📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: QUESTION_HOMEWORK
17) تنس طاولة: كسب لاعب %85 من مبارياته التي لعبها خلال مسيرته الرياضية. أوجد الاحتمالات الآتية:
نوع: محتوى تعليمي
لكل من التوزيعات ذات الحدين الآتية، يدل الرمز n على عدد المحاولات، ويدل الرمز p على احتمال نجاح كل محاولة. أوجد احتمال الحصول على X من النجاحات.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
18) n = 8, p = 0.3, X ≥ 2
نوع: QUESTION_HOMEWORK
19) n = 10, p = 0.2, X > 2
نوع: QUESTION_HOMEWORK
20) n = 6, p = 0.6, X ≤ 4
نوع: QUESTION_HOMEWORK
21) n = 9, p = 0.25, X ≤ 5
نوع: QUESTION_HOMEWORK
22) n = 10, p = 0.75, X ≥ 8
نوع: QUESTION_HOMEWORK
23) n = 12, p = 0.1, X < 3
نوع: محتوى تعليمي
مسائل مهارات التفكير العليا
نوع: QUESTION_HOMEWORK
24) تحدٍ: في تقريب التوزيع ذي الحدين إلى التوزيع الطبيعي، إذا علمت أن احتمال وجود 66 - 60 نجاحًا يساوي %34، وكان x̄ = 60 ، واحتمال النجاح %36، فكم كان عدد المحاولات؟
نوع: QUESTION_HOMEWORK
25) تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا. وبرّر إجابتك. «من الأفضل أن تجد احتمال الفشل وتطرحه من 1 لتجد احتمال النجاح».
نوع: QUESTION_HOMEWORK
26) مسألة مفتوحة: صف حالة من أنشطة المدرسة أو المجتمع ينطبق عليها التوزيع ذو الحدين، وحدد عدد المحاولات المستقلة (n) ، وكلاً من: احتمال النجاح واحتمال الفشل في المحاولة الواحدة.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
27) اكتب: فسّر العلاقة بين التجربة ذات الحدين والتوزيع ذي الحدين.
نوع: محتوى تعليمي
مراجعة تراكمية
نوع: محتوى تعليمي
حدد ما إذا كانت المعادلة في كل مما يأتي تمثل دائرة، أو قطعًا مكافئًا، أو قطعًا ناقصًا، أو قطعًا زائدًا، دون كتابتها على الصورة القياسية. وبرّر إجابتك: (مهارة سابقة)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
28) x² + 4y² = 100
نوع: QUESTION_HOMEWORK
29) 5y² - 10x = 0
نوع: QUESTION_HOMEWORK
30) x² + y² - 3x + 4y - 16 = 0
نوع: QUESTION_HOMEWORK
31) سرعة: وضع نظام لمراقبة سرعة السيارات وتسجيلها في شارع قريب من إحدى المدارس، إذا توزعت هذه السرعات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 37mi/h، وانحراف معياري 4mi/h، فكم سيارة كانت تسير بسرعة تقل عن 33mi/h في عينة حجمها 425 سيارة؟ (الدرس 5-7)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
32) دراسة جامعية: أوضح استطلاع في إحدى المدارس الثانوية أن %88 من الطلاب يريدون إكمال دراستهم الجامعية. وقد قام نواف باستطلاع آراء 150 طالبًا تم اختيارهم عشوائيًا. ما احتمال أن يكون في العينة 132 طالبًا على الأقل يرغبون في استكمال دراستهم الجامعية؟ (الدرس 5-7)
نوع: محتوى تعليمي
تدريب على اختبار
نوع: QUESTION_HOMEWORK
33) اختبار: تقدّمت سمر لاختبار من عشرة أسئلة من نوع الاختيار من متعدد لكل منها أربعة بدائل، لكنها أجابت عن الأسئلة من خلال التخمين (دون معرفة علمية بالموضوع)، ما احتمال أن تحصل على:
نوع: QUESTION_HOMEWORK
34) إذا كان احتمال نجاح عملية جراحية %90 ، فما احتمال نجاح عملية واحدة على الأقل إذا أُجريت العملية ثلاث مرات؟
📄 النص الكامل للصفحة
17) تنس طاولة: كسب لاعب %85 من مبارياته التي لعبها خلال مسيرته الرياضية. أوجد الاحتمالات الآتية:
a. أن يكسب 3 مباريات من بين 5 مباريات قادمة.
b. أن يكسب مباراتين على الأقل من بين المباريات الخمس القادمة.
c. أن يخسر مباراة واحدة على الأقل في مبارياته الخمس القادمة.
لكل من التوزيعات ذات الحدين الآتية، يدل الرمز n على عدد المحاولات، ويدل الرمز p على احتمال نجاح كل محاولة. أوجد احتمال الحصول على X من النجاحات.
18) n = 8, p = 0.3, X ≥ 2
19) n = 10, p = 0.2, X > 2
20) n = 6, p = 0.6, X ≤ 4
21) n = 9, p = 0.25, X ≤ 5
22) n = 10, p = 0.75, X ≥ 8
23) n = 12, p = 0.1, X < 3
مسائل مهارات التفكير العليا
24) تحدٍ: في تقريب التوزيع ذي الحدين إلى التوزيع الطبيعي، إذا علمت أن احتمال وجود 66 - 60 نجاحًا يساوي %34، وكان x̄ = 60 ، واحتمال النجاح %36، فكم كان عدد المحاولات؟
25) تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا. وبرّر إجابتك. «من الأفضل أن تجد احتمال الفشل وتطرحه من 1 لتجد احتمال النجاح».
26) مسألة مفتوحة: صف حالة من أنشطة المدرسة أو المجتمع ينطبق عليها التوزيع ذو الحدين، وحدد عدد المحاولات المستقلة (n) ، وكلاً من: احتمال النجاح واحتمال الفشل في المحاولة الواحدة.
27) اكتب: فسّر العلاقة بين التجربة ذات الحدين والتوزيع ذي الحدين.
مراجعة تراكمية
حدد ما إذا كانت المعادلة في كل مما يأتي تمثل دائرة، أو قطعًا مكافئًا، أو قطعًا ناقصًا، أو قطعًا زائدًا، دون كتابتها على الصورة القياسية. وبرّر إجابتك: (مهارة سابقة)
28) x² + 4y² = 100
29) 5y² - 10x = 0
30) x² + y² - 3x + 4y - 16 = 0
31) سرعة: وضع نظام لمراقبة سرعة السيارات وتسجيلها في شارع قريب من إحدى المدارس، إذا توزعت هذه السرعات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 37mi/h، وانحراف معياري 4mi/h، فكم سيارة كانت تسير بسرعة تقل عن 33mi/h في عينة حجمها 425 سيارة؟ (الدرس 5-7)
32) دراسة جامعية: أوضح استطلاع في إحدى المدارس الثانوية أن %88 من الطلاب يريدون إكمال دراستهم الجامعية. وقد قام نواف باستطلاع آراء 150 طالبًا تم اختيارهم عشوائيًا. ما احتمال أن يكون في العينة 132 طالبًا على الأقل يرغبون في استكمال دراستهم الجامعية؟ (الدرس 5-7)
تدريب على اختبار
33) اختبار: تقدّمت سمر لاختبار من عشرة أسئلة من نوع الاختيار من متعدد لكل منها أربعة بدائل، لكنها أجابت عن الأسئلة من خلال التخمين (دون معرفة علمية بالموضوع)، ما احتمال أن تحصل على:
a. 7 أسئلة صحيحة الإجابة؟
b. 9 أسئلة صحيحة الإجابة؟
c. 0 سؤال صحيح الإجابة؟
d. 3 أسئلة صحيحة الإجابة؟
34) إذا كان احتمال نجاح عملية جراحية %90 ، فما احتمال نجاح عملية واحدة على الأقل إذا أُجريت العملية ثلاث مرات؟
A) 0.001
B) 0.1
C) 0.9
D) 0.999
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 18
سؤال 17: 17) تنس طاولة: كسب لاعب %85 من مبارياته التي لعبها خلال مسيرته الرياضية. أوجد الاحتمالات الآتية:
a) أن يكسب 3 مباريات من بين 5 مباريات قادمة.
b) أن يكسب مباراتين على الأقل من بين المباريات الخمس القادمة.
c) أن يخسر مباراة واحدة على الأقل في مبارياته الخمس القادمة.
الإجابة: س17: $X \sim Bin(5, 0.85)$
$P(X=3) \approx 0.1382$ (a)
$P(X \geq 2) \approx 0.9978$ (b)
$P(X < 5) \approx 0.5563$ (c)
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا تجربة ذات حدين حيث:
- عدد المحاولات (المباريات): $n = 5$
- احتمال النجاح (الفوز): $p = 0.85$
- احتمال الفشل (الخسارة): $q = 1 - 0.85 = 0.15$
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم صيغة احتمال ذات الحدين:
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
a) لـ 3 مباريات: $P(3) = \binom{5}{3} (0.85)^3 (0.15)^2 \approx 0.1382$
b) مباراتين على الأقل: $P(X \geq 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) \approx 0.9978$
c) خسارة مباراة واحدة على الأقل: تعني عدم الفوز في جميع المباريات الخمس، أي $1 - P(5) = 1 - (0.85)^5 \approx 0.5563$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الاحتمالات هي: a) **0.1382**، b) **0.9978**، c) **0.5563**
سؤال 18: 18) $n = 8, p = 0.3, X \geq 2$
الإجابة: س18:
$P(X \geq 2) \approx 0.7447$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات هي:
- $n = 8$
- $p = 0.3$
- $q = 0.7$
- المطلوب إيجاد $P(X \geq 2)$
- **الخطوة 2 (القانون):**
من الأسهل استخدام متممة الاحتمال:
$$P(X \geq 2) = 1 - [P(0) + P(1)]$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
نحسب $P(0)$ و $P(1)$:
- $P(0) = \binom{8}{0} (0.3)^0 (0.7)^8 \approx 0.0576$
- $P(1) = \binom{8}{1} (0.3)^1 (0.7)^7 \approx 0.1977$
بالتعويض: $1 - (0.0576 + 0.1977) = 1 - 0.2553 = 0.7447$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الاحتمال هو: **0.7447**
سؤال 19: 19) $n = 10, p = 0.2, X > 2$
الإجابة: س19:
$P(X > 2) \approx 0.3222$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات:
- $n = 10$
- $p = 0.2$
- $q = 0.8$
- المطلوب $P(X > 2)$
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم المتممة لتسهيل الحساب:
$$P(X > 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
بحساب الاحتمالات:
- $P(0) = (0.8)^{10} \approx 0.1074$
- $P(1) = 10(0.2)(0.8)^9 \approx 0.2684$
- $P(2) = 45(0.2)^2(0.8)^8 \approx 0.3020$
المجموع $\approx 0.6778$. إذن: $1 - 0.6778 = 0.3222$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الاحتمال هو: **0.3222**
سؤال 20: 20) $n = 6, p = 0.6, X \leq 4$
الإجابة: س20:
$P(X \leq 4) \approx 0.7667$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات:
- $n = 6$
- $p = 0.6$
- $q = 0.4$
- المطلوب $P(X \leq 4)$
- **الخطوة 2 (القانون):**
يمكننا حسابها كـ $1 - [P(5) + P(6)]$ لأنها أقصر في الخطوات.
- **الخطوة 3 (الحل):**
- $P(5) = \binom{6}{5} (0.6)^5 (0.4)^1 \approx 0.1866$
- $P(6) = \binom{6}{6} (0.6)^6 (0.4)^0 \approx 0.0467$
المجموع $\approx 0.2333$. إذن: $1 - 0.2333 = 0.7667$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الاحتمال هو: **0.7667**
سؤال 21: 21) $n = 9, p = 0.25, X \leq 5$
الإجابة: س21:
$P(X \leq 5) \approx 0.9900$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات:
- $n = 9$
- $p = 0.25$
- $q = 0.75$
- المطلوب $P(X \leq 5)$
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم المتممة: $1 - [P(6) + P(7) + P(8) + P(9)]$.
- **الخطوة 3 (الحل):**
بما أن احتمال النجاح $0.25$ صغير، فمن المتوقع أن تكون معظم الاحتمالات متركزة في القيم الصغيرة لـ $X$. بحساب مجموع الاحتمالات من 0 إلى 5 نجد أنها تغطي معظم المساحة تحت المنحنى.
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بعد الحساب الدقيق، نجد أن الاحتمال هو: **0.9900**
سؤال 22: 22) $n = 10, p = 0.75, X \geq 8$
الإجابة: س22:
$P(X \geq 8) \approx 0.5256$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات:
- $n = 10$
- $p = 0.75$
- $q = 0.25$
- المطلوب $P(X \geq 8)$
- **الخطوة 2 (القانون):**
نجمع الاحتمالات للقيم 8، 9، 10:
$$P(X \geq 8) = P(8) + P(9) + P(10)$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
- $P(8) = \binom{10}{8} (0.75)^8 (0.25)^2 \approx 0.2816$
- $P(9) = \binom{10}{9} (0.75)^9 (0.25)^1 \approx 0.1877$
- $P(10) = \binom{10}{10} (0.75)^{10} (0.25)^0 \approx 0.0563$
المجموع: $0.2816 + 0.1877 + 0.0563 = 0.5256$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الاحتمال هو: **0.5256**
سؤال 23: 23) $n = 12, p = 0.1, X < 3$
الإجابة: س23: $P(X < 3) \approx 0.8891$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المعطيات:
- $n = 12$
- $p = 0.1$
- $q = 0.9$
- المطلوب $P(X < 3)$
- **الخطوة 2 (القانون):**
نحسب مجموع الاحتمالات لـ $X=0, 1, 2$:
$$P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2)$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
- $P(0) = (0.9)^{12} \approx 0.2824$
- $P(1) = 12(0.1)(0.9)^{11} \approx 0.3766$
- $P(2) = 66(0.1)^2(0.9)^{10} \approx 0.2301$
المجموع: $0.2824 + 0.3766 + 0.2301 = 0.8891$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الاحتمال هو: **0.8891**
سؤال 24: 24) تحدٍ: في تقريب التوزيع ذي الحدين إلى التوزيع الطبيعي، إذا علمت أن احتمال وجود 66 - 60 نجاحًا يساوي %34، وكان x̄ = 60 ، واحتمال النجاح %36، فكم كان عدد المحاولات؟
الإجابة: س24:
$\bar{x} = np \Rightarrow 60 = n(0.36) \Rightarrow n \approx 167$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا:
- المتوسط $\bar{x} = 60$
- احتمال النجاح $p = 0.36$
- المطلوب إيجاد عدد المحاولات $n$.
- **الخطوة 2 (القانون):**
في التوزيع ذي الحدين، يرتبط المتوسط بعدد المحاولات واحتمال النجاح بالعلاقة:
$$\bar{x} = n \times p$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض عن القيم المعروفة:
$$60 = n \times 0.36$$
لإيجاد $n$ نقسم الطرفين على $0.36$:
$$n = \frac{60}{0.36} \approx 166.67$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بما أن عدد المحاولات يجب أن يكون عدداً صحيحاً، فإن $n$ تقريباً هو **167**
سؤال 25: 25) تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا. وبرّر إجابتك. «من الأفضل أن تجد احتمال الفشل وتطرحه من 1 لتجد احتمال النجاح».
الإجابة: س25: صحيحة أحياناً (حسب
سهولة الحساب)
خطوات الحل:
- **الشرح:**
هذه العبارة تعتبر صحيحة في حالات معينة وليست دائماً. الفكرة تعتمد على عدد الحالات المطلوبة؛ فإذا كان المطلوب حساب احتمال نجاحات كثيرة (مثلاً $X \geq 1$ في تجربة من 10 محاولات)، فمن الأسهل حساب احتمال الفشل الوحيد ($X=0$) وطرحه من 1.
أما إذا كان المطلوب احتمال نجاح واحد فقط، فمن الأسهل حسابه مباشرة بدلاً من حساب احتمالات الفشل المتعددة وطرحها.
ولذلك الإجابة هي: **صحيحة أحياناً (حسب سهولة الحساب وطول الخطوات)**
سؤال 26: 26) مسألة مفتوحة: صف حالة من أنشطة المدرسة أو المجتمع ينطبق عليها التوزيع ذو الحدين، وحدد عدد المحاولات المستقلة (n) ، وكلاً من: احتمال النجاح واحتمال الفشل في المحاولة الواحدة.
الإجابة: س26: رمية حرة 20 مرة، $p = 0.6, q = 0.4$
خطوات الحل:
- **الشرح:**
يمكننا اختيار نشاط رياضي مدرسي مثل رمي كرة السلة. لنفترض أن لاعباً يرمي 20 رمية حرة.
في هذه الحالة:
- عدد المحاولات المستقلة $n = 20$.
- احتمال النجاح (تسجيل هدف) $p = 0.6$ (مثلاً).
- احتمال الفشل (عدم التسجيل) $q = 1 - 0.6 = 0.4$.
ولذلك الإجابة هي: **رمية حرة 20 مرة، $p = 0.6, q = 0.4$**
سؤال 27: 27) اكتب: فسّر العلاقة بين التجربة ذات الحدين والتوزيع ذي الحدين.
الإجابة: س27: تكرار $n$ محاولة مستقلة (نجاح/فشل) باحتمال $p$، و
$X$ عدد النجاحات.
خطوات الحل:
- **الشرح:**
العلاقة تكمن في أن التجربة ذات الحدين هي الأساس الذي يُبنى عليه التوزيع. التجربة هي القيام بـ $n$ من المحاولات المستقلة التي لها نتيجتان فقط (نجاح أو فشل) باحتمال ثابت $p$.
أما التوزيع ذو الحدين فهو التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي $X$ الذي يمثل عدد مرات النجاح في تلك التجربة.
ولذلك الإجابة هي: **التوزيع ذو الحدين هو وصف لاحتمالات عدد النجاحات $X$ الناتجة عن تكرار تجربة ذات حدين $n$ من المرات.**
سؤال 28: 28) $x^2 + 4y^2 = 100$
الإجابة: س28: قطع ناقص
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
ننظر إلى معاملي $x^2$ و $y^2$ في المعادلة $x^2 + 4y^2 = 100$.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
نلاحظ أن المعاملين مختلفان (1 و 4) ولكنهما يمتلكان نفس الإشارة (موجبة). هذا التكوين يميز القطع الناقص حيث تكون المسافة من المركز إلى الرؤوس مختلفة في الاتجاهين.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
لذلك الإجابة هي: **قطع ناقص**
سؤال 29: 29) $5y^2 - 10x = 0$
الإجابة: س29: قطع مكافئ
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
نحلل المتغيرات المربعة في المعادلة $5y^2 - 10x = 0$.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
نلاحظ وجود متغير واحد فقط مرفوع للقوة الثانية وهو ($y^2$)، بينما المتغير $x$ من الدرجة الأولى. عندما يظهر تربيع لمتغير واحد فقط، فإن المنحنى يمثل قطعاً مكافئاً.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
لذلك الإجابة هي: **قطع مكافئ**
سؤال 30: 30) $x^2 + y^2 - 3x + 4y - 16 = 0$
الإجابة: س30: دائرة
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
ننظر إلى معاملي $x^2$ و $y^2$ في المعادلة $x^2 + y^2 - 3x + 4y - 16 = 0$.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
نلاحظ أن معامل $x^2$ هو 1 ومعامل $y^2$ هو 1 أيضاً. عندما يتساوى المعاملان في القيمة والإشارة، فإن الشكل الناتج يكون دائرة.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
لذلك الإجابة هي: **دائرة**
سؤال 31: 31) سرعة: وضع نظام لمراقبة سرعة السيارات وتسجيلها في شارع قريب من إحدى المدارس، إذا توزعت هذه السرعات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 37mi/h، وانحراف معياري 4mi/h، فكم سيارة كانت تسير بسرعة تقل عن 33mi/h في عينة حجمها 425 سيارة؟
الإجابة: س31: $z = -1 \Rightarrow P \approx 0.1587$
العدد $\approx 67$ سيارة
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
- المتوسط $\mu = 37$
- الانحراف المعياري $\sigma = 4$
- حجم العينة $n = 425$
- القيمة المطلوبة: أقل من 33.
- **الخطوة 2 (القانون):**
نحسب الدرجة المعيارية $z$:
$$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{33 - 37}{4} = -1$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
من خصائص التوزيع الطبيعي، المساحة يسار $z = -1$ (أو باستخدام قاعدة 68-95-99.7) تساوي تقريباً $15.87\%$.
نضرب النسبة في حجم العينة: $0.1587 \times 425 \approx 67.4$.
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن عدد السيارات تقريباً هو **67 سيارة**
سؤال 32: 32) دراسة جامعية: أوضح استطلاع في إحدى المدارس الثانوية أن %88 من الطلاب يريدون إكمال دراستهم الجامعية. وقد قام نواف باستطلاع آراء 150 طالبًا تم اختيارهم عشوائيًا. ما احتمال أن يكون في العينة 132 طالبًا على الأقل يرغبون في استكمال دراستهم الجامعية؟
الإجابة: س32: $X \sim Bin(150, 0.88)$
$P(X \geq 132) \approx 0.56$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
- $n = 150$
- $p = 0.88$
- المطلوب $P(X \geq 132)$
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
بما أن $n$ كبيرة، يمكن استخدام تقريب التوزيع الطبيعي أو حسابها كاحتمال ذي حدين. المتوسط هنا هو $np = 150 \times 0.88 = 132$.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بما أن القيمة المطلوبة هي عند المتوسط تماماً ($X \geq 132$)، ففي التوزيع الطبيعي التقريبي تكون المساحة يمين المتوسط هي $0.50$. ومع أخذ تصحيح الاستمرارية أو الحساب الدقيق لذي الحدين، تقترب القيمة من $0.56$.
لذلك الإجابة هي: **0.56**
سؤال 33: 33) اختبار: تقدّمت سمر لاختبار من عشرة أسئلة من نوع الاختيار من متعدد لكل منها أربعة بدائل، لكنها أجابت عن الأسئلة من خلال التخمين (دون معرفة علمية بالموضوع)، ما احتمال أن تحصل على:
a) 7 أسئلة صحيحة الإجابة؟
b) 9 أسئلة صحيحة الإجابة؟
c) 0 سؤال صحيح الإجابة؟
d) 3 أسئلة صحيحة الإجابة؟
الإجابة: س33: $X \sim Bin(10, 0.25)$
0.0031 (a)
0.0000286 (b)
0.0563 (c)
0.2503 (d)
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
- عدد الأسئلة $n = 10$
- احتمال التخمين الصحيح (واحد من أربعة) $p = 0.25$
- احتمال الخطأ $q = 0.75$
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم قانون ذات الحدين: $P(X=k) = \binom{10}{k} (0.25)^k (0.75)^{10-k}$
- **الخطوة 3 (الحل):**
a) لـ 7 أسئلة: $P(7) = \binom{10}{7} (0.25)^7 (0.75)^3 \approx 0.0031$
b) لـ 9 أسئلة: $P(9) = \binom{10}{9} (0.25)^9 (0.75)^1 \approx 0.0000286$
c) لـ 0 سؤال: $P(0) = (0.75)^{10} \approx 0.0563$
d) لـ 3 أسئلة: $P(3) = \binom{10}{3} (0.25)^3 (0.75)^7 \approx 0.2503$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
الاحتمالات هي: a) **0.0031**، b) **0.0000286**، c) **0.0563**، d) **0.2503**
سؤال 34: 34) إذا كان احتمال نجاح عملية جراحية %90 ، فما احتمال نجاح عملية واحدة على الأقل إذا أُجريت العملية ثلاث مرات؟
A) 0.001
B) 0.1
C) 0.9
D) 0.999
الإجابة: س34: $1 - (0.1)^3 = 0.999$
الإجابة: (D)
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
- احتمال النجاح $p = 0.9$
- احتمال الفشل $q = 0.1$
- عدد العمليات $n = 3$
- المطلوب: نجاح عملية واحدة على الأقل ($X \geq 1$).
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم متممة الفشل التام (عدم نجاح أي عملية):
$$P(X \geq 1) = 1 - P(0)$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
احتمال فشل العمليات الثلاث معاً هو:
$$P(0) = (0.1)^3 = 0.001$$
إذن احتمال نجاح واحدة على الأقل هو:
$$1 - 0.001 = 0.999$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بمقارنة النتيجة بالخيارات، نجد أن الإجابة الصحيحة هي **(D) 0.999**