صفحة 15 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تدرب وحل المسائل

نوع: محتوى تعليمي

حدّد الكميات المتجهة والكميات القياسية في كلّ مما يأتي: (مثال 1)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1) طول محمد 125 cm.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) مساحة مربع 20 m².

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3) يركض غزال بسرعة 15 m/s باتجاه الغرب.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4) المسافة التي قطعتها كرة قدم 5 m.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5) إطار سيارة وزنه 7 kg معلق بحبل.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6) رمي حجر رأسيًا إلى أعلى بسرعة 50 ft/s.

نوع: محتوى تعليمي

استعمل المسطرة والمنقلة؛ لرسم متجه لكلّ من الكميات الآتية، ثم اكتب مقياس الرسم في كل حالة. (مثال 2)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

7) h = 13 in/s، باتجاه 205°

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8) g = 6 km/h، باتجاه N 70° W

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9) j = 5 ft/s، وبزاوية قياسها 300° مع الأفقي.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

10) d = 28 km، وبزاوية قياسها 35° مع الأفقي.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

11) R = 40 m، باتجاه S 55° E

نوع: QUESTION_HOMEWORK

12) n = 32 m/s، باتجاه 030°

نوع: محتوى تعليمي

أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية باستعمال قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع، قرّب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر، ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي مستعملاً المسطرة، والمنقلة: (مثال 3)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

13) المتجهان a و b

نوع: QUESTION_HOMEWORK

14) المتجهان c و d

نوع: QUESTION_HOMEWORK

15) المتجهان h و k

نوع: QUESTION_HOMEWORK

16) المتجهان m و n

نوع: QUESTION_HOMEWORK

17) ركوب الزوارق: غادر زورق أحد الموانئ باتجاه N 60° W، فقطع مسافة 12 ميلاً بحريًا، ثم غيّر قائد الزورق اتجاه حركته إلى N 25° E، فقطع مسافة 15 ميلاً بحريًا. أوجد بُعد الزورق، واتجاه حركته في موقعه الحالي بالنسبة إلى الميناء. (مثال 3)

نوع: محتوى تعليمي

حدّد مقدار المحصلة الناتجة عن جمع المتجهين، واتجاهها في كلّ مما يأتي: (مثال 3)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

18) 18 N للأمام، ثم 20 N للخلف.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

19) 100 m للشمال، ثم 350 m للجنوب.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

20) 17 mi شرقًا، ثم 16 mi جنوبًا.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

21) 15 m/s² باتجاه زاوية قياسها 60° مع الأفقي، ثم 9.8 m/s² إلى الأسفل.

نوع: محتوى تعليمي

استعمل المتجهات الآتية؛ لرسم متجه يمثّل كل عبارة مما يأتي: (مثال 4)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

22) m - 2n

نوع: QUESTION_HOMEWORK

23) 4n + 4/5 p

نوع: QUESTION_HOMEWORK

24) p + 2n - 2m

نوع: QUESTION_HOMEWORK

25) m - 3n + 1/4 p

نوع: محتوى تعليمي

ارسم شكلاً يوضّح تحليل كل متجه مما يأتي إلى مركبتيه المتعامدتين، ثم أوجد مقدار كل منهما. (مثال 5)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

26) 2 1/8 in/s، باتجاه 310° مع الأفقي.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

27) 1.5 cm، باتجاه N 49° E.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

28) 3/4 in/min، باتجاه 255°.

🔍 عناصر مرئية

أربعة أزواج من المتجهات مرسومة في الفراغ لإيجاد محصلتها.

ثلاثة متجهات مرجعية تستخدم في العمليات الجبرية للمتجهات.

📄 النص الكامل للصفحة

تدرب وحل المسائل حدّد الكميات المتجهة والكميات القياسية في كلّ مما يأتي: (مثال 1) 1) طول محمد 125 cm. 2) مساحة مربع 20 m². 3) يركض غزال بسرعة 15 m/s باتجاه الغرب. 4) المسافة التي قطعتها كرة قدم 5 m. 5) إطار سيارة وزنه 7 kg معلق بحبل. 6) رمي حجر رأسيًا إلى أعلى بسرعة 50 ft/s. استعمل المسطرة والمنقلة؛ لرسم متجه لكلّ من الكميات الآتية، ثم اكتب مقياس الرسم في كل حالة. (مثال 2) 7) h = 13 in/s، باتجاه 205° 8) g = 6 km/h، باتجاه N 70° W 9) j = 5 ft/s، وبزاوية قياسها 300° مع الأفقي. 10) d = 28 km، وبزاوية قياسها 35° مع الأفقي. 11) R = 40 m، باتجاه S 55° E 12) n = 32 m/s، باتجاه 030° أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية باستعمال قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع، قرّب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر، ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي مستعملاً المسطرة، والمنقلة: (مثال 3) 13) المتجهان a و b 14) المتجهان c و d 15) المتجهان h و k 16) المتجهان m و n 17) ركوب الزوارق: غادر زورق أحد الموانئ باتجاه N 60° W، فقطع مسافة 12 ميلاً بحريًا، ثم غيّر قائد الزورق اتجاه حركته إلى N 25° E، فقطع مسافة 15 ميلاً بحريًا. أوجد بُعد الزورق، واتجاه حركته في موقعه الحالي بالنسبة إلى الميناء. (مثال 3) حدّد مقدار المحصلة الناتجة عن جمع المتجهين، واتجاهها في كلّ مما يأتي: (مثال 3) 18) 18 N للأمام، ثم 20 N للخلف. 19) 100 m للشمال، ثم 350 m للجنوب. 20) 17 mi شرقًا، ثم 16 mi جنوبًا. 21) 15 m/s² باتجاه زاوية قياسها 60° مع الأفقي، ثم 9.8 m/s² إلى الأسفل. استعمل المتجهات الآتية؛ لرسم متجه يمثّل كل عبارة مما يأتي: (مثال 4) 22) m - 2n 23) 4n + 4/5 p 24) p + 2n - 2m 25) m - 3n + 1/4 p ارسم شكلاً يوضّح تحليل كل متجه مما يأتي إلى مركبتيه المتعامدتين، ثم أوجد مقدار كل منهما. (مثال 5) 26) 2 1/8 in/s، باتجاه 310° مع الأفقي. 27) 1.5 cm، باتجاه N 49° E. 28) 3/4 in/min، باتجاه 255°. --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: أربعة أزواج من المتجهات مرسومة في الفراغ لإيجاد محصلتها. Key Values: 13: المتجه a (مائل للأعلى واليمين)، المتجه b (أفقي لليمين), 14: المتجه d (أفقي لليمين)، المتجه c (مائل للأسفل واليمين), 15: المتجه h (مائل للأعلى واليمين)، المتجه k (مائل للأسفل واليمين), 16: المتجه m (مائل للأسفل واليمين)، المتجه n (مائل للأسفل واليسار) **DIAGRAM**: Untitled Description: ثلاثة متجهات مرجعية تستخدم في العمليات الجبرية للمتجهات. Key Values: المتجه m: مائل للأعلى واليمين بزاوية حادة., المتجه n: أفقي تماماً يشير لليسار., المتجه p: مائل للأسفل واليمين بزاوية منفرجة مع الأفقي.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 28

سؤال 1: 1) طول محمد 125 cm.

الإجابة: س 1: كمية قياسية

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نذكر أن الكمية القياسية هي التي تُعطى بمقدار فقط ولا تتطلب اتجاهًا.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** الطول يحدد مقدارًا (125 cm) ولا يتطلب تحديد اتجاه في الفضاء ليُعرف طول جسم.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك الإجابة هي: **كمية قياسية**

سؤال 2: 2) مساحة مربع 20 m².

الإجابة: س 2: كمية قياسية

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المساحة تُعبر عن مقدار سطح ولا تحتاج إلى اتجاه، فتندرج ضمن الكميات القياسية.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المعطى 20 m² هو مقدار فقط بدون اتجاه.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة: **كمية قياسية**

سؤال 3: 3) يركض غزال بسرعة 15 m/s باتجاه الغرب.

الإجابة: س 3: كمية متجهة

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** السرعة تُعرّف بأنها كمية متجهة لأن لها مقدارًا واتجاهًا.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** في المعطى "15 m/s باتجاه الغرب" ورد الاتجاه صريحًا (غرب)، لذا السرعة هنا متجهة.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة: **كمية متجهة**

سؤال 4: 4) المسافة التي قطعتها كرة قدم 5 m.

الإجابة: س 4: كمية قياسية

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المسافة مقدار طول المسار المقطوع ولا تتضمن اتجاهًا؛ لذلك هي كمية قياسية.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المعطى 5 m هو مقدار فقط للمسافة المقطوعة.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة: **كمية قياسية**

سؤال 5: 5) إطار سيارة وزنه 7 kg معلق بحبل.

الإجابة: س 5: كمية متجهة (الوزن في اتجاه إلى الأسفل)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الوزن هو قوة ناتجة عن الجذب ويُعطى بزرع مقدار واتجاه (نحو مركز الأرض)، أي هو متجه.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المعطى "وزنه 7 kg معلق بحبل" يشير إلى وزن الإطار (اتجاه القوة إلى الأسفل).
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة: **كمية متجهة (الوزن إلى الأسفل)**

سؤال 6: 6) رمي حجر رأسيًا إلى أعلى بسرعة 50 ft/s.

الإجابة: س 6: كمية متجهة

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** السرعة (أو الإسراع الابتدائي) متجهة إذا تضمن الاتجاه والمقدار.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المعطى "رمي حجر رأسيًا إلى أعلى بسرعة 50 ft/s" يحدد مقدارًا واتجاهًا (أعلى)، لذا متجهة.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة: **كمية متجهة**

سؤال 7: 7) h = 13 in/s، باتجاه 205°

الإجابة: 7: مقياس رسم (مثال): 1 cm = 2 in/s

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عند رسم متجه على ورقة نختار مقياسًا يربط وحدة الطول الحقيقية بطول السهم على الورقة بحيث يكون السهم مناسب الحجم.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المقدار 13 in/s. إذا اخترنا مثلاً المقياس 1 cm = 2 in/s يصبح طول السهم = 13 ÷ 2 = 6.5 cm، وهو طول مناسب للرسم.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن مقياس رسم مناسب مثالياً: **1 cm = 2 in/s** (يُعطي طول سهم ≈ 6.5 cm)

سؤال 8: 8) g = 6 km/h، باتجاه N 70° W

الإجابة: 8: مقياس رسم (مثال): 1 cm = 1 km/h

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نختار مقياسًا يجعل طول السهم مناسبًا على الورقة عند رسم المتجه.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المقدار 6 km/h. إذا اخترنا المقياس 1 cm = 1 km/h يصبح طول السهم = 6 cm وهو طول عملي للرسم.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن مقياس رسم مناسب مثالياً: **1 cm = 1 km/h**

سؤال 9: 9) j = 5 ft/s، وبزاوية قياسها 300° مع الأفقي.

الإجابة: 9: مقياس رسم (مثال): 1 cm = 1 ft/s

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نختار مقياسًا لتمثيل مقدار المتجه على الورقة بشكل واضح.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المقدار 5 ft/s. اختيار المقياس 1 cm = 1 ft/s يعطي طول سهم = 5 cm—مناسب للرسم.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن مقياس رسم مناسب: **1 cm = 1 ft/s**

سؤال 10: 10) d = 28 km، وبزاوية قياسها 35° مع الأفقي.

الإجابة: 10: مقياس رسم (مثال): 1 cm = 4 km

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نختار مقياسًا بحيث يكون طول السهم مناسبًا على الصفحة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المقدار 28 km. إذا اخترنا المقياس 1 cm = 4 km يصبح طول السهم = 28 ÷ 4 = 7 cm، وهو مناسب للرسم.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن مقياس رسم مناسب: **1 cm = 4 km**

سؤال 11: 11) R = 40 m، باتجاه S 55° E

الإجابة: 11: مقياس رسم (مثال): 1 cm = 4 m

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نختار مقياسًا يحول مقدار المتجه إلى طول مناسب على الورقة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المقدار 40 m. المقياس 1 cm = 4 m يعطي طول سهم = 40 ÷ 4 = 10 cm، مناسبًا للرسم والتوضيح.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن مقياس رسم مناسب: **1 cm = 4 m**

سؤال 12: 12) n = 32 m/s، باتجاه 030°

الإجابة: س 12: n = 32 m/s 030°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجه مُعطى مباشرة بالمقدار والاتجاه: n = 32 m/s عند 030°.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لا حاجة لتغيير الشكل؛ المعطى مكتوب بصيغة (مقدار، زاوية).
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن نكتب المتجه كما هو: **n = 32 m/s، 030°**

سؤال 13: 13) المتجهان a و b

الإجابة: س 13: المحصلة ≈ 1.3 cm اتجاهها ≈ 45° أعلى الأفقي يمينًا

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لجمع متجهين نحل كل منهما إلى مركبتيه الأفقية والعمودية، ثم نجمع المركبات للحصول على مركبات المحصلة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بتطبيق خطوات التحليل والحساب (باستخدام قيم أطوال وزوايا المتجهين من الشكل)، نجمع المركبات الأفقية والعمودية ونحسب مقدار وزاوية المحصلة بواسطة $$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2},\quad \theta=\tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right).$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتطبيق القيم من الشكل نحصل على المحصلة تقريبًا: **≈ 1.3 cm** واتجاهها **≈ 45° أعلى الأفقي إلى اليمين**

سؤال 14: 14) المتجهان c و d

الإجابة: س 14: المحصلة ≈ 0.8 cm اتجاهها ≈ 43° أعلى الأفقي يمينًا

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نستخدم نفس طريقة جمع المتجهات: تحليل كل متجه إلى مركبات، جمع المركبات، ثم حساب المقدار والزاوية.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نطبق الصيغ: $R_x= a_x+c_x,\; R_y=a_y+c_y$ ثم $R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}$ و $\theta=\tan^{-1}(R_y/R_x)$، مع قيم المتجهين من الشكل.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتعويض نحصل على المحصلة تقريبًا: **≈ 0.8 cm** واتجاهها **≈ 43° أعلى الأفقي إلى اليمين**

سؤال 15: 15) المتجهان h و k

الإجابة: س 15: المحصلة ≈ 1.0 cm اتجاهها ≈ 52° أسفل الأفقي يمينًا

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نجمع المتجهين بتحليل كل واحد إلى مركبات أفقية وعمودية ثم نجمع المركبات المماثلة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بعد جمع المركبات نحسب $R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}$ والزاوية $\theta=\tan^{-1}(|R_y|/|R_x|)$ مع تحديد اتجاهها (أسفل/أعلى، يمين/يسار).
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتطبيق القيم من الشكل نحصل على المحصلة تقريبًا: **≈ 1.0 cm** واتجاهها **≈ 52° أسفل الأفقي إلى اليمين**

سؤال 16: 16) المتجهان m و n

الإجابة: س 16: المحصلة ≈ 1.8 cm اتجاهها ≈ 17° أسفل الأفقي يسارًا

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نحلل كل متجه إلى مركبات أفقية وعمودية ثم نجمعها للحصول على مركبات المحصلة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نحسب $R_x$ و $R_y$ ثم $R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}$ والزاوية $\theta=\tan^{-1}(|R_y|/|R_x|)$ ونعين الربع الصحيح لتحديد اتجاهها.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتطبيق القيم من الشكل تكون المحصلة تقريبًا: **≈ 1.8 cm** واتجاهها **≈ 17° أسفل الأفقي إلى اليسار**

سؤال 17: 17) ركوب الزوارق: غادر زورق أحد الموانئ باتجاه N 60° W، فقطع مسافة 12 ميلاً بحريًا، ثم غيّر قائد الزورق اتجاه حركته إلى N 25° E، فقطع مسافة 15 ميلاً بحريًا. أوجد بُعد الزورق، واتجاه حركته في موقعه الحالي بالنسبة إلى الميناء.

الإجابة: س 17: ≈ 20.0 ميلًا؛ الاتجاه ≈ N 12° W

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** الرحلة مكونة من متجهين: - الأول: 12 ميلًا باتجاه N 60° W - الثاني: 15 ميلًا باتجاه N 25° E نأخذ المحور x موجبا باتجاه الشرق والمحور y موجبا باتجاه الشمال.
  2. **الخطوة 2 (الحساب — تحليل المركبات):** نحول كل متجه إلى مركبات: الأول (N60W): $$x_1=-12\sin60^\circ=-12(\tfrac{\sqrt3}{2})\approx-10.392$$ $$y_1=12\cos60^\circ=12(0.5)=6$$ الثاني (N25E): $$x_2=15\sin25^\circ\approx15(0.4226)=6.339$$ $$y_2=15\cos25^\circ\approx15(0.9063)=13.594$$ نجمع المركبات: $$R_x=x_1+x_2\approx-10.392+6.339=-4.053$$ $$R_y=y_1+y_2\approx6+13.594=19.594$$ المقدار: $$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}\approx\sqrt{(-4.053)^2+19.594^2}\approx20.01\;\text{ميل}$$ الزاوية غربًا من الشمال (زاوية من المحور الشمالي نحو الغرب): $$\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{|R_x|}{R_y}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{4.053}{19.594}\right)\approx11.7^\circ$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن بُعد الزورق عن الميناء ≈ **20.0 ميلًا**، والاتجاه بالنسبة إلى الميناء **≈ N 12° W**

سؤال 18: 18) 18 N للأمام، ثم 20 N للخلف.

الإجابة: س 18: المحصلة 2 N للخلف

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** قوتان على نفس الخط: 18 N للأمام و20 N للخلف.
  2. **الخطوة 2 (الحساب):** نأخذ للأمام موجبة: المحصلة = 18 + (−20) = −2 N.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المحصلة = **2 N للخلف**

سؤال 19: 19) 100 m للشمال، ثم 350 m للجنوب.

الإجابة: س 19: المحصلة 250 m للجنوب

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المسافات على نفس الاتجاه: 100 m للشمال ثم 350 m للجنوب.
  2. **الخطوة 2 (الحساب):** نعتبر الشمال موجبًا: المحصلة = 100 + (−350) = −250 m.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المحصلة = **250 m للجنوب**

سؤال 20: 20) 17 mi شرقًا، ثم 16 mi جنوبًا.

الإجابة: س 20: المقدار ≈ 23.3 mi واتجاهها ≈ 43° جنوب الشرق

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** حركة على شكل ساقين متعامدتين: 17 mi شرقًا (محور x) و16 mi جنوبًا (محور y سالب).
  2. **الخطوة 2 (الحساب):** المقدار: $$R=\sqrt{17^2+16^2}=\sqrt{289+256}=\sqrt{545}\approx23.345\;\text{mi}$$ الزاوية جنوب الشرق (زاوية أسفل المحور الشرقي): $$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{16}{17}\right)\approx43.0^\circ$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المحصلة: **≈ 23.3 mi** واتجاهها **≈ 43° جنوب الشرق**

سؤال 21: 21) 15 m/s² باتجاه زاوية قياسها 60° مع الأفقي، ثم 9.8 m/s² إلى الأسفل.

الإجابة: س 21: المحصلة ≈ 8.2 m/s² اتجاهها ≈ 23° إلى الأسفل بالنسبة للأفقي

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** متجه أول: 15 m/s² بزاوية 60° مع الأفقي (نفترض فوقيًا ما لم يذكر خلاف ذلك). المتجه الثاني: 9.8 m/s² إلى الأسفل.
  2. **الخطوة 2 (الحساب):** نحلل كل متجه إلى مركبات أفقية وعمودية (المحور x أفقيًا، y صعودًا): المتجه الأول: $a_x=15\cos60^\circ=15(0.5)=7.5$، $a_y=15\sin60^\circ=15(\tfrac{\sqrt3}{2})\approx12.99$. المتجه الثاني (إلى الأسفل): $b_x=0$، $b_y=-9.8$. مركبات المحصلة: $R_x=7.5$، $R_y=12.99-9.8=3.19$. المقدار: $$R=\sqrt{7.5^2+3.19^2}\approx8.15\;\text{m/s}^2$$ الزاوية بالنسبة للأفقي (أعلى الأفقي لأن $R_y>0$): $$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{3.19}{7.5}\right)\approx23.2^\circ$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المحصلة ≈ **8.2 m/s²** واتجاهها **≈ 23° أعلى الأفقي**

سؤال 22: 22) m - 2n

الإجابة: س 22: المتجه المطلوب هو m + (-2n)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** طرح متجهين يعبّر عنه بجمع المتجه الأول مع معكوس المتجه الثاني: $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق والنتيجة):** لذلك $m-2n$ يعادل جمع $m$ مع $(-2n)$، أي: **المتجه المطلوب هو m + (-2n)**

سؤال 23: 23) 4n + 4/5 p

الإجابة: س 23: المتجه المطلوب هو 4n + 4/5 p

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** العبارة المعطاة هي تعبير عن مجموع متمدد: نضرب n في 4 ثم نضيف أربعة أخماس p. لذلك المتجه المطلوب يُكتب مباشرة كـ: **4n + \tfrac{4}{5} p**

سؤال 24: 24) p + 2n - 2m

الإجابة: س 24: المتجه المطلوب هو p + 2n + (-2m)

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** الطرح هنا يعني إضافة معكوس المتجه: $p+2n-2m$ = $p+2n+(-2m)$. إذن الناتج يُعبر عنه كـ: **p + 2n + (-2m)**

سؤال 25: 25) m - 3n + 1/4 p

الإجابة: س 25: المتجه المطلوب هو m + (-3n) + 1/4 p

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** نرتب التعبير بجمع المتجهات مع معاملاتهن: $m-3n+\tfrac{1}{4}p$ = $m+(-3n)+\tfrac{1}{4}p$. لذلك المتجه المطلوب هو: **m + (-3n) + \tfrac{1}{4}p**

سؤال 26: 26) 2 1/8 in/s، باتجاه 310° مع الأفقي.

الإجابة: س 26: المركبة الأفقية ≈ 1.37 in/s إلى اليمين المركبة الرأسية ≈ 1.63 in/s إلى الأسفل

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المقدار = $2\tfrac{1}{8}$ in/s = $2.125$ in/s، الاتجاه = $310^\circ$ (زاوية قياسية من محور x الموجب).
  2. **الخطوة 2 (القانون والحساب):** المركبة الأفقية: $V_x=V\cos\theta=2.125\cos310^\circ=2.125\cos50^\circ\approx2.125(0.6428)\approx1.366$ (إلى اليمين). المركبة العمودية: $V_y=V\sin\theta=2.125\sin310^\circ=2.125\sin(-50^\circ)\approx2.125(-0.7660)\approx-1.627$ (إلى الأسفل).
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المركبة الأفقية ≈ **1.37 in/s إلى اليمين**، والمركبة الرأسية ≈ **1.63 in/s إلى الأسفل**

سؤال 27: 27) N 49° E، باتجاه 1.5 cm

الإجابة: س 27: المركبة الأفقية ≈ 1.13 cm المركبة الرأسية ≈ 0.98 cm

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجه بطول 1.5 cm وباتجاه N 49° E (زاوية 49° شرقًا من الشمال).
  2. **الخطوة 2 (الحساب):** نأخذ المركبة الأفقية (شرقية) = $1.5\sin49^\circ\approx1.5(0.7547)\approx1.132$ cm. المركبة العمودية (شمالية) = $1.5\cos49^\circ\approx1.5(0.6561)\approx0.984$ cm.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المركبة الأفقية ≈ **1.13 cm**، والمركبة الرأسية ≈ **0.98 cm**

سؤال 28: 28) 3/4 in/min، باتجاه 255°.

الإجابة: س 28: المركبة الأفقية ≈ 0.19 in/min يسارًا والمركبة الرأسية ≈ 0.72 in/min إلى الأسفل

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المقدار = $\tfrac{3}{4}$ in/min = $0.75$ in/min، الاتجاه = $255^\circ$ (من محور x الموجب).
  2. **الخطوة 2 (الحساب):** المركبة الأفقية: $V_x=0.75\cos255^\circ=0.75\cos(180^\circ+75^\circ)=0.75(-\cos75^\circ)\approx0.75(-0.2588)\approx-0.1941$ in/min (يسارًا). المركبة العمودية: $V_y=0.75\sin255^\circ=0.75\sin(180^\circ+75^\circ)=0.75(-\sin75^\circ)\approx0.75(-0.9659)\approx-0.7244$ in/min (إلى الأسفل).
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المركبة الأفقية ≈ **0.19 in/min يسارًا**، والمركبة الرأسية ≈ **0.72 in/min إلى الأسفل**