مثال 5 من واقع الحياة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تطبيقات المتجهات

نوع: محتوى تعليمي

يُسمى المتجهان اللذان ناتج جمعهما المتجه r ، مركبتي r . ومع أن مركبتي المتجه يمكن أن تكونا في أي اتجاه، إلا أنه من المفيد غالبًا تحليل المتجه إلى مركبتين متعامدتين، واحدة أفقية، والأخرى رأسية. ففي الشكل المجاور، يمكن اعتبار القوة r المبذولة لسحب العربة بصفتها مجموع مركبتين هما أفقية x تحرك العربة إلى الأمام، ورأسية y تسحب العربة إلى أعلى.

نوع: محتوى تعليمي

تحليل القوة إلى مركبتين متعامدتين
قص العشب: يدفع علي عربة قص العشب بقوة مقدارها 450 N ، وبزاوية قياسها 56° مع سطح الأرض.

نوع: محتوى تعليمي

cos 56° = |x| / 450 ... تعريف الجيب، وجيب التمام
|x| = 450 cos 56° ... حل بالنسبة إلى x ، y
|x| ≈ 252 ... استعمل الآلة الحاسبة

sin 56° = |y| / 450
|y| = 450 sin 56°
|y| ≈ 373

مقدار المركبة الأفقية 252 N تقريبًا، ومقدار المركبة الرأسية 373 N تقريبًا.

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

يتطلب الضغط على مفتاح الكهرباء، لإشعال الضوء قوة مقدارها 3 N . والقوة التي تؤثر بها الجاذبية الأرضية في الشخص تعادل 600 N تقريبًا. والقوة المبذولة من لاعب رفع أثقال تساوي 2000 N تقريبًا.

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5) كرة قدم: يركل لاعب كرة قدم من سطح الأرض بسرعة مقدارها 44 ft/s ، وبزاوية قياسها 33° مع سطح الأرض كما في الشكل أدناه.

🔍 عناصر مرئية

رسم توضيحي لشخص يسحب عربة حمراء. يظهر متجه القوة r مائلاً للأعلى ولليمين، ويتم تحليله إلى مركبة أفقية x موازية للأرض ومركبة رأسية y عمودية للأعلى، مما يشكل مثلثاً قائم الزاوية.

صورة لشخص يدفع عربة قص عشب حمراء. يظهر سهم يمثل قوة الدفع بمقدار 450 N وبزاوية 56° مع سطح الأرض.

مثلث قائم الزاوية يمثل تحليل قوة الدفع. الوتر يمثل القوة الكلية 450 N، والزاوية الحادة السفلية هي 56°. الضلع المجاور للزاوية هو x والضلع المقابل هو y.

صورة مقربة ليد تضغط على مفتاح كهربائي جداري أبيض.

رسم توضيحي للاعب يركل كرة قدم. يظهر سهم يمثل متجه السرعة الابتدائية من نقطة الركل على الأرض، بمقدار 44 ft/s وبزاوية 33° مع الأفق.

📄 النص الكامل للصفحة

تطبيقات المتجهات

يُسمى المتجهان اللذان ناتج جمعهما المتجه r ، مركبتي r . ومع أن مركبتي المتجه يمكن أن تكونا في أي اتجاه، إلا أنه من المفيد غالبًا تحليل المتجه إلى مركبتين متعامدتين، واحدة أفقية، والأخرى رأسية. ففي الشكل المجاور، يمكن اعتبار القوة r المبذولة لسحب العربة بصفتها مجموع مركبتين هما أفقية x تحرك العربة إلى الأمام، ورأسية y تسحب العربة إلى أعلى.

--- SECTION: مثال 5 من واقع الحياة ---
تحليل القوة إلى مركبتين متعامدتين
قص العشب: يدفع علي عربة قص العشب بقوة مقدارها 450 N ، وبزاوية قياسها 56° مع سطح الأرض.
a. ارسم شكلاً يوضح تحليل القوة التي يبذلها علي إلى مركبتين متعامدتين. يمكن تحليل قوة الدفع إلى مركبتين؛ أفقية x إلى الأمام ورأسية y إلى أسفل كما في الشكل أدناه.
b. أوجد مقدار كل من المركبتين؛ الأفقية والرأسية للقوة. تكوّن كل من القوة ومركبتاها الأفقية والرأسية مثلثاً قائم الزاوية. استعمل تعريف الجيب، أو جيب التمام؛ لإيجاد مقدار كل قوة منهما.

cos 56° = |x| / 450 ... تعريف الجيب، وجيب التمام
|x| = 450 cos 56° ... حل بالنسبة إلى x ، y
|x| ≈ 252 ... استعمل الآلة الحاسبة

sin 56° = |y| / 450
|y| = 450 sin 56°
|y| ≈ 373

مقدار المركبة الأفقية 252 N تقريبًا، ومقدار المركبة الرأسية 373 N تقريبًا.

--- SECTION: الربط مع الحياة ---
يتطلب الضغط على مفتاح الكهرباء، لإشعال الضوء قوة مقدارها 3 N . والقوة التي تؤثر بها الجاذبية الأرضية في الشخص تعادل 600 N تقريبًا. والقوة المبذولة من لاعب رفع أثقال تساوي 2000 N تقريبًا.

تحقق من فهمك

--- SECTION: 5 ---
5) كرة قدم: يركل لاعب كرة قدم من سطح الأرض بسرعة مقدارها 44 ft/s ، وبزاوية قياسها 33° مع سطح الأرض كما في الشكل أدناه.
A. ارسم شكلاً يوضح تحليل هذه السرعة إلى مركبتين متعامدتين.
B. أوجد مقدار كل من المركبتين الأفقية والرأسية للسرعة.

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم توضيحي لشخص يسحب عربة حمراء. يظهر متجه القوة r مائلاً للأعلى ولليمين، ويتم تحليله إلى مركبة أفقية x موازية للأرض ومركبة رأسية y عمودية للأعلى، مما يشكل مثلثاً قائم الزاوية.
Context: يوضح المفهوم الأساسي لتحليل المتجه إلى مركبتين متعامدتين.

**IMAGE**: Untitled
Description: صورة لشخص يدفع عربة قص عشب حمراء. يظهر سهم يمثل قوة الدفع بمقدار 450 N وبزاوية 56° مع سطح الأرض.
Context: تمثيل واقعي لمسألة تحليل القوى.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية يمثل تحليل قوة الدفع. الوتر يمثل القوة الكلية 450 N، والزاوية الحادة السفلية هي 56°. الضلع المجاور للزاوية هو x والضلع المقابل هو y.
X-axis: x (المركبة الأفقية)
Y-axis: y (المركبة الرأسية)
Context: النموذج الرياضي المستخدم لحل المثال 5.

**IMAGE**: Untitled
Description: صورة مقربة ليد تضغط على مفتاح كهربائي جداري أبيض.
Context: ربط مفهوم القوة بتطبيقات حياتية بسيطة.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم توضيحي للاعب يركل كرة قدم. يظهر سهم يمثل متجه السرعة الابتدائية من نقطة الركل على الأرض، بمقدار 44 ft/s وبزاوية 33° مع الأفق.
Key Values: السرعة: 44 ft/s, الزاوية: 33°
Context: الرسم التوضيحي لمسألة 'تحقق من فهمك' رقم 5.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 5 (A): 5) كرة قدم: يركل لاعب كرة قدم من سطح الأرض بسرعة مقدارها 44 ft/s ، وبزاوية قياسها 33° مع سطح الأرض كما في الشكل أدناه. A) ارسم شكلاً يوضح تحليل هذه السرعة إلى مركبتين متعامدتين.

الإجابة: س 5 (A): تمثيل السرعة بسهم 44 ft/s بزاوية 33° وتحليله لمركبتين أفقية x ورأسية y.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن السرعة المتجهة يمكن تمثيلها بيانياً بسهم ينطلق من نقطة الأصل، حيث يمثل طول السهم مقدار السرعة (44 ft/s)، والزاوية (33°) تمثل اتجاهها بالنسبة لسطح الأرض (المحور الأفقي).
**الخطوة 2 (التطبيق):** لتحليل هذه السرعة، نقوم برسم السهم المائل بالزاوية المحددة، ثم نسقط خطوطاً منقطة من نهاية السهم بشكل عمودي على المحور الأفقي (x) والمحور الرأسي (y).
**الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، الرسم الصحيح هو سهم يميل بزاوية 33°، وتظهر فيه المركبة الأفقية $x$ على امتداد سطح الأرض، والمركبة الرأسية $y$ عمودية عليها لتشكيل مثلث قائم الزاوية.

سؤال 5 (B): 5) كرة قدم: يركل لاعب كرة قدم من سطح الأرض بسرعة مقدارها 44 ft/s ، وبزاوية قياسها 33° مع سطح الأرض كما في الشكل أدناه. B) أوجد مقدار كل من المركبتين الأفقية والرأسية للسرعة.

الإجابة: س 5 (B): المركبتان: $|x| = 44 \cos 33^\circ \approx 37$ $|y| = 44 \sin 33^\circ \approx 24$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من معلومات: - مقدار السرعة (المحصلة): $v = 44$ ft/s - زاوية الميل مع الأفقي: $\theta = 33^\circ$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين تحليل المتجهات لإيجاد المركبات: - المركبة الأفقية: $v_x = v \cos \theta$ - المركبة الرأسية: $v_y = v \sin \theta$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض في القوانين: - المركبة الأفقية: $44 \cos 33^\circ \approx 36.9$ - المركبة الرأسية: $44 \sin 33^\circ \approx 23.96$
**الخطوة 4 (النتيجة):** بتقريب القيم لأقرب عدد صحيح، نجد أن مقدار المركبة الأفقية هو **37 ft/s** تقريباً، ومقدار المركبة الرأسية هو **24 ft/s** تقريباً.