إرشادات للدراسة

Q: كليات: أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X في تحقق من فهمك 2 ، وفسّر معنى المتوسط في سياق الموقف.

س3: \mu = np = 7(0.48) = 3.36 \sigma^2 = npq = 1.7472 \Rightarrow \sigma = \sqrt{1.7472} \approx 1.321 التفسير: العدد المتوقع لمن يجيبون بـ«نعم» هو 3.36 (بين 3 و 4 طلاب).

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

لإيجاد احتمال أن 3 طلاب على الأقل أجابوا بنعم، أوجد P(3) + P(4) + P(5) .
P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5) ... احتمال 3 طلاب على الأقل
= 0.181 + 0.049 + 0.005 ... P(3) = 0.181, P(4) = 0.049, P(5) = 0.005
= 0.235 = 23.5% ... بسط

نوع: محتوى تعليمي

اختيار الاحتمالات: أحيانًا يكون من الأسهل أن تجد احتمال الفشل وتطرح هذه النتيجة من 1 لتجد احتمال النجاح، لأنهما احتمالان متتامان.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) كليات: يدرس في إحدى الكليات 48% من الطلاب لغة عالمية خلال سنة التخرج. إذا اختير 7 خريجين عشوائيًا، وتم سؤالهم عما إذا درسوا لغة عالمية في سنتهم الأخيرة. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم، فكوّن التوزيع ذا الحدين، ومثله بالأعمدة، ثم أوجد احتمال أن يجيب أقل من 4 طلاب بنعم.

نوع: محتوى تعليمي

تستعمل الصيغ الآتية؛ لإيجاد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين.

مفهوم أساسي: المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين

نوع: محتوى تعليمي

يحسب المتوسط والتباين والانحراف المعياري لمتغير عشوائي X في التوزيع ذي الحدين بالصيغ الآتية:
المتوسط: μ = np
التباين: σ² = npq
الانحراف المعياري: σ = √σ² = √npq

مثال 3: المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين

نوع: محتوى تعليمي

اختبار: بالرجوع إلى تجربة ذات الحدين في المثال 2 . أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X، ثم فسر معنى المتوسط في سياق الموقف.
الحل:
استعمل صيغ المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين. في هذه التجربة ذات الحدين n = 5, p = 0.35, q = 0.65 .
μ = np = 5(0.35) = 1.75
σ² = npq = 5(0.35)(0.65) = 1.1375
σ = √σ² = √1.1375 ≈ 1.0665
متوسط التوزيع يساوي 1.8 تقريبًا، ويعني أن خريجين تقريبًا من أصل 5 أجابوا بنعم. كل من التباين والانحراف المعياري يساوي 1.1 تقريبًا.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3) كليات: أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X في تحقق من فهمك 2 ، وفسّر معنى المتوسط في سياق الموقف.

🔍 عناصر مرئية

إطار أزرق يحتوي على القوانين الرياضية للمتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين.

📄 النص الكامل للصفحة

لإيجاد احتمال أن 3 طلاب على الأقل أجابوا بنعم، أوجد P(3) + P(4) + P(5) .
P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5) ... احتمال 3 طلاب على الأقل
= 0.181 + 0.049 + 0.005 ... P(3) = 0.181, P(4) = 0.049, P(5) = 0.005
= 0.235 = 23.5% ... بسط

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
اختيار الاحتمالات: أحيانًا يكون من الأسهل أن تجد احتمال الفشل وتطرح هذه النتيجة من 1 لتجد احتمال النجاح، لأنهما احتمالان متتامان.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
2) كليات: يدرس في إحدى الكليات 48% من الطلاب لغة عالمية خلال سنة التخرج. إذا اختير 7 خريجين عشوائيًا، وتم سؤالهم عما إذا درسوا لغة عالمية في سنتهم الأخيرة. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم، فكوّن التوزيع ذا الحدين، ومثله بالأعمدة، ثم أوجد احتمال أن يجيب أقل من 4 طلاب بنعم.

تستعمل الصيغ الآتية؛ لإيجاد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين.

--- SECTION: مفهوم أساسي: المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين ---
يحسب المتوسط والتباين والانحراف المعياري لمتغير عشوائي X في التوزيع ذي الحدين بالصيغ الآتية:
المتوسط: μ = np
التباين: σ² = npq
الانحراف المعياري: σ = √σ² = √npq

--- SECTION: مثال 3: المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين ---
اختبار: بالرجوع إلى تجربة ذات الحدين في المثال 2 . أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X، ثم فسر معنى المتوسط في سياق الموقف.
الحل:
استعمل صيغ المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين. في هذه التجربة ذات الحدين n = 5, p = 0.35, q = 0.65 .
μ = np = 5(0.35) = 1.75
σ² = npq = 5(0.35)(0.65) = 1.1375
σ = √σ² = √1.1375 ≈ 1.0665
متوسط التوزيع يساوي 1.8 تقريبًا، ويعني أن خريجين تقريبًا من أصل 5 أجابوا بنعم. كل من التباين والانحراف المعياري يساوي 1.1 تقريبًا.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
3) كليات: أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X في تحقق من فهمك 2 ، وفسّر معنى المتوسط في سياق الموقف.

--- VISUAL CONTEXT ---
**FIGURE**: Untitled
Description: إطار أزرق يحتوي على القوانين الرياضية للمتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين.
Key Values: μ = np, σ² = npq, σ = √npq
Context: يوضح القوانين الأساسية المستخدمة في حل الأمثلة والتمارين في هذا الدرس.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 2: كليات: يدرس في إحدى الكليات 48% من الطلاب لغة عالمية خلال سنة التخرج. إذا اختير 7 خريجين عشوائيًا، وتم سؤالهم عما إذا درسوا لغة عالمية في سنتهم الأخيرة. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم، فكوّن التوزيع ذا الحدين، ومثله بالأعمدة، ثم أوجد احتمال أن يجيب أقل من 4 طلاب بنعم.

الإجابة: س2: n = 7, p = 0.48, q = 0.52 . P(X = k) = \binom{7}{k} (0.48)^k (0.52)^{7-k} التوزيع: P(0) \approx 0.01, P(1) \approx 0.07, P(2) \approx 0.18, P(3) \approx 0.28, P(4) \approx 0.26, P(5) \approx 0.14, P(6) \approx 0.04, P(7) \approx 0.01 P(X < 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) \approx 0.5437

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لتحليل هذه المسألة، نحدد أولاً معطيات تجربة ذات الحدين: - عدد المحاولات (الطلاب المختارين): $n = 7$ - احتمال النجاح (يدرس لغة عالمية): $p = 0.48$ - احتمال الفشل (لا يدرس لغة عالمية): $q = 1 - 0.48 = 0.52$ - المتغير العشوائي $X$: يمثل عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم، ويأخذ القيم $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم صيغة احتمال التوزيع ذي الحدين: $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$
**الخطوة 3 (الحل):** نقوم بحساب الاحتمالات لكل قيمة من قيم $X$: - $P(0) = \binom{7}{0} (0.48)^0 (0.52)^7 \approx 0.01$ - $P(1) = \binom{7}{1} (0.48)^1 (0.52)^6 \approx 0.07$ - $P(2) = \binom{7}{2} (0.48)^2 (0.52)^5 \approx 0.18$ - $P(3) = \binom{7}{3} (0.48)^3 (0.52)^4 \approx 0.28$ - $P(4) = \binom{7}{4} (0.48)^4 (0.52)^3 \approx 0.26$ - $P(5) = \binom{7}{5} (0.48)^5 (0.52)^2 \approx 0.14$ - $P(6) = \binom{7}{6} (0.48)^6 (0.52)^1 \approx 0.04$ - $P(7) = \binom{7}{7} (0.48)^7 (0.52)^0 \approx 0.01$ لإيجاد احتمال أن يجيب أقل من 4 طلاب بنعم، نجمع الاحتمالات لـ $X = 0, 1, 2, 3$: $$P(X < 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)$$ $$P(X < 4) = 0.01 + 0.07 + 0.18 + 0.28 = 0.54$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، التوزيع الاحتمالي هو القيم المحسوبة أعلاه، واحتمال أن يجيب أقل من 4 طلاب بنعم هو تقريباً **0.5437** (عند استخدام الحسابات الدقيقة).

سؤال 3: كليات: أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X في تحقق من فهمك 2 ، وفسّر معنى المتوسط في سياق الموقف.

الإجابة: س3: \mu = np = 7(0.48) = 3.36 \sigma^2 = npq = 1.7472 \Rightarrow \sigma = \sqrt{1.7472} \approx 1.321 التفسير: العدد المتوقع لمن يجيبون بـ«نعم» هو 3.36 (بين 3 و 4 طلاب).

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** بناءً على معطيات السؤال السابق: - عدد الطلاب: $n = 7$ - احتمال النجاح: $p = 0.48$ - احتمال الفشل: $q = 0.52$
**الخطوة 2 (القوانين):** نستخدم قوانين التوزيع ذي الحدين: - المتوسط (المتوقع): $$\mu = n \times p$$ - التباين: $$\sigma^2 = n \times p \times q$$ - الانحراف المعياري: $$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض في القوانين: - المتوسط: $$\mu = 7 \times 0.48 = 3.36$$ - التباين: $$\sigma^2 = 7 \times 0.48 \times 0.52 = 1.7472$$ - الانحراف المعياري: $$\sigma = \sqrt{1.7472} \approx 1.321$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المتوسط هو **3.36**، والتباين هو **1.7472**، والانحراف المعياري هو **1.321**. **التفسير:** المتوسط 3.36 يعني أنه في المتوسط، نتوقع أن نجد ما بين 3 إلى 4 طلاب من بين الـ 7 خريجين قد درسوا لغة عالمية في سنتهم الأخيرة.