مفهوم أساسي: النهايات من جهة واحدة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

لاحظ أننا عندما نقدّر النهاية باستعمال التمثيل البياني أو جدول القيم، فإننا نبحث عن قيمة f(x) عندما تقترب x من c من كلا الجهتين. ويمكننا إيجاز وصف سلوك التمثيل البياني عن يمين عدد أو عن يساره بمفردة النهاية من جهة واحدة.

النهاية من اليمين: إذا اقتربت قيم f(x) من قيمة وحيدة L1، عند اقتراب قيم x من العدد c من اليمين، فإن: lim f(x) = L1 (x→c+). وتقرأ: نهاية f(x) عندما تقترب x من c من اليمين هي L1. النهاية من اليسار: إذا اقتربت قيم f(x) من قيمة وحيدة L2، عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار، فإن: lim f(x) = L2 (x→c-). وتقرأ: نهاية f(x) عندما تقترب x من c من اليسار هي L2. يمكننا باستعمال هذين التعريفين إيجاز ما تعنيه مفردة النهاية من جهتين، وما يعنيه كونها موجودة.

النهاية من اليمين والنهاية من اليسار للدالة: لمناقشة النهاية من اليمين لدالة عند c يجب أن نضمن أن الدالة معرّفة على يمين c على فترة (c, b). ولمناقشة النهاية من اليسار لدالة عند c يجب أن نضمن أن الدالة معرّفة على يسار c على فترة (a, c).

تكون نهاية f(x) موجودة عندما تقترب x من c، إذا وفقط إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين، أي أنه: lim f(x) = lim f(x) = L (x→c- , x→c+) إذا وفقط إذا كان lim f(x) = L (x→c)

تقدير النهاية من جهة واحدة ومن جهتين قدّر إن أمكن كلاً من النهايات الآتية باستعمال التمثيل البياني للدالة:

الحل (a): يبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = |2x|/x أن: lim |2x|/x = -2 (x→0-) ، lim |2x|/x = 2 (x→0+). وبما أن النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين، فإن lim |2x|/x (x→0) غير موجودة. الحل (b): يبيّن التمثيل البياني للدالة g(x) أن: lim g(x) = 4 (x→-3-) ، lim g(x) = 4 (x→-3+). وبما أن النهايتين من اليسار ومن اليمين متساويتان، فإن lim g(x) (x→-3) موجودة وتساوي 4.

وصف النهاية: إذا كانت النهايتان من اليسار ومن اليمين غير متساويتين، فإننا نقول: إن النهاية غير موجودة.

قدّر إن أمكن كلاً من النهايات الآتية إذا كانت موجودة:

130 الفصل 8 النهايات والاشتقاق

لاحظ أننا عندما نقدّر النهاية باستعمال التمثيل البياني أو جدول القيم، فإننا نبحث عن قيمة f(x) عندما تقترب x من c من كلا الجهتين. ويمكننا إيجاز وصف سلوك التمثيل البياني عن يمين عدد أو عن يساره بمفردة النهاية من جهة واحدة. --- SECTION: مفهوم أساسي: النهايات من جهة واحدة --- النهاية من اليمين: إذا اقتربت قيم f(x) من قيمة وحيدة L1، عند اقتراب قيم x من العدد c من اليمين، فإن: lim f(x) = L1 (x→c+). وتقرأ: نهاية f(x) عندما تقترب x من c من اليمين هي L1. النهاية من اليسار: إذا اقتربت قيم f(x) من قيمة وحيدة L2، عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار، فإن: lim f(x) = L2 (x→c-). وتقرأ: نهاية f(x) عندما تقترب x من c من اليسار هي L2. يمكننا باستعمال هذين التعريفين إيجاز ما تعنيه مفردة النهاية من جهتين، وما يعنيه كونها موجودة. --- SECTION: تنبيه! --- النهاية من اليمين والنهاية من اليسار للدالة: لمناقشة النهاية من اليمين لدالة عند c يجب أن نضمن أن الدالة معرّفة على يمين c على فترة (c, b). ولمناقشة النهاية من اليسار لدالة عند c يجب أن نضمن أن الدالة معرّفة على يسار c على فترة (a, c). --- SECTION: مفهوم أساسي: النهاية عند نقطة --- تكون نهاية f(x) موجودة عندما تقترب x من c، إذا وفقط إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين، أي أنه: lim f(x) = lim f(x) = L (x→c- , x→c+) إذا وفقط إذا كان lim f(x) = L (x→c) --- SECTION: مثال 3 --- تقدير النهاية من جهة واحدة ومن جهتين قدّر إن أمكن كلاً من النهايات الآتية باستعمال التمثيل البياني للدالة: a. lim |2x|/x (x→0-), lim |2x|/x (x→0+), lim |2x|/x (x→0) b. g(x) = { 4, x ≠ -3; -2, x = -3 } حيث lim g(x) (x→-3-), lim g(x) (x→-3+), lim g(x) (x→-3) الحل (a): يبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = |2x|/x أن: lim |2x|/x = -2 (x→0-) ، lim |2x|/x = 2 (x→0+). وبما أن النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين، فإن lim |2x|/x (x→0) غير موجودة. الحل (b): يبيّن التمثيل البياني للدالة g(x) أن: lim g(x) = 4 (x→-3-) ، lim g(x) = 4 (x→-3+). وبما أن النهايتين من اليسار ومن اليمين متساويتان، فإن lim g(x) (x→-3) موجودة وتساوي 4. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- وصف النهاية: إذا كانت النهايتان من اليسار ومن اليمين غير متساويتين، فإننا نقول: إن النهاية غير موجودة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- قدّر إن أمكن كلاً من النهايات الآتية إذا كانت موجودة: 3A. lim f(x) (x→1-), lim f(x) (x→1+), lim f(x) (x→1) حيث: f(x) = { x^3 + 2, x < 1; 2x + 1, x ≥ 1 } 3B. lim g(x) (x→-2-), lim g(x) (x→-2+), lim g(x) (x→-2) حيث: g(x) = { -0.5x + 2, x < -2; -x^2, x ≥ -2 } 130 الفصل 8 النهايات والاشتقاق --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph consists of two horizontal lines. For x < 0, the line is at y = -2. For x > 0, the line is at y = 2. There is a jump discontinuity at x = 0 with open circles at both y-levels. **GRAPH**: Untitled Description: The graph is a horizontal line at y = 4 for all x except x = -3. At x = -3, there is an open circle on the line and a solid dot at y = -2.