مثال 2 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

في المثال 1، لاحظ أن (1 + 3x-) lim x→2 هي نفسها (2)f، إلا أن نهاية الدالة لا تساوي دائماً قيمة الدالة.

تقدير النهاية (النهاية لا تساوي قيمة الدالة) قدّر lim (x² - 9) / (x - 3) عندما x تقترب من 3 باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم.

التحليل بيانياً

مجال الدالة R - {3} يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = (x² - 9) / (x - 3) المجاور، أنه كلما اقتربت x من العدد 3، فإن قيمة f(x) المقابلة لها تقترب من العدد 6؛ لذا فإن بإمكاننا تقدير أن: lim (x² - 9) / (x - 3) = 6 عندما x تقترب من 3

التعزيز عددياً

كوّن جدولاً لقيم f(x)، وذلك باختيار قيم x القريبة من العدد 3 من كلا الجهتين. x تقترب من 3 من اليسار ← 3 → x تقترب من 3 من اليمين

يُبيّن نمط قيم f(x)، أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 3، فإن قيم f(x) تقترب من العدد 6، وذلك يعزّز تحليلنا البياني.

قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك من خلال جدول قيم.

في المثال 2، لاحظ أن قيم f(x) تقترب من العدد 6 عند اقتراب قيم x من العدد 3، على الرغم من أن f(3) ≠ 6. فالعبارة (x² - 9) / (x - 3) غير معرّفة عندما x = 3. وهذه الملاحظة توضّح مفهوماً مهماً في النهايات.

عدم اعتماد النهاية على قيمة الدالة عند نقطة

التعبير اللفظي: لا تعتمد نهاية f(x) عندما تقترب x من العدد c على قيمة الدالة عند c. الأمثلة:

جداول: لإنشاء جدول باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire، أدخل الدالة إلى الحاسبة باستعمال قائمة on، ثم اختيار الجدول بالضغط على ... ثم اكتب قيم x للاقتراب من قيمة محددة.

إن النهاية عند عدد لا تعني قيمة الدالة عند ذلك العدد، وإنما قيمة الدالة عندما تقترب x من ذلك العدد.

129 الدرس 1-8 تقدير النهايات بيانياً

في المثال 1، لاحظ أن (1 + 3x-) lim x→2 هي نفسها (2)f، إلا أن نهاية الدالة لا تساوي دائماً قيمة الدالة. --- SECTION: مثال 2 --- تقدير النهاية (النهاية لا تساوي قيمة الدالة) قدّر lim (x² - 9) / (x - 3) عندما x تقترب من 3 باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم. --- SECTION: التحليل بيانياً --- التحليل بيانياً مجال الدالة R - {3} يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = (x² - 9) / (x - 3) المجاور، أنه كلما اقتربت x من العدد 3، فإن قيمة f(x) المقابلة لها تقترب من العدد 6؛ لذا فإن بإمكاننا تقدير أن: lim (x² - 9) / (x - 3) = 6 عندما x تقترب من 3 --- SECTION: التعزيز عددياً --- التعزيز عددياً كوّن جدولاً لقيم f(x)، وذلك باختيار قيم x القريبة من العدد 3 من كلا الجهتين. x تقترب من 3 من اليسار ← 3 → x تقترب من 3 من اليمين يُبيّن نمط قيم f(x)، أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 3، فإن قيم f(x) تقترب من العدد 6، وذلك يعزّز تحليلنا البياني. --- SECTION: تحقق من فهمك --- قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك من خلال جدول قيم. 2A. lim (x + 2) / (x² - 4) عندما x تقترب من -2 2B. lim (x² - 4x - 5) / (x - 5) عندما x تقترب من 5 في المثال 2، لاحظ أن قيم f(x) تقترب من العدد 6 عند اقتراب قيم x من العدد 3، على الرغم من أن f(3) ≠ 6. فالعبارة (x² - 9) / (x - 3) غير معرّفة عندما x = 3. وهذه الملاحظة توضّح مفهوماً مهماً في النهايات. --- SECTION: مفهوم أساسي --- عدم اعتماد النهاية على قيمة الدالة عند نقطة التعبير اللفظي: لا تعتمد نهاية f(x) عندما تقترب x من العدد c على قيمة الدالة عند c. الأمثلة: --- SECTION: إرشاد تقني --- جداول: لإنشاء جدول باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire، أدخل الدالة إلى الحاسبة باستعمال قائمة on، ثم اختيار الجدول بالضغط على ... ثم اكتب قيم x للاقتراب من قيمة محددة. إن النهاية عند عدد لا تعني قيمة الدالة عند ذلك العدد، وإنما قيمة الدالة عندما تقترب x من ذلك العدد. 129 الدرس 1-8 تقدير النهايات بيانياً --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: No description Context: Shows a linear function with a discontinuity (hole) at x=3, where the limit as x approaches 3 is 6. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: 2.9 | 5.9 Row 2: 2.99 | 5.99 Row 3: 2.999 | 5.999 Row 4: 3 | ______ Row 5: 3.001 | 6.001 Row 6: 3.01 | 6.01 Row 7: 3.1 | 6.1 Empty cells: f(3) is undefined Context: Numerical reinforcement showing values of f(x) approaching 6 as x approaches 3 from both sides. **IMAGE**: Untitled Description: Screenshot of a TI-nspire calculator showing a table of values for the function (x^2-9)/(x-3). **DIAGRAM**: Untitled Description: Three graphs illustrating that the limit L as x approaches c does not depend on the function value at c. Key Values: Graph 1: f(c) is undefined, lim f(x) = L, Graph 2: g(c) = n (where n != L), lim g(x) = L, Graph 3: h(c) = L, lim h(x) = L Context: Visualizes the definition of a limit and its independence from the function's value at the point of approach.