمتجهين a و b. المتجه a يتجه للأعلى واليمين بزاوية 60 درجة تقريباً. المتجه b يبدأ من نفس نقطة بداية a ويتجه أفقياً لليمين. هذا الترتيب يمثل قاعدة متوازي الأضلاع لجمع المتجهات. Context: تطبيق قاعدة متوازي الأضلاع لإيجاد محصلة متجهين. **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط يوضح جمع متجهين متوازيين في نفس الاتجاه. المتجه a أحمر بطول 3 وحدات (3 m/sec). المتجه b أزرق بطول وحدتين (2 m/sec). المحصلة a+b خضراء بطول 5 وحدات (5 m/sec). Context: توضيح أن محصلة المتجهات المتوازية في نفس الاتجاه هي مجموع أطوالها. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم يوضح المتجه ومعكوسه. المتجه a أزرق يتجه للأعلى واليمين. المتجه -a أحمر يتجه للأسفل واليسار بنفس الطول. المعادلة المرافقة: a + (-a) = 0. Context: توضيح مفهوم المتجه الصفري كناتج لجمع متجه ومعكوسه. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم للمتجهات الأساسية في المثال 4. المتجه x أحمر قصير يتجه لليمين. المتجه y أزرق أطول يتجه للأعلى واليمين بزاوية 60 درجة تقريباً. Context: المعطيات البصرية للمثال 4. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم للمتجه 3x. يظهر كمتجه أحمر يتجه لليمين بطول يعادل ثلاثة أضعاف طول المتجه x الأصلي. Context: توضيح ضرب المتجه في عدد حقيقي موجب (تكبير الطول). **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم للمتجه -3/4y. يظهر كمتجه أزرق يتجه للأسفل واليسار (عكس اتجاه y) وبطول يعادل 75% من طول y الأصلي. Context: توضيح ضرب المتجه في عدد حقيقي سالب (عكس الاتجاه وتغيير الطول). **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم يوضح عملية الجمع النهائية باستخدام قاعدة المثلث. المتجه 3x (أحمر، لليمين) يبدأ من نقطة الأصل. المتجه -3/4y (أزرق، للأسفل واليسار) يبدأ من رأس 3x. المتجه الأخضر الناتج يمثل المحصلة 3x - 3/4y ويمتد من بداية 3x إلى نهاية -3/4y. Context: تطبيق عملي لجمع المتجهات الناتجة عن الضرب في أعداد حقيقية. **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط يوضح جمع متجهين متوازيين متعاكسين. المتجه a أحمر بطول 7 وحدات (7yd) لليمين. المتجه b أزرق بطول 4 وحدات (4yd) لليسار. المحصلة a+b خضراء بطول 3 وحدات (3yd) لليمين. Context: توضيح أن محصلة المتجهات المتوازية المتعاكسة هي الفرق بين أطوالها وفي اتجاه الأكبر. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم لثلاثة متجهات: a (أحمر، للأعلى واليمين)، b (أزرق، للأعلى واليمين، قصير)، c (أخضر، للأعلى واليمين، طويل). جميعها متوازية تقريباً ولكن بأطوال مختلفة. Context: المعطيات البصرية للسؤال 4A. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم لمتجهين: m (أحمر، للأسفل واليسار)، p (أزرق، للأعلى واليمين). المتجهان غير متوازيين. Context: المعطيات البصرية للسؤال 4B.