📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
تدرب وحل المسائل
نوع: محتوى تعليمي
حدد ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين، أو يمكن جعلها ذات حدين. وإن كانت كذلك، فاكتب قيم n, p, q، ثم اكتب كل قيم المتغير العشوائي الممكنة. وإذا لم تكن تجربة ذات حدين، فبيّن السبب. (مثال 1)
1
نوع: QUESTION_HOMEWORK
1) تم ترقيم أوجه مكعب بالأرقام من 1 إلى 6، ثم أُلقي المكعب 10 مرات، والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الرقم 5.
2
نوع: QUESTION_HOMEWORK
2) أُلقيت قطعة نقد 20 مرة، والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الكتابة.
3
نوع: QUESTION_HOMEWORK
3) سألت 15 شخصًا عن أعمارهم، والمتغير العشوائي X يدل على أعمار هؤلاء الأشخاص.
4
نوع: QUESTION_HOMEWORK
4) صندوق به 52 كرة، منها 13 كرة حمراء، و13 كرة زرقاء، و13 كرة بيضاء، و13 كرة صفراء. سحبت 10 كرات على التوالي دون إرجاع. والمتغير العشوائي X يدل على عدد الكرات البيضاء المسحوبة.
نوع: محتوى تعليمي
كوّن التوزيع ذا الحدين لكل متغير عشوائي مما يأتي، ومثله بالأعمدة، ثم أوجد المتوسط، وفسر معناه في سياق الموقف، ثم أوجد التباين، والانحراف المعياري. (المثالان 2, 3)
5
نوع: QUESTION_HOMEWORK
5) إذا كان 89% من طلاب المرحلة الثانوية في إحدى المدارس يتابعون مباريات منتخبهم الوطني، وتم اختيار 5 طلاب عشوائيًا من هذه المدرسة، وسؤالهم عما إذا كانوا يتابعون مباريات منتخبهم الوطني.
6
نوع: QUESTION_HOMEWORK
6) بيّنت دراسة أن 26% من موظفي إحدى الشركات يستعملون الإنترنت في عملهم. إذا تم اختيار 10 موظفين من هذه الشركة عشوائيًا، وسؤالهم عما إذا كانوا يستعملون الإنترنت في عملهم.
7
نوع: QUESTION_HOMEWORK
7) أفادت دراسة إحصائية أن 65% من طلاب الجامعات الذين يمتلكون سيارات يستعملون أحزمة الأمان في أثناء قيادة سياراتهم. إذا تم اختيار 8 طلاب عشوائيًا ممن يمتلكون سيارات، وسؤالهم إن كانوا يستعملون أحزمة أمان في أثناء قيادة سياراتهم.
8
نوع: QUESTION_HOMEWORK
8) أعمال صيفية: تبيّن في دراسة سابقة أن 90% من طلاب الصفوف العليا في مدرسة ثانوية يحصلون على أعمال صيفية، لكن منذرًا قدّر أن النسبة أقل من ذلك؛ لذا قام بدراسة مسحية شملت 400 طالب من الصفوف العليا تم اختيارهم عشوائيًا. ما احتمال ألا يكون أكثر من 348 من الطلاب المستهدفين حصلوا على عمل صيفي؟ (مثال 4)
9
نوع: QUESTION_HOMEWORK
9) رخصة قيادة: اعتمادًا على إحدى الدراسات المسحية السابقة، إذا علمت أن 85% من طلاب إحدى الجامعات لديهم رخص قيادة سيارة، فما احتمال أن يكون 6 طلاب على الأقل من بين 10 تم اختيارهم عشوائيًا لديهم رخص قيادة سيارة؟
10
نوع: QUESTION_HOMEWORK
10) كرة قدم: كسب فريق لكرة القدم 75.7% من مبارياته. أوجد احتمال أن يكسب 7 مباريات على الأقل من بين مبارياته العشر القادمة.
11
نوع: QUESTION_HOMEWORK
11) رياضيون: وفق بعض الدراسات الحديثة، إذا علمت أن 80% من طلاب المدارس الثانوية يمارسون رياضة واحدة على الأقل في مدرستهم، إذا اختير 6 طلاب عشوائيًا، وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الذين يمارسون رياضة على الأقل.
12
نوع: QUESTION_HOMEWORK
12) غسيل سيارات: يقوم بعض الأشخاص بغسيل السيارات لزبائن بعض المجمعات التجارية مقابل أجر معين. وقد أفادت دراسة مسحية أن 65% من الزبائن يدفعون أكثر من الحد الأدنى لأجرة غسيل سياراتهم. ما احتمال أن يدفع أربعة على الأقل من خمسة زبائن مبلغًا أكثر من الحد الأدنى للأجر.
13
نوع: QUESTION_HOMEWORK
13) حوافز دعائية: تضع شركة للعصائر حوافز بحيث إن 30% من علب العصير تربح علبة مجانية، وقد اشترت سعاد 10 علب. مثّل بالأعمدة البيانية التوزيع الاحتمالي للتوزيع ذي الحدين إذا كان المتغير العشوائي يدل على عدد علب العصير الرابحة.
14
نوع: QUESTION_HOMEWORK
14) برامج دينية: بناءً على دراسة مسحية سابقة، إذا علمت أن 70% من الأشخاص تحت سن العشرين يتابعون برنامجًا دينيًا على الأقل في التلفاز. إذا استطلع خليل رأي 200 شخص تحت سن 20 سنة، فما احتمال أن 146 شخصًا منهم على الأقل يتابعون برنامجًا دينيًا على الأقل؟
نوع: محتوى تعليمي
إذا علمت أن نسبة النجاح في توزيع ذي حدين 60%، ويوجد 18 محاولة، فأجب:
15
نوع: QUESTION_HOMEWORK
15) ما احتمال ألا توجد أي محاولة ناجحة؟
16
نوع: QUESTION_HOMEWORK
16) ما احتمال أن توجد 12 محاولة فاشلة؟
نوع: METADATA
118 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء
نوع: NON_EDUCATIONAL
وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 16
سؤال 1: 1) تم ترقيم أوجه مكعب بالأرقام من 1 إلى 6، ثم أُلقي المكعب 10 مرات، والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الرقم 5.
الإجابة: س1: تجربة ذات حدين،
$n=10, p=1/6, q=5/6$
قيم $X: \{0, 1, \dots, 10\}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لنحلل التجربة المعطاة:
- عدد المحاولات المستقلة: $n = 10$
- احتمال النجاح (ظهور الرقم 5): $p = \frac{1}{6}$
- احتمال الفشل (عدم ظهور الرقم 5): $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
بما أن كل رمية للمكعب مستقلة عن الأخرى، ولها نتيجتان فقط (ظهور 5 أو عدم ظهوره)، فإنها تمثل تجربة ذات حدين.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن هي تجربة ذات حدين بمعلمات $n=10, p=1/6, q=5/6$ وقيم المتغير العشوائي $X$ هي: **$\{0, 1, 2, \dots, 10\}$**
سؤال 2: 2) أُلقيت قطعة نقد 20 مرة، والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الكتابة.
الإجابة: س2: تجربة ذات حدين،
$n=20, p=1/2, q=1/2$
قيم $X: \{0, 1, \dots, 20\}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لنحدد خصائص التجربة:
- عدد مرات إلقاء قطعة النقد: $n = 20$
- احتمال ظهور الكتابة في الرمية الواحدة: $p = 0.5$
- احتمال عدم ظهورها (الشعار): $q = 0.5$
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
بما أن المحاولات مستقلة ولكل محاولة نتيجتان فقط، فهي تخضع لتوزيع ذي الحدين.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن التجربة ذات حدين، حيث $n=20, p=1/2, q=1/2$ وقيم $X$ الممكنة هي: **$\{0, 1, 2, \dots, 20\}$**
سؤال 3: 3) سألت 15 شخصًا عن أعمارهم، والمتغير العشوائي X يدل على أعمار هؤلاء الأشخاص.
الإجابة: س3: ليست تجربة ذات حدين؛ لأن
النتائج ليست (نجاح/فشل) فقط.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
للحكم على تجربة بأنها "ذات حدين"، يجب أن يكون لكل محاولة نتيجتان فقط (نجاح أو فشل).
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
في هذا السؤال، المتغير $X$ يدل على "أعمار الأشخاص". العمر ليس له نتيجتان فقط، بل هو قيمة عددية متنوعة (مثل 20، 25، 30 سنة).
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
لذلك، **ليست تجربة ذات حدين** لأن النتائج ليست محصورة في نجاح وفشل.
سؤال 4: 4) صندوق به 52 كرة، منها 13 كرة حمراء، و13 كرة زرقاء، و13 كرة بيضاء، و13 كرة صفراء. سحبت 10 كرات على التوالي دون إرجاع. والمتغير العشوائي X يدل على عدد الكرات البيضاء المسحوبة.
الإجابة: س4: ليست ذات حدين (السحب دون إرجاع).
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
من شروط تجربة ذي الحدين أن تكون المحاولات مستقلة، وهذا يتحقق عادة عند السحب "مع الإرجاع".
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
بما أن السحب هنا يتم "دون إرجاع"، فإن احتمال سحب كرة بيضاء يتغير في كل مرة بناءً على ما سُحب سابقاً، مما يجعل المحاولات غير مستقلة.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بناءً على ذلك، التجربة **ليست ذات حدين** بسبب عدم استقلال المحاولات.
سؤال 5: 5) إذا كان 89% من طلاب المرحلة الثانوية في إحدى المدارس يتابعون مباريات منتخبهم الوطني، وتم اختيار 5 طلاب عشوائيًا من هذه المدرسة، وسؤالهم عما إذا كانوا يتابعون مباريات منتخبهم الوطني.
الإجابة: س5: $X \sim Bin(5, 0.89)$
المتوسط: 4.45، التباين: 0.49
التوزيع: انظر الجدول المرفق.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا:
- عدد الطلاب (المحاولات): $n = 5$
- احتمال النجاح (يتابعون): $p = 0.89$
- احتمال الفشل: $q = 1 - 0.89 = 0.11$
- **الخطوة 2 (الحسابات):**
نحسب المتوسط الحسابي ($\mu$) والتباين ($\sigma^2$):
- $\mu = n \times p = 5 \times 0.89 = 4.45$
- $\sigma^2 = n \times p \times q = 5 \times 0.89 \times 0.11 = 0.4895$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن التوزيع هو $X \sim Bin(5, 0.89)$، بمتوسط **4.45** وتباين تقريبي **0.49**.
سؤال 6: 6) بيّنت دراسة أن 26% من موظفي إحدى الشركات يستعملون الإنترنت في عملهم. إذا تم اختيار 10 موظفين من هذه الشركة عشوائيًا، وسؤالهم عما إذا كانوا يستعملون الإنترنت في عملهم.
الإجابة: س6: $X \sim Bin(10, 0.26)$
المتوسط: 2.6، التباين: 1.92
التوزيع: انظر الجدول المرفق.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات هي:
- $n = 10$
- $p = 0.26$
- $q = 1 - 0.26 = 0.74$
- **الخطوة 2 (الحسابات):**
نطبق القوانين:
- المتوسط: $\mu = 10 \times 0.26 = 2.6$
- التباين: $\sigma^2 = 10 \times 0.26 \times 0.74 = 1.924$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن التوزيع هو $X \sim Bin(10, 0.26)$، المتوسط يساوي **2.6** والتباين يساوي **1.92**.
سؤال 7: 7) أفادت دراسة إحصائية أن 65% من طلاب الجامعات الذين يمتلكون سيارات يستعملون أحزمة الأمان في أثناء قيادة سياراتهم. إذا تم اختيار 8 طلاب عشوائيًا ممن يمتلكون سيارات، وسؤالهم إن كانوا يستعملون أحزمة أمان في أثناء قيادة سياراتهم.
الإجابة: س7: $X \sim Bin(8, 0.65)$
المتوسط: 5.2، التباين: 1.82
التوزيع: انظر الجدول المرفق.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات المتوفرة:
- $n = 8$
- $p = 0.65$
- $q = 0.35$
- **الخطوة 2 (الحسابات):**
- المتوسط: $\mu = 8 \times 0.65 = 5.2$
- التباين: $\sigma^2 = 8 \times 0.65 \times 0.35 = 1.82$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن التوزيع هو $X \sim Bin(8, 0.65)$، بمتوسط **5.2** وتباين **1.82**.
سؤال 8: 8) أعمال صيفية: تبيّن في دراسة سابقة أن 90% من طلاب الصفوف العليا في مدرسة ثانوية يحصلون على أعمال صيفية، لكن منذرًا قدّر أن النسبة أقل من ذلك؛ لذا قام بدراسة مسحية شملت 400 طالب من الصفوف العليا تم اختيارهم عشوائيًا. ما احتمال ألا يكون أكثر من 348 من الطلاب المستهدفين حصلوا على عمل صيفي؟ (مثال 4)
الإجابة: س8: بالتقريب الطبيعي:
$\sigma = 6, \mu = 360$
$P(X \leq 348) \approx 0.0276$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا $n = 400$ و $p = 0.9$. بما أن $np$ و $nq$ أكبر من 5، يمكننا استخدام التقريب الطبيعي.
- $\mu = np = 400 \times 0.9 = 360$
- $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{400 \times 0.9 \times 0.1} = \sqrt{36} = 6$
- **الخطوة 2 (الحل):**
المطلوب احتمال ألا يكون أكثر من 348، أي $P(X \leq 348)$.
نحول القيمة إلى الدرجة المعيارية $Z$:
$$Z = \frac{348 - 360}{6} = -2$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
من جدول التوزيع الطبيعي، المساحة تحت المنحنى لـ $Z = -2$ هي تقريباً **0.0276**.
سؤال 9: 9) رخصة قيادة: اعتمادًا على إحدى الدراسات المسحية السابقة، إذا علمت أن 85% من طلاب إحدى الجامعات لديهم رخص قيادة سيارة، فما احتمال أن يكون 6 طلاب على الأقل من بين 10 تم اختيارهم عشوائيًا لديهم رخص قيادة سيارة؟
الإجابة: س9: $P(X \geq 6) \approx 0.9901$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
هذه تجربة ذات حدين حيث:
- $n = 10$
- $p = 0.85$
- المطلوب: $P(X \geq 6)$ أي مجموع الاحتمالات من 6 إلى 10.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نستخدم قانون احتمال ذي الحدين:
$$P(x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}$$
ونجمع القيم لـ $x = 6, 7, 8, 9, 10$.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بعد حساب المجموع، نجد أن الاحتمال التقريبي هو **0.9901**.
سؤال 10: 10) كرة قدم: كسب فريق لكرة القدم 75.7% من مبارياته. أوجد احتمال أن يكسب 7 مباريات على الأقل من بين مبارياته العشر القادمة.
الإجابة: س10: $P(X \geq 7) \approx 0.7920$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات:
- $n = 10$
- $p = 0.757$
- المطلوب: $P(X \geq 7)$ أي $P(7) + P(8) + P(9) + P(10)$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
بالتعويض في صيغة ذي الحدين لكل قيمة من القيم المطلوبة ثم جمعها.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بإجراء الحسابات، نصل إلى أن الاحتمال يساوي تقريباً **0.7920**.
سؤال 11: 11) رياضيون: وفق بعض الدراسات الحديثة، إذا علمت أن 80% من طلاب المدارس الثانوية يمارسون رياضة واحدة على الأقل في مدرستهم، إذا اختير 6 طلاب عشوائيًا، وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الذين يمارسون رياضة على الأقل.
a) فأوجد الاحتمالات المرتبطة بعدد الطلاب الذي يمارسون رياضة واحدة على الأقل.
b) ما احتمال ألا يزيد عدد الذين يمارسون الرياضة عن طالبين؟
الإجابة: س11 (a): $X \sim Bin(6, 0.8)$
$P(0) = 0.000064$
$P(6) = 0.262144$
س11 (b): $P(X \leq 2) \approx 0.0170$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا $n = 6$ و $p = 0.8$.
- **الخطوة 2 (الحل لـ a و b):**
- في (a): نحسب الاحتمالات لكل قيمة من $X=0$ إلى $X=6$. مثلاً $P(0) = (0.2)^6 = 0.000064$ و $P(6) = (0.8)^6 = 0.262144$.
- في (b): المطلوب $P(X \leq 2)$ وهو $P(0) + P(1) + P(2)$.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن احتمال ألا يزيد عن طالبين هو تقريباً **0.0170**.
سؤال 12: 12) غسيل سيارات: يقوم بعض الأشخاص بغسيل السيارات لزبائن بعض المجمعات التجارية مقابل أجر معين. وقد أفادت دراسة مسحية أن 65% من الزبائن يدفعون أكثر من الحد الأدنى لأجرة غسيل سياراتهم. ما احتمال أن يدفع أربعة على الأقل من خمسة زبائن مبلغًا أكثر من الحد الأدنى للأجر.
الإجابة: س12: $P(X \geq 4) \approx 0.4284$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات:
- $n = 5$
- $p = 0.65$
- المطلوب: $P(X \geq 4)$ أي $P(4) + P(5)$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
- $P(4) = \binom{5}{4} (0.65)^4 (0.35)^1 \approx 0.3124$
- $P(5) = \binom{5}{5} (0.65)^5 (0.35)^0 \approx 0.1160$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بجمع القيمتين: $0.3124 + 0.1160 = 0.4284$. إذن الاحتمال هو **0.4284**.
سؤال 13: 13) حوافز دعائية: تضع شركة للعصائر حوافز بحيث إن 30% من علب العصير تربح علبة مجانية، وقد اشترت سعاد 10 علب. مثّل بالأعمدة البيانية التوزيع الاحتمالي للتوزيع ذي الحدين إذا كان المتغير العشوائي يدل على عدد علب العصير الرابحة.
الإجابة: س13: $X \sim Bin(10, 0.3)$
$P(10) \approx 0 \dots P(0) \approx 0.028$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
لدينا توزيع ذي حدين بمعلمات $n = 10$ و $p = 0.3$.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
نحسب احتمالات كل قيمة لـ $X$ من 0 إلى 10. نلاحظ أن أعلى احتمال سيكون حول المتوسط $\mu = np = 3$.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
عند التمثيل بالأعمدة، سنبدأ من $P(0) \approx 0.028$ وتتناقص القيم جداً كلما اقتربنا من $P(10)$ التي تقترب من الصفر.
سؤال 14: 14) برامج دينية: بناءً على دراسة مسحية سابقة، إذا علمت أن 70% من الأشخاص تحت سن العشرين يتابعون برنامجًا دينيًا على الأقل في التلفاز. إذا استطلع خليل رأي 200 شخص تحت سن 20 سنة، فما احتمال أن 146 شخصًا منهم على الأقل يتابعون برنامجًا دينيًا على الأقل؟
الإجابة: س14: بالتقريب الطبيعي:
$\sigma \approx 6.48, \mu = 140$
$P(X \geq 146) \approx 0.1980$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا $n = 200$ و $p = 0.7$. نستخدم التقريب الطبيعي لأن العينة كبيرة.
- $\mu = 200 \times 0.7 = 140$
- $\sigma = \sqrt{200 \times 0.7 \times 0.3} = \sqrt{42} \approx 6.48$
- **الخطوة 2 (الحل):**
المطلوب $P(X \geq 146)$. نحسب الدرجة المعيارية:
$$Z = \frac{146 - 140}{6.48} \approx 0.926$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بإيجاد المساحة المقابلة لـ $Z$ في جدول التوزيع الطبيعي (المساحة لليمين)، نجد أن الاحتمال هو **0.1980**.
سؤال 15: إذا علمت أن نسبة النجاح في توزيع ذي حدين 60%، ويوجد 18 محاولة، فأجب:
15) ما احتمال ألا توجد أي محاولة ناجحة؟
الإجابة: س15:
$P(X = 0) \approx 6.87 \times 10^{-8}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات:
- $n = 18$
- $p = 0.6$
- المطلوب: $P(X = 0)$ (لا توجد أي محاولة ناجحة).
- **الخطوة 2 (الحل):**
نطبق القانون مباشرة:
$$P(0) = \binom{18}{0} (0.6)^0 (0.4)^{18} = (0.4)^{18}$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بالحساب، القيمة صغيرة جداً وتساوي تقريباً **$6.87 \times 10^{-8}$**.
سؤال 16: 16) ما احتمال أن توجد 12 محاولة فاشلة؟
الإجابة: س16: $P(\text{فشل} = 12) \approx 0.01453$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
المطلوب احتمال وجود 12 محاولة فاشلة. في تجربة مكونة من 18 محاولة، 12 فشل تعني وجود $18 - 12 = 6$ نجاحات.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نحسب احتمال $P(X = 6)$ حيث $n=18$ و $p=0.6$:
$$P(6) = \binom{18}{6} (0.6)^6 (0.4)^{12}$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بعد إجراء العمليات الحسابية، نجد أن الاحتمال هو تقريباً **0.01453**.