فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

7-6 التوزيعات ذات الحدين Binomial Distributions

درست استعمال نظرية ذات الحدين. (مهارة سابقة)

• أميز تجربة ذات الحدين. • أجد الاحتمالات باستعمال التوزيع ذي الحدين ومفكوكة.

تجربة ذات الحدين binomial experiment التوزيع ذو الحدين binomial distribution

في لعبة الكرة الطائرة تبين أن اللاعب سلمان ينجح في لعب الإرسال الساحق الذي لا يصده الخصم في 36% من محاولاته، وبذلك يحصل فريقه على نقطة في كل مرة ينجح فيها.

كثير من التجارب الاحتمالية يكون لها نتيجتان فقط؛ نجاح أو فشل أو يمكن جعلها كذلك. فمثلاً في مسائل الاختيار من متعدد التي لها 5 إجابات، يمكن تصنيف نتائج الإجابة عن كل فقرة إلى صح، أو خطأ، ويمكن تصنيف نتائج دواء طبي على أنه فعّال أو غير فعّال.

تجربة ذات الحدين هي تجربة احتمالية تحقق الشروط الآتية: • يُعاد إجراء التجربة لعدد محدد (n) من المحاولات المستقلة (المرات). • كل محاولة لها فقط نتيجتان متوقعتان؛ نجاح S، أو فشل F. • P(S) ويرمز له بالحرف p هو نفسه في كل محاولة. واحتمال الفشل P(F) ويرمز له بالحرف q هو نفسه في كل محاولة ويساوي q = 1 - p. • ويُمثّل المتغير العشوائي X عدد مرات النجاح في n من المحاولات.

تمييز التجربة ذات الحدين حدد ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين، أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين، فاكتب قيم n, p, q، وقيم المتغير العشوائي الممكنة، وإذا لم تكن كذلك فبيّن السبب.

114 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 7-6 التوزيعات ذات الحدين Binomial Distributions --- SECTION: فيما سبق --- درست استعمال نظرية ذات الحدين. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- • أميز تجربة ذات الحدين. • أجد الاحتمالات باستعمال التوزيع ذي الحدين ومفكوكة. --- SECTION: المفردات --- تجربة ذات الحدين binomial experiment التوزيع ذو الحدين binomial distribution --- SECTION: لماذا؟ --- في لعبة الكرة الطائرة تبين أن اللاعب سلمان ينجح في لعب الإرسال الساحق الذي لا يصده الخصم في 36% من محاولاته، وبذلك يحصل فريقه على نقطة في كل مرة ينجح فيها. --- SECTION: التوزيع ذو الحدين --- كثير من التجارب الاحتمالية يكون لها نتيجتان فقط؛ نجاح أو فشل أو يمكن جعلها كذلك. فمثلاً في مسائل الاختيار من متعدد التي لها 5 إجابات، يمكن تصنيف نتائج الإجابة عن كل فقرة إلى صح، أو خطأ، ويمكن تصنيف نتائج دواء طبي على أنه فعّال أو غير فعّال. --- SECTION: مفهوم أساسي: تجربة ذات الحدين --- تجربة ذات الحدين هي تجربة احتمالية تحقق الشروط الآتية: • يُعاد إجراء التجربة لعدد محدد (n) من المحاولات المستقلة (المرات). • كل محاولة لها فقط نتيجتان متوقعتان؛ نجاح S، أو فشل F. • P(S) ويرمز له بالحرف p هو نفسه في كل محاولة. واحتمال الفشل P(F) ويرمز له بالحرف q هو نفسه في كل محاولة ويساوي q = 1 - p. • ويُمثّل المتغير العشوائي X عدد مرات النجاح في n من المحاولات. --- SECTION: مثال 1 --- تمييز التجربة ذات الحدين حدد ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين، أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين، فاكتب قيم n, p, q، وقيم المتغير العشوائي الممكنة، وإذا لم تكن كذلك فبيّن السبب. a. تُبيّن نتيجة لمسح إحصائي داخل إحدى المدارس أن 68% من الطلاب يمتلكون حاسبة بيانية. إذا تم اختيار 6 طلاب عشوائيًا، وسؤالهم عما إذا كانوا يمتلكون هذه الآلة؛ وكان المتغير العشوائي X يُمثّل عدد الطلاب الذين يملكون الحاسبة البيانية، فإن: هذه التجربة تحقق شروط تجربة ذات الحدين وهي: • كل طالب تم اختياره يُمثّل محاولة، وعملية اختيار الطلاب الستة تتكون من محاولات مستقلة. • للتجربة نتيجتان متوقعتان: الطالب يملك الحاسبة البيانية S، أو لا يملكها F. • احتمال النجاح نفسه لكل طالب تم اختياره P(S) = 0.68. وفي هذه التجربة n = 6, p = P(S) = 0.68. احتمال الفشل q = 1 - p = 1 - 0.68 = 0.32، أي أن: q = 0.32. ويُمثّل X عدد الطلاب الذين يملكون حاسبة بيانية من الذين تم اختيارهم، أي أن: X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 b. يحتوي صندوق على 52 بطاقة، وخُصص لكل 13 بطاقة أحد الألوان الآتية: الأحمر، الأسود، الأخضر، الأبيض. سحبت منه 5 بطاقات الواحدة تلو الأخرى دون إرجاع. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد البطاقات المسحوبة ذات اللون الأخضر. في هذه التجربة، كل بطاقة يتم سحبها تُمثّل محاولة، وبما أنه يتم الاحتفاظ بالبطاقة التي تم اختيارها (السحب دون إرجاع)، فإن المحاولات غير مستقلة، واحتمال النجاح في كل محاولة يختلف عن الأخرى؛ لذا فإن هذه التجربة ليست ذات حدين. 114 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: Untitled Description: QR code linking to digital lesson resources on ien.edu.sa **IMAGE**: Untitled Description: A photograph showing two volleyball players jumping at the net. One player is wearing a green jersey with the number 3, and the other is wearing a white jersey with the number 17. They are reaching up to block or hit the ball. **FIGURE**: Untitled Description: A blue-bordered box containing the definition and four key conditions for a binomial experiment, including mathematical notation for n, S, F, p, q, and X. Context: Defines the criteria for a binomial distribution experiment.