مفهوم أساسي: صيغة احتمال ذات الحدين - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تحقق من فهمك

حدد ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين، أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين، فاكتب قيم n, p, q، وقيم المتغير العشوائي الممكنة، وإذا لم تكن كذلك فبيّن السبب.

يُسمى توزيع النتائج المتوقعة لتجربة ذات حدين والاحتمالات المرتبطة بها توزيع ذات الحدين. ويمكن حساب الاحتمالات في هذا التوزيع باستعمال الصيغة P(X) = nCx p^x q^(n-x)، التي تمثل حدًا في مفكوك (p + q)^n.

احتمال النجاح في X مرة من n من المحاولات المستقلة في تجربة ذات حدين هو: P(X) = nCx p^x q^(n-x) = [n! / ((n-X)! X!)] p^x q^(n-x) حيث p احتمال النجاح، و q احتمال الفشل في المحاولة الواحدة.

اختبار: في اختبار نهائي، أكد %35 من الطلاب أنهم أجابوا بشكل اعتيادي. إذا اختير 5 طلاب عشوائيًا، وتم سؤالهم عما إذا أدوا الاختبار بشكل اعتيادي. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم عن السؤال، فكوّن جدولاً للتوزيع ذي الحدين، ومثله بالأعمدة، ثم أوجد احتمال أن يجيب 3 طلاب على الأقل عن السؤال بنعم. هذه تجربة ذات حدين فيها: n = 5, p = 0.35, q = 1 - 0.35 = 0.65. استعمل الحاسبة البيانية TI-nspire؛ لحساب احتمال كل قيمة ممكنة من قيم X مستعملاً صيغة احتمال ذات الحدين. P(0) = 5C0 * 0.35^0 * 0.65^5 ≈ 0.116 P(1) = 5C1 * 0.35^1 * 0.65^4 ≈ 0.312 P(2) = 5C2 * 0.35^2 * 0.65^3 ≈ 0.336 P(3) = 5C3 * 0.35^3 * 0.65^2 ≈ 0.181 P(4) = 5C4 * 0.35^4 * 0.65^1 ≈ 0.049 P(5) = 5C5 * 0.35^5 * 0.65^0 ≈ 0.005 وفيما يأتي جدول التوزيع ذي الحدين للمتغير X، وتمثيله بالأعمدة.

حساب احتمال ذات الحدين: لإيجاد كل احتمال لذات الحدين على الحاسبة البيانية؛ استعمل الأمر binomPdf(n, p, x) من قائمة تطبيق الحاسبة. مثال: لإيجاد P(1) اكتب binomPdf(5, 0.35, 1) ثم اضغط Enter فتحصل على 0.312386 كما يمكن إيجادها باستعمال الآلة الحاسبة العلمية كما يأتي: اضغط على المفاتيح الآتية من اليسار إلى اليمين: 5 SHIFT ÷ 1 × 0.35 x^n 1 × ( 1 - 0.35 ) x^n ( 5 - 1 ) = فتظهر الشاشة 0.3123859375

وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 6-7 التوزيعات ذات الحدين 115 2023 - 1445

تحقق من فهمك حدد ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين، أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين، فاكتب قيم n, p, q، وقيم المتغير العشوائي الممكنة، وإذا لم تكن كذلك فبيّن السبب. 1A. أظهرت نتيجة لمسح إحصائي في إحدى المدارس ذات الزي الموحّد أن %61 يحبون الزي الجديد، وأن %24 لا يحبونه. إذا تم اختيار 20 طالبًا بشكل عشوائي، وسؤالهم عما إذا كانوا يحبون الزي الجديد. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين يحبون الزي الجديد. 1B. أجاب خالد عن اختبار مكوّن من 20 فقرة من نوع «الاختيار من متعدد» لكل فقرة منها أربع إجابات، واحدة فقط صحيحة (دون معرفة علمية بموضوع الاختبار). وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الإجابات الصحيحة. يُسمى توزيع النتائج المتوقعة لتجربة ذات حدين والاحتمالات المرتبطة بها توزيع ذات الحدين. ويمكن حساب الاحتمالات في هذا التوزيع باستعمال الصيغة P(X) = nCx p^x q^(n-x)، التي تمثل حدًا في مفكوك (p + q)^n. --- SECTION: مفهوم أساسي: صيغة احتمال ذات الحدين --- احتمال النجاح في X مرة من n من المحاولات المستقلة في تجربة ذات حدين هو: P(X) = nCx p^x q^(n-x) = [n! / ((n-X)! X!)] p^x q^(n-x) حيث p احتمال النجاح، و q احتمال الفشل في المحاولة الواحدة. --- SECTION: مثال 2 من واقع الحياة: التوزيع ذو الحدين --- اختبار: في اختبار نهائي، أكد %35 من الطلاب أنهم أجابوا بشكل اعتيادي. إذا اختير 5 طلاب عشوائيًا، وتم سؤالهم عما إذا أدوا الاختبار بشكل اعتيادي. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم عن السؤال، فكوّن جدولاً للتوزيع ذي الحدين، ومثله بالأعمدة، ثم أوجد احتمال أن يجيب 3 طلاب على الأقل عن السؤال بنعم. هذه تجربة ذات حدين فيها: n = 5, p = 0.35, q = 1 - 0.35 = 0.65. استعمل الحاسبة البيانية TI-nspire؛ لحساب احتمال كل قيمة ممكنة من قيم X مستعملاً صيغة احتمال ذات الحدين. P(0) = 5C0 * 0.35^0 * 0.65^5 ≈ 0.116 P(1) = 5C1 * 0.35^1 * 0.65^4 ≈ 0.312 P(2) = 5C2 * 0.35^2 * 0.65^3 ≈ 0.336 P(3) = 5C3 * 0.35^3 * 0.65^2 ≈ 0.181 P(4) = 5C4 * 0.35^4 * 0.65^1 ≈ 0.049 P(5) = 5C5 * 0.35^5 * 0.65^0 ≈ 0.005 وفيما يأتي جدول التوزيع ذي الحدين للمتغير X، وتمثيله بالأعمدة. --- SECTION: إرشاد تقني --- حساب احتمال ذات الحدين: لإيجاد كل احتمال لذات الحدين على الحاسبة البيانية؛ استعمل الأمر binomPdf(n, p, x) من قائمة تطبيق الحاسبة. مثال: لإيجاد P(1) اكتب binomPdf(5, 0.35, 1) ثم اضغط Enter فتحصل على 0.312386 كما يمكن إيجادها باستعمال الآلة الحاسبة العلمية كما يأتي: اضغط على المفاتيح الآتية من اليسار إلى اليمين: 5 SHIFT ÷ 1 × 0.35 x^n 1 × ( 1 - 0.35 ) x^n ( 5 - 1 ) = فتظهر الشاشة 0.3123859375 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 6-7 التوزيعات ذات الحدين 115 2023 - 1445 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: X | P(X) Rows: Row 1: 0 | 0.116 Row 2: 1 | 0.312 Row 3: 2 | 0.336 Row 4: 3 | 0.181 Row 5: 4 | 0.049 Row 6: 5 | 0.005 Context: Shows the calculated probability for each possible number of students (0 to 5) who answered 'yes'. **CHART**: Untitled Description: A bar chart representing the binomial distribution. The x-axis represents the number of students from 0 to 5. The y-axis represents the probability from 0 to 0.35 with increments of 0.05. The bars are centered over the integer values on the x-axis. The highest bar is at X=2 (height 0.336), followed by X=1 (height 0.312). X-axis: عدد الطلاب Y-axis: الاحتمال Context: Visual representation of the binomial distribution calculated in Example 2.