صفحة 124 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تطبيقات ومسائل

نوع: محتوى تعليمي

سُكَّان مُحدّد: إذا كانت الإحصاءات تُشير إلى أن عدد السكان في منطقة ما هو 16000 نسمة، فإن عدد السكان في منطقة أخرى يختلف بمقدار 72 نسمة، فإن المسجلين في تلك المنطقة أكثر من 42.

نوع: محتوى تعليمي

إجابات: في دراسة سابقة، كانت نسبة الطلاب الذين استجابوا لكافة الأسئلة 70%.

🔍 عناصر مرئية

جدول يوضح أعداد الطلاب ذوي الوزن الزائد أو غير الزائد.

📄 النص الكامل للصفحة

تطبيقات ومسائل سُكَّان مُحدّد: إذا كانت الإحصاءات تُشير إلى أن عدد السكان في منطقة ما هو 16000 نسمة، فإن عدد السكان في منطقة أخرى يختلف بمقدار 72 نسمة، فإن المسجلين في تلك المنطقة أكثر من 42. إجابات: في دراسة سابقة، كانت نسبة الطلاب الذين استجابوا لكافة الأسئلة 70%.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 5

سؤال س26: 26) اختير 10 طلاب بصورة عشوائية من الصف الثالث الثانوي، وقيست أطوالهم بالسنتيمترات فكانت كما يلي: 170, 165, 155, 168, 177, 180, 168, 167, 160, 161 بيّن ما إذا كانت هذه البيانات تمثّل عينة أم مجتمعًا، ثم اوجد الانحراف المعياري لهذه الأطوال. (الدرس 2-7)

الإجابة: س26: البيانات تمثل عينة (تم اختيار 10 طلاب عشوائياً). الانحراف المعياري: $s \approx 7.55$ سم

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحديد نوع البيانات):** لننظر إلى السؤال، نجد أنه تم اختيار 10 طلاب فقط من مجتمع أكبر وهو "طلاب الصف الثالث الثانوي". وبما أننا اخترنا جزءاً من المجموعة الكلية لتمثيلها، فإن هذه البيانات تمثل **عينة** وليست مجتمعاً كاملاً.
  2. **الخطوة 2 (حساب المتوسط الحسابي):** قبل إيجاد الانحراف المعياري، نحسب المتوسط الحسابي (\bar{x}) لهذه الأطوال: $$\bar{x} = \frac{170+165+155+168+177+180+168+167+160+161}{10} = \frac{1671}{10} = 167.1$$
  3. **الخطوة 3 (حساب الانحراف المعياري للعينة):** بما أنها عينة، نستخدم قانون الانحراف المعياري للعينة ($s$): $$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$$ نقوم بطرح المتوسط من كل قيمة وتربيع الناتج، ثم جمعهم وقسمتهم على (10-1): $$\sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 512.9$$ $$s = \sqrt{\frac{512.9}{9}} \approx 7.549$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن البيانات تمثل **عينة**، والانحراف المعياري لها هو **$s \approx 7.55$ سم** تقريباً.

سؤال س27: 27) سجّلت أعداد الطلاب ذوي العيون الزرقاء أو غير الزرقاء في أحد المعاهد. | | سنة أولى | سنة ثانية | |---|---|---| | عيون زرقاء | 5 | 10 | | عيون ليست زرقاء | 95 | 80 | إذا اختير أحد الطلاب عشوائيًا، فأوجد احتمال أن تكون عيونه زرقاء علمًا بأنه في السنة الثانية. (الدرس 3-7)

الإجابة: س27: في السنة الثانية: الزرقاء=10، المجموع=90. $P(\text{زرقاء | ثانية}) = \frac{10}{90} \approx 0.111$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحديد المعطيات):** المطلوب هو احتمال أن تكون عيون الطالب زرقاء "بشرط" أو "علماً بأنه" في السنة الثانية. هذا يسمى احتمالاً مشروطاً.
  2. **الخطوة 2 (تحديد الفضاء الجزئي):** بما أن الشرط هو أن يكون الطالب في السنة الثانية، سنركز فقط على عمود "سنة ثانية": - عدد الطلاب ذوي العيون الزرقاء في السنة الثانية = 10 - عدد الطلاب ذوي العيون غير الزرقاء في السنة الثانية = 80 - المجموع الكلي لطلاب السنة الثانية = $10 + 80 = 90$
  3. **الخطوة 3 (الحساب):** الاحتمال المطلوب هو عدد الطلاب المستهدفين (زرقاء في سنة ثانية) مقسوماً على إجمالي طلاب السنة الثانية: $$P = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالقسمة نجد أن الاحتمال هو: **$P \approx 0.111$**

سؤال س28: 28) رُميت 3 قطع نقد مرة واحدة. إذا كان المتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الشعار، فاكتب جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X، ثم مثله بالأعمدة. (الدرس 4-7)

الإجابة: س28: $P(X=k) = \binom{3}{k} \frac{1}{8}$ | X | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | P(X) | 1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 | التمثيل: أعمدة عند X بارتفاعات $P(X)$.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحديد فضاء العينة):** عند رمي 3 قطع نقد، يكون عدد النواتج الممكنة هو $2^3 = 8$. المتغير العشوائي $X$ يمثل عدد مرات ظهور الشعار (L)، والقيم الممكنة لـ $X$ هي: {0, 1, 2, 3}.
  2. **الخطوة 2 (حساب الاحتمالات):** نحسب احتمال كل قيمة لـ $X$: - $X=0$ (لا يوجد شعار): احتمالها $1/8$ - $X=1$ (شعار واحد): الحالات هي (LTT, TLT, TTL) وعددهم 3، إذن الاحتمال $3/8$ - $X=2$ (شعاران): الحالات هي (LLT, LTL, TLL) وعددهم 3، إذن الاحتمال $3/8$ - $X=3$ (ثلاثة شعارات): الحالة هي (LLL) وعددهم 1، إذن الاحتمال $1/8$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** جدول التوزيع الاحتمالي هو: | $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | $P(X)$ | $1/8$ | $3/8$ | $3/8$ | $1/8$ | أما التمثيل بالأعمدة، فيتم برسم محور أفقي لقيم $X$ ومحور رأسي للاحتمالات، حيث ترتفع الأعمدة عند كل قيمة لـ $X$ بمقدار احتمالها.

سؤال س29: 29) سكة حديد: إذا كانت الفترات الزمنية للانتظار التي يقضيها 16000 مسافر في إحدى محطات سكك الحديد موزّعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 72min، وانحراف معياري 15min، فأوجد نسبة المسافرين الذين ينتظرون أكثر من 42min. (الدرس 5-7)

الإجابة: س29: $z = \frac{42-72}{15} = -2$ $P(X > 42) = P(Z > -2) \approx 0.9772$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا توزيع طبيعي بالخصائص التالية: - المتوسط (\mu) = 72 - الانحراف المعياري (\sigma) = 15 - القيمة المطلوبة (X) هي أكثر من 42.
  2. **الخطوة 2 (استخدام القانون التجريبي):** لنحدد موقع القيمة 42 بالنسبة للمتوسط: نلاحظ أن $72 - 15 - 15 = 42$. أي أن القيمة 42 تقع عند انحرافين معياريين تحت المتوسط (\mu - 2\sigma).
  3. **الخطوة 3 (حساب النسبة):** حسب خصائص التوزيع الطبيعي، المساحة فوق (\mu - 2\sigma) تشمل: - المنطقة بين (\mu - 2\sigma) و (\mu - \sigma) وهي 13.5% - المنطقة بين (\mu - \sigma) و (\mu) وهي 34% - المنطقة فوق المتوسط (\mu) وهي 50% إذن النسبة الكلية = $13.5\% + 34\% + 50\% = 97.5\%$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن نسبة المسافرين الذين ينتظرون أكثر من 42 دقيقة هي تقريباً **97.5%** (أو بدقة أكبر باستخدام الجداول $0.9772$).

سؤال س30: 30) إجازات: في دراسة مسحية سابقة وجد أن ما نسبته 70% من العاملين يأخذون إجازاتهم السنوية في الصيف، لكن محسنًا يعتقد أن هذا الرقم مبالغ فيه، فقام باستطلاع رأي 650 عاملًا عشوائيًا. ما احتمال ألا يأخذ أكثر من 420 عاملًا إجازاتهم في الصيف؟ (الدرس 6-7)

الإجابة: س30: $X \sim Bin(650, 0.7)$ $P(X \leq 420) \approx 0.0018$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحديد نوع التوزيع):** هذه تجربة ذات حدين (إما يأخذ إجازة أو لا)، حيث: - عدد المحاولات $n = 650$ - احتمال النجاح $p = 0.70$ - احتمال الفشل $q = 0.30$
  2. **الخطوة 2 (التقريب للتوزيع الطبيعي):** بما أن $np = 455$ و $nq = 195$ وكلاهما أكبر من 5، يمكننا استخدام التوزيع الطبيعي كتقريب: - المتوسط $\mu = np = 650 \times 0.7 = 455$ - الانحراف المعياري $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{650 \times 0.7 \times 0.3} \approx 11.68$
  3. **الخطوة 3 (حساب الاحتمال):** نريد إيجاد احتمال ألا يزيد عدد العمال عن 420 ($P(X \leq 420)$). نحولها إلى القيمة المعيارية $z$: $$z = \frac{420 - 455}{11.68} \approx -2.99$$ بالبحث في جدول التوزيع الطبيعي عن المساحة يسار $z = -2.99$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** نجد أن الاحتمال صغير جداً ويساوي تقريباً **0.0014** (أو **0.0018** عند استخدام قيم أكثر دقة). وهذا يعني أن احتمال حدوث ذلك ضعيف جداً.