📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: NON_EDUCATIONAL
رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa
نوع: محتوى تعليمي
التهيئة للفصل 8
نوع: محتوى تعليمي
مراجعة المفردات
نوع: محتوى تعليمي
النهاية (limit)
الاقتراب من قيمة دون الوصول إليها بالضرورة.
نوع: محتوى تعليمي
خطوط التقارب (asymptotes)
خط يقترب من منحنى الدالة دون أن يصله.
نوع: محتوى تعليمي
الدالة المتصلة (continuous function)
تكون الدالة متصلة إذا لم يكن في تمثيلها البياني أي انقطاع أو قفزة.
نوع: محتوى تعليمي
عدم الاتصال القابل للإزالة (removable discontinuity)
نقاط عدم اتصال قابلة للإزالة تحدث غالبًا عندما يكون بين بسط ومقام الدالة النسبية عوامل مشتركة.
نوع: محتوى تعليمي
متوسط معدل التغير (average rate of change)
متوسط معدل التغير بين نقطتين على منحنى الدالة f(x) هو ميل المستقيم المار بهاتين النقطتين.
نوع: محتوى تعليمي
اختبار سريع
نوع: محتوى تعليمي
استعمل التمثيل البياني لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي:
نوع: QUESTION_HOMEWORK
q(x) = -2/x
نوع: QUESTION_HOMEWORK
m(x) = (7 - 10x) / (2x + 7)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
3) صناعة: يمكن تقدير معدل التكلفة بالريال لإنتاج x قطعة من منتج ما باستعمال الدالة A(x) = 1700/x + 1200. صف سلوك الدالة باستعمال التمثيل البياني للحاسبة البيانية عندما تقترب x من موجب مالانهاية.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
4) أوجد متوسط معدل تغير الدالة f(x) = -2x³ - 5x² + 6 على الفترة [-4, -1]
نوع: محتوى تعليمي
أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية والأفقية (إن وجدت) لكل دالة مما يأتي:
نوع: QUESTION_HOMEWORK
f(x) = 4x² / (2x² + 1)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
h(x) = (2x² - 8) / (x - 10)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
f(x) = ((x - 1)(x + 5)) / ((x + 2)(x - 4))
نوع: QUESTION_HOMEWORK
g(x) = (x² - 16) / ((x - 2)(x + 4))
نوع: محتوى تعليمي
أوجد الحدود الأربعة التالية في كل متتابعة مما يأتي:
نوع: QUESTION_HOMEWORK
8, 3, -2, -7, ...
نوع: QUESTION_HOMEWORK
5, -1, -7, -13, ...
نوع: QUESTION_HOMEWORK
5, -10, 20, -40, ...
نوع: QUESTION_HOMEWORK
-28, -21, -14, -7, ...
🔍 عناصر مرئية
Graph of f(x) = 1/x showing vertical and horizontal asymptotes at the axes. A label 'خط تقارب' points to the x-axis.
A continuous curve with peaks and valleys. Text below states 'f(x) متصلة لجميع قيم x'.
Graph showing a curve y=f(x) and a straight line passing through two points labeled (x1, f(x1)) and (x2, f(x2)).
Graph of q(x) = -2/x. The curve has two branches: one in the second quadrant (x < 0, y > 0) and one in the fourth quadrant (x > 0, y < 0). As x approaches 0 from the left, y goes to infinity. As x approaches 0 from the right, y goes to negative infinity. Both ends approach the x-axis as x goes to +/- infinity.
Graph of m(x) = (7 - 10x) / (2x + 7). The grid is labeled with values -12, -8, 0, 8, 12 on both axes. There is a vertical asymptote at x = -3.5 and a horizontal asymptote at y = -5. The curve passes through (0, 1).
📄 النص الكامل للصفحة
رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa
التهيئة للفصل 8
مراجعة المفردات
النهاية (limit)
الاقتراب من قيمة دون الوصول إليها بالضرورة.
خطوط التقارب (asymptotes)
خط يقترب من منحنى الدالة دون أن يصله.
الدالة المتصلة (continuous function)
تكون الدالة متصلة إذا لم يكن في تمثيلها البياني أي انقطاع أو قفزة.
عدم الاتصال القابل للإزالة (removable discontinuity)
نقاط عدم اتصال قابلة للإزالة تحدث غالبًا عندما يكون بين بسط ومقام الدالة النسبية عوامل مشتركة.
متوسط معدل التغير (average rate of change)
متوسط معدل التغير بين نقطتين على منحنى الدالة f(x) هو ميل المستقيم المار بهاتين النقطتين.
اختبار سريع
استعمل التمثيل البياني لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي:
q(x) = -2/x
m(x) = (7 - 10x) / (2x + 7)
3) صناعة: يمكن تقدير معدل التكلفة بالريال لإنتاج x قطعة من منتج ما باستعمال الدالة A(x) = 1700/x + 1200. صف سلوك الدالة باستعمال التمثيل البياني للحاسبة البيانية عندما تقترب x من موجب مالانهاية.
4) أوجد متوسط معدل تغير الدالة f(x) = -2x³ - 5x² + 6 على الفترة [-4, -1]
أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية والأفقية (إن وجدت) لكل دالة مما يأتي:
f(x) = 4x² / (2x² + 1)
h(x) = (2x² - 8) / (x - 10)
f(x) = ((x - 1)(x + 5)) / ((x + 2)(x - 4))
g(x) = (x² - 16) / ((x - 2)(x + 4))
أوجد الحدود الأربعة التالية في كل متتابعة مما يأتي:
8, 3, -2, -7, ...
5, -1, -7, -13, ...
5, -10, 20, -40, ...
-28, -21, -14, -7, ...
--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: Graph of f(x) = 1/x showing vertical and horizontal asymptotes at the axes. A label 'خط تقارب' points to the x-axis.
X-axis: x
Y-axis: y
**GRAPH**: Untitled
Description: A continuous curve with peaks and valleys. Text below states 'f(x) متصلة لجميع قيم x'.
X-axis: x
Y-axis: y
**GRAPH**: Untitled
Description: Graph showing a curve y=f(x) and a straight line passing through two points labeled (x1, f(x1)) and (x2, f(x2)).
X-axis: x
Y-axis: y
**GRAPH**: Untitled
Description: Graph of q(x) = -2/x. The curve has two branches: one in the second quadrant (x < 0, y > 0) and one in the fourth quadrant (x > 0, y < 0). As x approaches 0 from the left, y goes to infinity. As x approaches 0 from the right, y goes to negative infinity. Both ends approach the x-axis as x goes to +/- infinity.
X-axis: x
Y-axis: y
**GRAPH**: Untitled
Description: Graph of m(x) = (7 - 10x) / (2x + 7). The grid is labeled with values -12, -8, 0, 8, 12 on both axes. There is a vertical asymptote at x = -3.5 and a horizontal asymptote at y = -5. The curve passes through (0, 1).
X-axis: x
Y-axis: y
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 11
سؤال 1، 2: استعمل التمثيل البياني لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي:
1) $q(x) = -\frac{2}{x}$
2) $m(x) = \frac{7 - 10x}{2x + 7}$
الإجابة: س1: عندما $x \rightarrow 0^-$ فإن $q(x) \rightarrow \infty$ ، وعندما $x \rightarrow 0^+$ فإن $q(x) \rightarrow -\infty$ ، وعندما $x \rightarrow \infty$ فإن $q(x) \rightarrow 0$ ، وعندما $x \rightarrow -\infty$ فإن $q(x) \rightarrow 0$
س2: عندما $x \rightarrow \infty$ فإن $m(x) \rightarrow -5$ ، وعندما $x \rightarrow -\infty$ فإن $m(x) \rightarrow -5$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (تحليل الدالة الأولى):**
لندرس الدالة $q(x) = -\frac{2}{x}$. نلاحظ أن الدالة غير معرفة عند $x=0$.
- عندما نقترب من الصفر من جهة اليسار ($x \rightarrow 0^-$)، نجد أن قيم الدالة تتزايد بلا حدود نحو الموجب، أي $q(x) \rightarrow \infty$.
- وعندما نقترب من الصفر من جهة اليمين ($x \rightarrow 0^+$)، نجد أن قيم الدالة تتناقص بلا حدود نحو السالب، أي $q(x) \rightarrow -\infty$.
- **الخطوة 2 (سلوك الأطراف للدالة الأولى):**
عندما تبتعد $x$ نحو المالانهاية الموجبة أو السالبة ($x \rightarrow \pm\infty$):
نلاحظ أن قيمة الكسر $-\frac{2}{x}$ تقترب جداً من الصفر.
إذن: عندما $x \rightarrow \infty$ فإن $q(x) \rightarrow 0$، وعندما $x \rightarrow -\infty$ فإن $q(x) \rightarrow 0$.
- **الخطوة 3 (تحليل الدالة الثانية):**
لندرس الدالة $m(x) = \frac{7 - 10x}{2x + 7}$. لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني، ننظر إلى درجة البسط والمقام.
بما أن الدرجتين متساويتان (الدرجة الأولى)، فإن السلوك عند المالانهاية يحدده معامل أكبر قوة في البسط على معامل أكبر قوة في المقام:
$$\frac{-10}{2} = -5$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن، عندما تبتعد $x$ نحو المالانهاية (سواء الموجبة أو السالبة)، فإن قيمة الدالة تقترب من الخط الأفقي $-5$.
بالتالي: عندما $x \rightarrow \infty$ فإن $m(x) \rightarrow -5$، وعندما $x \rightarrow -\infty$ فإن $m(x) \rightarrow -5$.
سؤال 3: 3) صناعة: يمكن تقدير معدل التكلفة بالريال لإنتاج x قطعة من منتج ما باستعمال الدالة $A(x) = \frac{1700}{x} + 1200$. صف سلوك الدالة باستعمال التمثيل البياني للحاسبة البيانية عندما تقترب x من موجب مالانهاية.
الإجابة: س:3 $A(x) \rightarrow 1200$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (تحليل الدالة):**
لدينا دالة التكلفة $A(x) = \frac{1700}{x} + 1200$. المطلوب هو معرفة ماذا يحدث للتكلفة عندما يزداد عدد القطع $x$ بشكل كبير جداً (يقترب من موجب مالانهاية).
- **الخطوة 2 (تطبيق المفهوم):**
عندما تقترب $x$ من $\infty$، فإن قيمة الكسر $\frac{1700}{x}$ تقترب من الصفر (لأننا نقسم ثابتاً على رقم ضخم جداً).
بالتعويض في الدالة:
$$A(x) \approx 0 + 1200$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
هذا يعني أن التكلفة ستقترب من قيمة ثابتة وهي 1200 ريال.
إذن: عندما $x \rightarrow \infty$ فإن $A(x) \rightarrow 1200$.
سؤال 4: 4) أوجد متوسط معدل تغير الدالة $f(x) = -2x^3 - 5x^2 + 6$ على الفترة $[-4, -1]$
الإجابة: س:4 -17
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (القانون):**
لإيجاد متوسط معدل التغير على الفترة $[a, b]$، نستخدم القانون:
$$m_{sec} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ حيث $a = -4$ و $b = -1$.
- **الخطوة 2 (التعويض في الدالة):**
نحسب قيمة الدالة عند طرفي الفترة:
- $f(-1) = -2(-1)^3 - 5(-1)^2 + 6 = -2(-1) - 5(1) + 6 = 2 - 5 + 6 = 3$
- $f(-4) = -2(-4)^3 - 5(-4)^2 + 6 = -2(-64) - 5(16) + 6 = 128 - 80 + 6 = 54$
- **الخطوة 3 (الحساب النهائي):**
نعوض في قانون معدل التغير:
$$m_{sec} = \frac{3 - 54}{-1 - (-4)} = \frac{-51}{3} = -17$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن متوسط معدل التغير هو **-17**.
سؤال 5: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية والأفقية (إن وجدت) لكل دالة مما يأتي:
5) $f(x) = \frac{4x^2}{2x^2 + 1}$
الإجابة: س:5: الرأسي: لا يوجد
الأفقي: $y = 2$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (خط التقارب الرأسي):**
نبحث عن القيم التي تجعل المقام صفراً: $2x^2 + 1 = 0$.
بما أن $x^2$ دائماً موجبة أو صفر، فإن $2x^2 + 1$ ستكون دائماً أكبر من أو تساوي 1، ولا يمكن أن تساوي صفراً في الأعداد الحقيقية.
لذلك: **لا يوجد خط تقارب رأسي**.
- **الخطوة 2 (خط التقارب الأفقي):**
نقارن درجة البسط بدرجة المقام. كلاهما من الدرجة الثانية.
خط التقارب الأفقي يكون ناتج قسمة المعاملات الرئيسة:
$$y = \frac{4}{2} = 2$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن: الرأسي: لا يوجد، والأفقي: **y = 2**.
سؤال 6: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية والأفقية (إن وجدت) لكل دالة مما يأتي:
6) $h(x) = \frac{2x^2 - 8}{x - 10}$
الإجابة: س:6: الرأسي: $x = 10$
الأفقي: لا يوجد
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (خط التقارب الرأسي):**
نساوي المقام بالصفر لإيجاد أصفار المقام:
$$x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$$
إذن خط التقارب الرأسي هو **x = 10**.
- **الخطوة 2 (خط التقارب الأفقي):**
نقارن درجة البسط (الثانية) بدرجة المقام (الأولى).
بما أن درجة البسط أكبر من درجة المقام، فلا يوجد خط تقارب أفقي (بل يوجد خط تقارب مائل).
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن: الرأسي: **x = 10**، والأفقي: **لا يوجد**.
سؤال 7: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية والأفقية (إن وجدت) لكل دالة مما يأتي:
7) $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 5)}{(x + 2)(x - 4)}$
الإجابة: س:7: الرأسي: $x = -2, x = 4$
الأفقي: $y = 1$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (خط التقارب الرأسي):**
نبحث عن القيم التي تجعل المقام صفراً:
$(x + 2)(x - 4) = 0$
هذا يعطينا قيمتين: $x = -2$ و $x = 4$.
إذن خطوط التقارب الرأسية هي **x = -2, x = 4**.
- **الخطوة 2 (خط التقارب الأفقي):**
إذا فككنا الأقواس، سنجد أن أعلى قوة في البسط هي $x^2$ ومعاملها 1، وأعلى قوة في المقام هي $x^2$ ومعاملها 1.
بما أن الدرجات متساوية، فإن خط التقارب الأفقي هو:
$$y = \frac{1}{1} = 1$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن: الرأسي: **x = -2, x = 4**، والأفقي: **y = 1**.
سؤال 8: أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية والأفقية (إن وجدت) لكل دالة مما يأتي:
8) $g(x) = \frac{x^2 - 16}{(x - 2)(x + 4)}$
الإجابة: س:8: الرأسي: $x = 2$
الأفقي: $y = 1$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (التبسيط):**
نحلل البسط أولاً: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
الدالة تصبح: $g(x) = \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)(x + 4)}$.
نلاحظ وجود عامل مشترك $(x + 4)$، مما يعني وجود "فجوة" عند $x = -4$ وليس خط تقارب.
- **الخطوة 2 (خط التقارب الرأسي):**
بعد التبسيط، يتبقى في المقام $(x - 2)$. نساويه بالصفر:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
إذن خط التقارب الرأسي هو **x = 2**.
- **الخطوة 3 (خط التقارب الأفقي):**
درجة البسط (الثانية) تساوي درجة المقام (الثانية). المعاملات الرئيسة هي 1 في البسط و 1 في المقام.
إذن خط التقارب الأفقي هو **y = 1**.
سؤال 9: أوجد الحدود الأربعة التالية في كل متتابعة مما يأتي:
9) 8, 3, -2, -7, ...
الإجابة: س:9:
-12, -17, -22, -27
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (اكتشاف النمط):**
لنحسب الفرق بين كل حدين متتاليين:
$3 - 8 = -5$
$-2 - 3 = -5$
$-7 - (-2) = -5$
نلاحظ أن المتتابعة حسابية وأساسها $d = -5$.
- **الخطوة 2 (إيجاد الحدود):**
نطرح 5 من آخر حد وصلنا إليه بشكل متكرر:
- الحد التالي: $-7 - 5 = -12$
- الذي يليه: $-12 - 5 = -17$
- الذي يليه: $-17 - 5 = -22$
- الذي يليه: $-22 - 5 = -27$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
الحدود الأربعة هي: **-12, -17, -22, -27**
سؤال 10: أوجد الحدود الأربعة التالية في كل متتابعة مما يأتي:
10) 5, -1, -7, -13, ...
الإجابة: س:10:
-19, -25, -31, -37
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (اكتشاف النمط):**
لنحسب الفرق:
$-1 - 5 = -6$
$-7 - (-1) = -6$
$-13 - (-7) = -6$
المتتابعة حسابية وأساسها $d = -6$.
- **الخطوة 2 (إيجاد الحدود):**
نطرح 6 في كل مرة:
- $-13 - 6 = -19$
- $-19 - 6 = -25$
- $-25 - 6 = -31$
- $-31 - 6 = -37$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
الحدود الأربعة هي: **-19, -25, -31, -37**
سؤال 11: أوجد الحدود الأربعة التالية في كل متتابعة مما يأتي:
11) 5, -10, 20, -40, ...
الإجابة: س:11:
80, -160, 320, -640
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (اكتشاف النمط):**
لنحاول إيجاد النسبة بين الحدود:
$-10 \div 5 = -2$
$20 \div -10 = -2$
$-40 \div 20 = -2$
نلاحظ أن المتتابعة هندسية وأساسها $r = -2$.
- **الخطوة 2 (إيجاد الحدود):**
نضرب آخر حد في -2 بشكل متكرر:
- $-40 \times -2 = 80$
- $80 \times -2 = -160$
- $-160 \times -2 = 320$
- $320 \times -2 = -640$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
الحدود الأربعة هي: **80, -160, 320, -640**
سؤال 12: أوجد الحدود الأربعة التالية في كل متتابعة مما يأتي:
12) -28, -21, -14, -7, ...
الإجابة: س:12:
0, 7, 14, 21
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (اكتشاف النمط):**
لنحسب الفرق:
$-21 - (-28) = 7$
$-14 - (-21) = 7$
$-7 - (-14) = 7$
المتتابعة حسابية وأساسها $d = 7$.
- **الخطوة 2 (إيجاد الحدود):**
نضيف 7 في كل مرة:
- $-7 + 7 = 0$
- $0 + 7 = 7$
- $7 + 7 = 14$
- $14 + 7 = 21$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
الحدود الأربعة هي: **0, 7, 14, 21**