مفهوم أساسي: تقريب التوزيع ذي الحدين إلى التوزيع الطبيعي - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

عندما يزداد عدد المحاولات في تجربة ذات الحدين، يمكن استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب التوزيع ذي الحدين.

في التوزيع ذي الحدين عندما تُمثّل n عدد المحاولات، واحتمال النجاح p، واحتمال الفشل q، ويكون np ≥ 5, nq ≥ 5، يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين إلى توزيع طبيعي بمتوسط μ = np، وانحراف معياري σ = √npq.

يُستعمل التقريب إلى التوزيع الطبيعي؛ لأنه مع زيادة n يصبح استعمال التوزيع ذي الحدين لإيجاد الاحتمال عملية معقدة وصعبة.

تقريب التوزيع ذي الحدين إلى توزيع طبيعي أشارت دراسة سابقة إلى أن %64 من الخريجين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة. وقد نفذ بلال دراسة مسحية على 300 من هؤلاء الخريجين اختارهم عشوائيًا. ما احتمال أن يوافق 200 خريج منهم على الأقل على ما جاء في الدراسة الإحصائية السابقة؟

في الدراسة المسحية التي نفذها بلال، عدد الخريجين الذين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة يتبع التوزيع ذا الحدين، حيث: n = 300, p = 0.64, q = 0.36 وحيث إن: np = 300(0.64) = 192 > 5 nq = 300(0.36) = 108 > 5 يمكنك استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب الاحتمال على النحو الآتي: μ = np = 300(0.64) = 192 (المتوسط للتوزيع الطبيعي) σ = √npq = √300(0.64)(0.36) ≈ 8.31 (الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي) استعمل الآلة الحاسبة. العدد 200 أكبر من المتوسط بمقدار انحراف معياري واحد تقريبًا كما هو مبين في الرسم أعلاه؛ لذا يكون احتمال أن يوافق 200 خريج منهم على الأقل يساوي %16 تقريبًا.

تحقق من فهمك

4) أشارت دراسة سابقة إلى أن %32 من أولياء الأمور المستطلعة آراؤهم يرون أنه يجب تقليل عدد أيام الإجازة الصيفية للطلاب في نهاية العام الدراسي. غير أن آية ترى أن النسبة أقل من ذلك، ولذلك قامت بإجراء دراسة مسحية شملت 250 من أولياء الأمور اختارتهم بطريقة عشوائية ممن استهدفتهم الدراسة السابقة. ما احتمال ألا يرى أكثر من 65 من أولياء الأمور وجوب تقليل عدد أيام الإجازة الصيفية؟

عندما يزداد عدد المحاولات في تجربة ذات الحدين، يمكن استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب التوزيع ذي الحدين. --- SECTION: مفهوم أساسي: تقريب التوزيع ذي الحدين إلى التوزيع الطبيعي --- في التوزيع ذي الحدين عندما تُمثّل n عدد المحاولات، واحتمال النجاح p، واحتمال الفشل q، ويكون np ≥ 5, nq ≥ 5، يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين إلى توزيع طبيعي بمتوسط μ = np، وانحراف معياري σ = √npq. --- SECTION: إرشادات للدراسة: التقريب إلى التوزيع الطبيعي --- يُستعمل التقريب إلى التوزيع الطبيعي؛ لأنه مع زيادة n يصبح استعمال التوزيع ذي الحدين لإيجاد الاحتمال عملية معقدة وصعبة. --- SECTION: مثال 4 --- تقريب التوزيع ذي الحدين إلى توزيع طبيعي أشارت دراسة سابقة إلى أن %64 من الخريجين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة. وقد نفذ بلال دراسة مسحية على 300 من هؤلاء الخريجين اختارهم عشوائيًا. ما احتمال أن يوافق 200 خريج منهم على الأقل على ما جاء في الدراسة الإحصائية السابقة؟ --- SECTION: الحل --- في الدراسة المسحية التي نفذها بلال، عدد الخريجين الذين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة يتبع التوزيع ذا الحدين، حيث: n = 300, p = 0.64, q = 0.36 وحيث إن: np = 300(0.64) = 192 > 5 nq = 300(0.36) = 108 > 5 يمكنك استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب الاحتمال على النحو الآتي: μ = np = 300(0.64) = 192 (المتوسط للتوزيع الطبيعي) σ = √npq = √300(0.64)(0.36) ≈ 8.31 (الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي) استعمل الآلة الحاسبة. العدد 200 أكبر من المتوسط بمقدار انحراف معياري واحد تقريبًا كما هو مبين في الرسم أعلاه؛ لذا يكون احتمال أن يوافق 200 خريج منهم على الأقل يساوي %16 تقريبًا. تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- 4) أشارت دراسة سابقة إلى أن %32 من أولياء الأمور المستطلعة آراؤهم يرون أنه يجب تقليل عدد أيام الإجازة الصيفية للطلاب في نهاية العام الدراسي. غير أن آية ترى أن النسبة أقل من ذلك، ولذلك قامت بإجراء دراسة مسحية شملت 250 من أولياء الأمور اختارتهم بطريقة عشوائية ممن استهدفتهم الدراسة السابقة. ما احتمال ألا يرى أكثر من 65 من أولياء الأمور وجوب تقليل عدد أيام الإجازة الصيفية؟ --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A normal distribution curve with the mean (μ) at 192. The x-axis is labeled with values 192, 200, 208, and 216. A bracket between 192 and 200 is labeled σ ≈ 8, indicating the standard deviation. The area to the right of x = 200 is shaded in light blue and divided into three sections with percentage labels. X-axis: Values (Number of graduates) Y-axis: Probability Density Data: The shaded area represents P(X ≥ 200). It is composed of: 13.5% (between 200 and 208), 2% (between 208 and 216), and 0.5% (greater than 216). The total shaded area is 13.5% + 2% + 0.5% = 16%. Key Values: 13.5%, 2%, 0.5%, σ ≈ 8 Context: Visualizes the Empirical Rule (68-95-99.7) applied to a normal distribution to approximate binomial probability.