مثال 6 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 6

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

الفصل 7 دليل الدراسة والمراجعة

نوع: محتوى تعليمي

7-5 التوزيع الطبيعي (الصفحات 108 - 112)

نوع: محتوى تعليمي

في كلّ من السؤالين الآتيين توزيع طبيعي بمتوسط وانحراف معياري. أوجد الاحتمال المطلوب في كل منهما.

20

نوع: QUESTION_HOMEWORK

20) μ = 121, σ = 9, P(X > 103)

21

نوع: QUESTION_HOMEWORK

21) μ = 181, σ = 12, P(X > 169)

22

نوع: QUESTION_HOMEWORK

22) زمن الركض: أزمنة الركض لمسافة 40m لفريق كرة القدم المدرسي تتوزع توزيعاً طبيعياً بمتوسط 4.7s، وانحراف معياري 0.15s. ما نسبة اللاعبين الذين يقل زمن قطعهم المسافة عن 4.4s؟

مثال 6

نوع: محتوى تعليمي

تتوزع مجموعة من البيانات توزيعاً طبيعياً بمتوسط 78، وانحراف معياري 5. أوجد احتمال أن تزيد قيمة X اختيرت عشوائياً عن 83. بما أن 83 = 78 + 5 = μ + σ؛ لذا فإن الاحتمال المطلوب يكون مساوياً 13.5% + 2% + 0.5% = 16%

نوع: محتوى تعليمي

7-6 التوزيعات ذات الحدين (الصفحات 114 - 119)

23

نوع: QUESTION_HOMEWORK

23) أشخاص مشهورون: في إحدى الدراسات تبين أن 63% من الشباب يفضلون أداء أحد الرياضيين المشهورين. إذا اختير 5 من الشباب عشوائياً، وتم سؤالهم عما إذا كانوا يفضلون أداء هذا الرياضي أو لا.

24

نوع: QUESTION_HOMEWORK

24) ساعات: أشارت دراسة مسحية للبالغين أن ما نسبته 74% من البالغين يلبسون ساعة يد. وقد قام بكر باستطلاع رأي 200 شخص من البالغين عشوائياً. ما احتمال أن يكون 160 شخصاً على الأقل ممن شملهم الاستطلاع يلبسون ساعة يد؟

مثال 7

نوع: محتوى تعليمي

رسم هندسي: أجريت دراسة في إحدى المدارس، فتبين أن 45% من الطلاب يستطيعون رسم مخروط. إذا تم اختيار 5 منهم بشكل عشوائي، ومثل المتغير العشوائي X عدد الطلاب الذين لديهم مقدرة على رسم مخروط، فأجب عما يأتي: a) كوّن جدول التوزيع الاحتمالي لذات الحدين للمتغير X، ومثله بالأعمدة. في هذه المسألة n = 5, p = 0.45, q = 1 - 0.45 = 0.55. b) أوجد المتوسط والانحراف المعياري والتباين للتوزيع. μ = np = 5(0.45) = 2.25 σ² = npq = 5(0.45)(0.55) = 1.2375 σ = √σ² = √1.2375 ≈ 1.1124

🔍 عناصر مرئية

A normal distribution curve centered at the mean μ = 78. The x-axis is labeled with values 78, 83, 88, and 93. Below these values are markers for 1σ, 2σ, and 3σ respectively. The area under the curve to the right of 83 is divided into three sections with percentages: 13.5% between 83 and 88, 2% between 88 and 93, and 0.5% beyond 93.

Bar chart representing the binomial distribution from the table above. The highest bar is at X=2 with a height of approximately 0.34.

📄 النص الكامل للصفحة

الفصل 7 دليل الدراسة والمراجعة 7-5 التوزيع الطبيعي (الصفحات 108 - 112) في كلّ من السؤالين الآتيين توزيع طبيعي بمتوسط وانحراف معياري. أوجد الاحتمال المطلوب في كل منهما. --- SECTION: 20 --- 20) μ = 121, σ = 9, P(X > 103) --- SECTION: 21 --- 21) μ = 181, σ = 12, P(X > 169) --- SECTION: 22 --- 22) زمن الركض: أزمنة الركض لمسافة 40m لفريق كرة القدم المدرسي تتوزع توزيعاً طبيعياً بمتوسط 4.7s، وانحراف معياري 0.15s. ما نسبة اللاعبين الذين يقل زمن قطعهم المسافة عن 4.4s؟ --- SECTION: مثال 6 --- تتوزع مجموعة من البيانات توزيعاً طبيعياً بمتوسط 78، وانحراف معياري 5. أوجد احتمال أن تزيد قيمة X اختيرت عشوائياً عن 83. بما أن 83 = 78 + 5 = μ + σ؛ لذا فإن الاحتمال المطلوب يكون مساوياً 13.5% + 2% + 0.5% = 16% 7-6 التوزيعات ذات الحدين (الصفحات 114 - 119) --- SECTION: 23 --- 23) أشخاص مشهورون: في إحدى الدراسات تبين أن 63% من الشباب يفضلون أداء أحد الرياضيين المشهورين. إذا اختير 5 من الشباب عشوائياً، وتم سؤالهم عما إذا كانوا يفضلون أداء هذا الرياضي أو لا. a. إذا مثل المتغير العشوائي X عدد الشباب الذين يفضلون أداء هذا الرياضي، فكوّن جدول التوزيع الاحتمالي لذات الحدين للمتغير X، ومثله بالأعمدة. b. أوجد احتمال أن يكون أكثر من 2 من الشباب يفضلون أداء هذا الرياضي. --- SECTION: 24 --- 24) ساعات: أشارت دراسة مسحية للبالغين أن ما نسبته 74% من البالغين يلبسون ساعة يد. وقد قام بكر باستطلاع رأي 200 شخص من البالغين عشوائياً. ما احتمال أن يكون 160 شخصاً على الأقل ممن شملهم الاستطلاع يلبسون ساعة يد؟ --- SECTION: مثال 7 --- رسم هندسي: أجريت دراسة في إحدى المدارس، فتبين أن 45% من الطلاب يستطيعون رسم مخروط. إذا تم اختيار 5 منهم بشكل عشوائي، ومثل المتغير العشوائي X عدد الطلاب الذين لديهم مقدرة على رسم مخروط، فأجب عما يأتي: a) كوّن جدول التوزيع الاحتمالي لذات الحدين للمتغير X، ومثله بالأعمدة. في هذه المسألة n = 5, p = 0.45, q = 1 - 0.45 = 0.55. b) أوجد المتوسط والانحراف المعياري والتباين للتوزيع. μ = np = 5(0.45) = 2.25 σ² = npq = 5(0.45)(0.55) = 1.2375 σ = √σ² = √1.2375 ≈ 1.1124 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A normal distribution curve centered at the mean μ = 78. The x-axis is labeled with values 78, 83, 88, and 93. Below these values are markers for 1σ, 2σ, and 3σ respectively. The area under the curve to the right of 83 is divided into three sections with percentages: 13.5% between 83 and 88, 2% between 88 and 93, and 0.5% beyond 93. X-axis: Values (78, 83, 88, 93) Y-axis: Probability density Key Values: 13.5%, 2%, 0.5% **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 Rows: Row 1: P(X) | 0.050 | 0.206 | 0.337 | 0.276 | 0.113 | 0.018 Context: Probability distribution table for a binomial experiment with n=5 and p=0.45 **CHART**: Untitled Description: Bar chart representing the binomial distribution from the table above. The highest bar is at X=2 with a height of approximately 0.34. X-axis: عدد الطلاب Y-axis: الاحتمال

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 20,21,22: 20) μ = 121, σ = 9, P(X > 103) 21) μ = 181, σ = 12, P(X > 169) 22) زمن الركض: أزمنة الركض لمسافة 40 m لفريق كرة القدم المدرسي تتوزع توزيعاً طبيعياً بمتوسط 4.7 s، وانحراف معياري 0.15 s. ما نسبة اللاعبين الذين يقل زمن قطعهم المسافة عن 4.4 s؟

الإجابة: ⇒ z = (103 - 121) / 9 = -2 ⇒ P(X > 103) = P(Z > -2) ≈ 0.975 = 97.5% μ = 181, σ = 12 ⇒ z = (169 - 181) / 12 = -1 ⇒ P(X > 169) = P(Z > -1) ≈ 0.84 = 84% س:22 ⇒ z = (4.4 - 4.7) / 0.15 = -2 ⇒ P(X < 4.4) = P(Z < -2) ≈ 0.025 = 2.5%

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - السؤال 20: المتوسط μ = 121، الانحراف المعياري σ = 9، والمطلوب هو P(X > 103). - السؤال 21: المتوسط μ = 181، الانحراف المعياري σ = 12، والمطلوب هو P(X > 169). - السؤال 22: المتوسط μ = 4.7 ثانية، الانحراف المعياري σ = 0.15 ثانية، والمطلوب هو نسبة اللاعبين الذين يقل زمنهم عن 4.4 ثانية، أي P(X < 4.4).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون التحويل إلى التوزيع الطبيعي المعياري: $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ حيث z هي القيمة المعيارية (z-score) التي تساعدنا في استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد الاحتمالات.
  3. **الخطوة 3 (الحل للسؤال 20):** بالتعويض: $$z = \frac{103 - 121}{9} = \frac{-18}{9} = -2$$ المطلوب هو P(X > 103) = P(Z > -2). من جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن P(Z < -2) ≈ 0.025، وبما أن المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي 1، فإن: P(Z > -2) = 1 - P(Z < -2) ≈ 1 - 0.025 = 0.975. إذن الإجابة = **97.5%**.
  4. **الخطوة 4 (الحل للسؤال 21):** بالتعويض: $$z = \frac{169 - 181}{12} = \frac{-12}{12} = -1$$ المطلوب هو P(X > 169) = P(Z > -1). من جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن P(Z < -1) ≈ 0.16، وبما أن المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي 1، فإن: P(Z > -1) = 1 - P(Z < -1) ≈ 1 - 0.16 = 0.84. إذن الإجابة = **84%**.
  5. **الخطوة 5 (الحل للسؤال 22):** بالتعويض: $$z = \frac{4.4 - 4.7}{0.15} = \frac{-0.3}{0.15} = -2$$ المطلوب هو P(X < 4.4) = P(Z < -2). من جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن P(Z < -2) ≈ 0.025. إذن الإجابة = **2.5%**.

سؤال 23,24: 23) أشخاص مشهورون: في إحدى الدراسات تبين أن 63% من الشباب يفضلون أداء أحد الرياضيين المشهورين. إذا اختير 5 من الشباب عشوائياً، وتم سؤالهم عما إذا كانوا يفضلون أداء هذا الرياضي أو لا. a) إذا مثل المتغير العشوائي X عدد الشباب الذين يفضلون أداء هذا الرياضي، فكوّن جدول التوزيع الاحتمالي لذات الحدين للمتغير X، ومثله بالأعمدة. b) أوجد احتمال أن يكون أكثر من 2 من الشباب يفضلون أداء هذا الرياضي. 24) ساعات: أشارت دراسة مسحية للبالغين أن ما نسبته 74% من البالغين يلبسون ساعة يد. وقد قام بكر باستطلاع رأي 200 شخص من البالغين عشوائياً. ما احتمال أن يكون 160 شخصاً على الأقل ممن شملهم الاستطلاع يلبسون ساعة يد؟

الإجابة: P(X = k) = (5 choose k)(0.63)^k(0.37)^{5-k} | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |0.099|0.291|0.342|0.201|0.059|0.007| P(X > 2) = P(3) + P(4) + P(5) ≈ 0.342 + 0.291 + 0.099 = 0.733 (2.94% أي نحو P(X ≥ 160) ≈ 0.0294) :24 س.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - السؤال 23: احتمال تفضيل الرياضي هو p = 0.63، وعدد المحاولات n = 5، والمتغير العشوائي X هو عدد الشباب الذين يفضلون أداء الرياضي. - السؤال 24: احتمال لبس ساعة اليد هو p = 0.74، وعدد المحاولات n = 200، والمطلوب هو احتمال أن يكون 160 شخصاً على الأقل يلبسون ساعة يد، أي P(X ≥ 160).
  2. **الخطوة 2 (القانون للسؤال 23):** نستخدم قانون التوزيع الاحتمالي ذي الحدين: $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ حيث k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. لإيجاد P(X > 2)، نحسب P(3) + P(4) + P(5).
  3. **الخطوة 3 (الحل للسؤال 23 - جزء أ):** بالتعويض في القانون: - P(0) = (5 choose 0)(0.63)^0(0.37)^5 ≈ 0.099 - P(1) = (5 choose 1)(0.63)^1(0.37)^4 ≈ 0.291 - P(2) = (5 choose 2)(0.63)^2(0.37)^3 ≈ 0.342 - P(3) = (5 choose 3)(0.63)^3(0.37)^2 ≈ 0.201 - P(4) = (5 choose 4)(0.63)^4(0.37)^1 ≈ 0.059 - P(5) = (5 choose 5)(0.63)^5(0.37)^0 ≈ 0.007 إذن جدول التوزيع الاحتمالي هو: | k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | P(X=k) | 0.099 | 0.291 | 0.342 | 0.201 | 0.059 | 0.007 |
  4. **الخطوة 4 (الحل للسؤال 23 - جزء ب):** P(X > 2) = P(3) + P(4) + P(5) ≈ 0.201 + 0.059 + 0.007 = 0.267. إذن الإجابة = **0.267**.
  5. **الخطوة 5 (الحل للسؤال 24):** هنا n كبير (n=200)، لذا نستخدم التقريب الطبيعي للتوزيع ذي الحدين. نحسب المتوسط والانحراف المعياري: $$\mu = n \cdot p = 200 \times 0.74 = 148$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{200 \times 0.74 \times 0.26} \approx \sqrt{38.48} \approx 6.20$$ نحول إلى z-score باستخدام تصحيح الاستمرارية: $$z = \frac{159.5 - 148}{6.20} \approx \frac{11.5}{6.20} \approx 1.85$$ المطلوب هو P(X ≥ 160) ≈ P(Z > 1.85). من جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن P(Z < 1.85) ≈ 0.9678، لذا: P(Z > 1.85) = 1 - 0.9678 = 0.0322. إذن الإجابة ≈ **3.22%**.