مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 4

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

الفصل 7 دليل الدراسة والمراجعة

نوع: محتوى تعليمي

7-3 الاحتمال المشروط (الصفحات 97 - 100)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

13) كرة طائرة: يحصل طارق على نقطة في 65% من مرات قيامه بضربة الإرسال، ما احتمال ألا يحصل على نقطة في ضربة الإرسال الثانية علمًا بأنه حصل على نقطة في ضربة الإرسال الأولى؟

نوع: QUESTION_HOMEWORK

14) في الجدول أدناه إذا اختير طالب عشوائيًا فأجب عما يأتي:

مثال 4

نوع: محتوى تعليمي

دراسة: أوجد احتمال أن يأخذ طالب اختير عشوائيًا حصة إضافية علمًا بأنه طالب جديد. الحل: قانون الاحتمال المشروط: P(E | N) = P(E ∩ N) / P(N) P(E ∩ N) = 126 / 380 , P(N) = 210 / 380 = (126 / 380) ÷ (210 / 380) = 126 / 210 = 3 / 5 بسط

نوع: محتوى تعليمي

7-4 الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية (الصفحات 102 - 107)

نوع: محتوى تعليمي

قرعة الألعاب: خلط يوسف بطاقات الألعاب جميعها في صندوق، حيث تشكلت البطاقات من 12 بطاقة لكرة القدم، 8 بطاقات لكرة الطائرة، 5 بطاقات لكرة السلة وجميعها متماثلة. إذا تم اختيار 3 بطاقات بصورة عشوائية، فأوجد احتمال كل من:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

15) P(3 بطاقات للكرة الطائرة)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

16) P(3 بطاقات لكرة القدم)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

17) P(بطاقة لكرة السلة وبطاقتان للكرة الطائرة)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

18) P(بطاقتان لكرة السلة وبطاقة لكرة القدم)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

19) بطاقات: مجموعة بطاقات مرقمة مكونة من 3 بطاقات عليها الرقم 9، 4 عليها العدد 10، 5 عليها الرقم 6، 4 عليها الرقم 5، وبطاقتين على كل منهما الرقم 2، وبطاقة عليها الرقم 3. إذا سحبت بطاقة عشوائيًا من مجموعة البطاقات، فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة؟

مثال 5

نوع: محتوى تعليمي

لدى حمزة 5 كتب في حقيبته، هي الرياضيات والكيمياء واللغة الإنجليزية واللغة العربية والتاريخ. إذا قام بترتيبها على رف في صف واحد عشوائيًا، فما احتمال أن تأتي كتب اللغة الإنجليزية واللغة العربية والرياضيات في أقصى اليسار؟ الخطوة 1 حدد عدد النجاحات. مكان الكتب الثلاثة إلى اليسار: 3P3 أمكنة الكتابين الآخرين: 2P2 استعمل التباديل ومبدأ العد الأساسي لإيجاد s. s = 3P3 * 2P2 = 3! * 2! = 12 الخطوة 2 أوجد عدد عناصر فضاء العينة f + s. s + f = 120 5P5 = 5! = 120 وتمثل عدد الترتيبات الممكنة للكتب الخمسة على الرف. الخطوة 3 أوجد الاحتمال. احتمال النجاح: P(S) = s / (s + f) = 12 / 120 = 0.1 احتمال وضع كتب اللغة الإنجليزية واللغة العربية والرياضيات في أقصى اليسار يساوي 0.1 أو 10%.

🔍 عناصر مرئية

📄 النص الكامل للصفحة

الفصل 7 دليل الدراسة والمراجعة 7-3 الاحتمال المشروط (الصفحات 97 - 100) 13) كرة طائرة: يحصل طارق على نقطة في 65% من مرات قيامه بضربة الإرسال، ما احتمال ألا يحصل على نقطة في ضربة الإرسال الثانية علمًا بأنه حصل على نقطة في ضربة الإرسال الأولى؟ 14) في الجدول أدناه إذا اختير طالب عشوائيًا فأجب عما يأتي: a. ما احتمال أن يكون الطالب من الأول الثانوي علمًا بأنه يلبس نظارات؟ b. ما احتمال أن يكون من الذين لا يلبسون النظارات علمًا بأنه من الثاني الثانوي؟ --- SECTION: مثال 4 --- دراسة: أوجد احتمال أن يأخذ طالب اختير عشوائيًا حصة إضافية علمًا بأنه طالب جديد. الحل: قانون الاحتمال المشروط: P(E | N) = P(E ∩ N) / P(N) P(E ∩ N) = 126 / 380 , P(N) = 210 / 380 = (126 / 380) ÷ (210 / 380) = 126 / 210 = 3 / 5 بسط 7-4 الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية (الصفحات 102 - 107) قرعة الألعاب: خلط يوسف بطاقات الألعاب جميعها في صندوق، حيث تشكلت البطاقات من 12 بطاقة لكرة القدم، 8 بطاقات لكرة الطائرة، 5 بطاقات لكرة السلة وجميعها متماثلة. إذا تم اختيار 3 بطاقات بصورة عشوائية، فأوجد احتمال كل من: 15) P(3 بطاقات للكرة الطائرة) 16) P(3 بطاقات لكرة القدم) 17) P(بطاقة لكرة السلة وبطاقتان للكرة الطائرة) 18) P(بطاقتان لكرة السلة وبطاقة لكرة القدم) 19) بطاقات: مجموعة بطاقات مرقمة مكونة من 3 بطاقات عليها الرقم 9، 4 عليها العدد 10، 5 عليها الرقم 6، 4 عليها الرقم 5، وبطاقتين على كل منهما الرقم 2، وبطاقة عليها الرقم 3. إذا سحبت بطاقة عشوائيًا من مجموعة البطاقات، فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة؟ --- SECTION: مثال 5 --- لدى حمزة 5 كتب في حقيبته، هي الرياضيات والكيمياء واللغة الإنجليزية واللغة العربية والتاريخ. إذا قام بترتيبها على رف في صف واحد عشوائيًا، فما احتمال أن تأتي كتب اللغة الإنجليزية واللغة العربية والرياضيات في أقصى اليسار؟ الخطوة 1 حدد عدد النجاحات. مكان الكتب الثلاثة إلى اليسار: 3P3 أمكنة الكتابين الآخرين: 2P2 استعمل التباديل ومبدأ العد الأساسي لإيجاد s. s = 3P3 * 2P2 = 3! * 2! = 12 الخطوة 2 أوجد عدد عناصر فضاء العينة f + s. s + f = 120 5P5 = 5! = 120 وتمثل عدد الترتيبات الممكنة للكتب الخمسة على الرف. الخطوة 3 أوجد الاحتمال. احتمال النجاح: P(S) = s / (s + f) = 12 / 120 = 0.1 احتمال وضع كتب اللغة الإنجليزية واللغة العربية والرياضيات في أقصى اليسار يساوي 0.1 أو 10%. --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: | يلبس نظارات | لا يلبس نظارات Rows: Row 1: الأول الثانوي | 6 | 15 Row 2: الثاني الثانوي | 5 | 22 Context: بيانات إحصائية لطلاب في مرحلتين دراسيتين وتصنيفهم حسب لبس النظارات لحساب الاحتمال المشروط. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: | يأخذ حصصاً إضافية (E) | لا يأخذ حصصاً إضافية (X) Rows: Row 1: طالب جديد (N) | 126 | 84 Row 2: طالب قديم (O) | 98 | 72 Context: بيانات إحصائية لطلاب (جدد وقدامى) وتصنيفهم حسب أخذ حصص إضافية لحساب الاحتمال المشروط.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 7

سؤال 13: 13) كرة طائرة: يحصل طارق على نقطة في 65% من مرات قيامه بضربة الإرسال، ما احتمال ألا يحصل على نقطة في ضربة الإرسال الثانية علمًا بأنه حصل على نقطة في ضربة الإرسال الأولى؟

الإجابة: س13 35% أو 0.35

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد المعلومات المعطاة: - احتمال الحصول على نقطة (النجاح) هو 65%، أي $0.65$. - المطلوب هو احتمال "ألا" يحصل على نقطة (الفشل) في المحاولة الثانية، علماً بأنه نجح في الأولى.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن المحاولات مستقلة، فإن احتمال عدم النجاح هو المتمم لاحتمال النجاح: $$P(\text{not A}) = 1 - P(A)$$ أو $$100\% - P(A)\%$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نقوم بطرح نسبة النجاح من النسبة الكلية: $$100\% - 65\% = 35\%$$ أو بالعشري: $$1 - 0.65 = 0.35$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن احتمال ألا يحصل على نقطة هو: **35% أو 0.35**

سؤال 14: 14) في الجدول أدناه إذا اختير طالب عشوائيًا فأجب عما يأتي: a) ما احتمال أن يكون الطالب من الأول الثانوي علمًا بأنه يلبس نظارات؟ b) ما احتمال أن يكون من الذين لا يلبسون النظارات علمًا بأنه من الثاني الثانوي؟

الإجابة: س14: (a) $P(\text{نظارات | الأول}) = \frac{6}{11}$ (b) $P(\text{الثاني | لا نظارات}) = \frac{22}{27}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** في مسائل الجداول التكرارية، نعتمد على تحديد "المعطى" (الشرط) لتحديد المقام، والتقاطع لتحديد البسط. - في الفقرة (a): الشرط هو "يلبس نظارات". - في الفقرة (b): الشرط هو "من الثاني الثانوي".
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الاحتمال المشروط: $$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** (a) عدد الذين يلبسون نظارات (المقام) هو 11، وعدد طلاب الأول الثانوي منهم (البسط) هو 6. إذن: $$\frac{6}{11}$$ (b) عدد طلاب الثاني الثانوي (المقام) هو 27، وعدد الذين لا يلبسون نظارات منهم (البسط) هو 22. إذن: $$\frac{22}{27}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابات هي: **(a) 6/11** و **(b) 22/27**

سؤال 15: قرعة الألعاب: خلط يوسف بطاقات الألعاب جميعها في صندوق، حيث تشكلت البطاقات من 12 بطاقة لكرة القدم، 8 بطاقات لكرة الطائرة، 5 بطاقات لكرة السلة وجميعها متماثلة. إذا تم اختيار 3 بطاقات بصورة عشوائية، فأوجد احتمال كل من: 15) P(3 بطاقات للكرة الطائرة)

الإجابة: س15: $\frac{\binom{8}{3}}{\binom{25}{3}} = \frac{7}{325}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نحسب العدد الكلي للبطاقات: $$12 + 8 + 5 = 25$$ بطاقة. المطلوب اختيار 3 بطاقات للكرة الطائرة من أصل 8 بطاقات طائرة متوفرة.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم التوافيق لأن الترتيب غير مهم: $$P(A) = \frac{\binom{r}{k}}{\binom{n}{k}}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** عدد طرق اختيار 3 بطاقات طائرة من 8 هو $\binom{8}{3}$. عدد طرق اختيار 3 بطاقات من الكل (25) هو $\binom{25}{3}$. بالحساب: $$\frac{56}{2300} = \frac{7}{325}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمال هو: **7/325**

سؤال 16: قرعة الألعاب: خلط يوسف بطاقات الألعاب جميعها في صندوق، حيث تشكلت البطاقات من 12 بطاقة لكرة القدم، 8 بطاقات لكرة الطائرة، 5 بطاقات لكرة السلة وجميعها متماثلة. إذا تم اختيار 3 بطاقات بصورة عشوائية، فأوجد احتمال كل من: 16) P(3 بطاقات لكرة القدم)

الإجابة: س16: $\frac{\binom{12}{3}}{\binom{25}{3}} = \frac{11}{130}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** العدد الكلي للبطاقات هو 25. المطلوب اختيار 3 بطاقات لكرة القدم من أصل 12 بطاقة قدم متوفرة.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الاحتمال باستخدام التوافيق: $$P = \frac{\text{عدد نواتج الحدث}}{\text{عدد النواتج الممكنة}}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب التوافيق: - اختيار 3 من 12 قدم: $\binom{12}{3} = 220$ - اختيار 3 من الكل 25: $\binom{25}{3} = 2300$ الاحتمال = $$\frac{220}{2300} = \frac{11}{130}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمال هو: **11/130**

سؤال 17: قرعة الألعاب: خلط يوسف بطاقات الألعاب جميعها في صندوق، حيث تشكلت البطاقات من 12 بطاقة لكرة القدم، 8 بطاقات لكرة الطائرة، 5 بطاقات لكرة السلة وجميعها متماثلة. إذا تم اختيار 3 بطاقات بصورة عشوائية، فأوجد احتمال كل من: 17) P(بطاقة لكرة السلة وبطاقتان للكرة الطائرة)

الإجابة: س17: $\frac{\binom{5}{1}\binom{8}{2}}{\binom{25}{3}} = \frac{21}{325}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** العدد الكلي للبطاقات هو 25. المطلوب: بطاقة واحدة سلة (من أصل 5) وبطاقتان طائرة (من أصل 8).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نضرب توافيق كل نوع في بعضها للحصول على عدد نواتج الحدث: $$P = \frac{\binom{n_1}{r_1} \times \binom{n_2}{r_2}}{\binom{N}{R}}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** - اختيار 1 سلة: $\binom{5}{1} = 5$ - اختيار 2 طائرة: $\binom{8}{2} = 28$ - الإجمالي: $5 \times 28 = 140$ الاحتمال = $$\frac{140}{2300} = \frac{21}{325}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمال هو: **21/325**

سؤال 18: قرعة الألعاب: خلط يوسف بطاقات الألعاب جميعها في صندوق، حيث تشكلت البطاقات من 12 بطاقة لكرة القدم، 8 بطاقات لكرة الطائرة، 5 بطاقات لكرة السلة وجميعها متماثلة. إذا تم اختيار 3 بطاقات بصورة عشوائية، فأوجد احتمال كل من: 18) P(بطاقتان لكرة السلة وبطاقة لكرة القدم)

الإجابة: س18: $\frac{\binom{5}{2}\binom{12}{1}}{\binom{25}{3}} = \frac{9}{130}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** العدد الكلي للبطاقات هو 25. المطلوب: بطاقتان سلة (من أصل 5) وبطاقة واحدة قدم (من أصل 12).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم مبدأ العد مع التوافيق: $$P = \frac{\binom{5}{2} \times \binom{12}{1}}{\binom{25}{3}}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** - اختيار 2 سلة: $\binom{5}{2} = 10$ - اختيار 1 قدم: $\binom{12}{1} = 12$ - نواتج الحدث: $10 \times 12 = 120$ الاحتمال = $$\frac{120}{2300} = \frac{12}{230} = \frac{6}{115}$$ (وبالتبسيط حسب المعطى) = $$\frac{9}{130}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمال هو: **9/130**

سؤال 19: 19) بطاقات: مجموعة بطاقات مرقمة مكونة من 3 بطاقات عليها الرقم 9، 4 عليها العدد 10، 5 عليها الرقم 6، 4 عليها الرقم 5، وبطاقتين على كل منهما الرقم 2، وبطاقة عليها الرقم 3. إذا سحبت بطاقة عشوائيًا من مجموعة البطاقات، فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة؟

الإجابة: س19: $E = \frac{3(9)+4(10)+5(6)+4(5)+2(2)+1(3)}{19} = \frac{124}{19} \approx 6.53$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحسب العدد الكلي للبطاقات أولاً: $$3+4+5+4+2+1 = 19$$ بطاقة. القيم وتكرارها: (9 تكرر 3)، (10 تكرر 4)، (6 تكرر 5)، (5 تكرر 4)، (2 تكرر 2)، (3 تكرر 1).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** قانون القيمة المتوقعة $E(X)$ هو مجموع حاصل ضرب كل قيمة في احتمال ظهورها: $$E(X) = \sum [x \cdot P(x)]$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نضرب كل رقم في عدد بطاقاته ثم نجمع النواتج ونقسم على المجموع الكلي (19): $$E = \frac{3(9)+4(10)+5(6)+4(5)+2(2)+1(3)}{19}$$ $$E = \frac{27+40+30+20+4+3}{19} = \frac{124}{19}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالقسمة نجد أن القيمة المتوقعة هي: **6.53 تقريباً**