فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

8-1 تقدير النهايات بيانياً Estimating Limits Graphically

درستُ تقدير النهايات لتحديد اتصال الدالة وسلوك طرفي تمثيلها البياني. (مهارة سابقة)

• أقدّر نهاية الدالة عند قيم محددة. • أقدّر نهاية الدالة عند المالانهاية.

النهاية من جهة واحدة one-sided limit النهاية من جهتين two-sided limit

هل هناك نهايات للأرقام المسجلة في المسابقات الرياضية لا يمكن تجاوزها؟ لقد كان الرقم القياسي المسجل في دورة الألعاب المقامة في بكين عام 2008 م لمسابقة الوثب بالزانة 5.05 m. ويمكن استعمال الدالة: f(x) = 5.334 / (1 + 62548.213(2.7)^-0.129x) لتقدير الرقم القياسي الذي تم تسجيله في هذه الرياضة للأعوام بين 1996 م و 2008 م، حيث x عدد السنوات منذ عام 1900 م، يمكنك استعمال نهاية هذه الدالة عندما تقترب x من المالانهاية؛ للتنبؤ بأكبر رقم يمكن تسجيله.

يتمحور علم التفاضل والتكامل حول مسألتين أساسيتين: • إيجاد معادلة مماس منحنى دالة عند نقطة واقعة عليه. • إيجاد مساحة المنطقة الواقعة بين التمثيل البياني للدالة والمحور x. وتُعدُّ مفاهيم النهايات أساسية لحل هاتين المسألتين. تعلمت سابقاً أنه إذا اقتربت قيم f(x) من قيمة وحيدة L، كلما اقتربت قيم x من العدد c من كلا الجهتين، فإن نهاية f(x) عندما تقترب x من c هي L، وتكتب على الصورة lim f(x) = L (x -> c). يمكنك تطبيق مفهوم النهاية لتقدير نهاية f(x) عندما تقترب x من العدد c؛ أي lim f(x) (x -> c)، وذلك من خلال تمثيل الدالة بيانياً، أو إنشاء جدول لقيم f(x).

تقدير النهاية (النهاية تساوي قيمة الدالة) قدّر lim (-3x + 1) (x -> 2) باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم. التحليل بيانياً: مثّل الدالة الخطية y = -3x + 1 بيانياً باستعمال النقطتين (-2, 1), (0, 1). يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = -3x + 1، أنه كلما اقتربت x من العدد 2، فإن قيم f(x) المقابلة تقترب من العدد 5-؛ لذا فإن بإمكاننا تقدير أن: lim (-3x + 1) = -5 (x -> 2). التعزيز عددياً: كوّن جدولاً لقيم f(x)، وذلك باختيار قيم x القريبة من العدد 2 من كلا الجهتين.

قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم.

ثابت بن قرة (221هـ - 288هـ) من أوائل من فكروا بعلم التفاضل والتكامل، حيث أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران القطع المكافئ حول محوره.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

8-1 تقدير النهايات بيانياً Estimating Limits Graphically --- SECTION: فيما سبق --- درستُ تقدير النهايات لتحديد اتصال الدالة وسلوك طرفي تمثيلها البياني. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- • أقدّر نهاية الدالة عند قيم محددة. • أقدّر نهاية الدالة عند المالانهاية. --- SECTION: المفردات --- النهاية من جهة واحدة one-sided limit النهاية من جهتين two-sided limit --- SECTION: لماذا؟ --- هل هناك نهايات للأرقام المسجلة في المسابقات الرياضية لا يمكن تجاوزها؟ لقد كان الرقم القياسي المسجل في دورة الألعاب المقامة في بكين عام 2008 م لمسابقة الوثب بالزانة 5.05 m. ويمكن استعمال الدالة: f(x) = 5.334 / (1 + 62548.213(2.7)^-0.129x) لتقدير الرقم القياسي الذي تم تسجيله في هذه الرياضة للأعوام بين 1996 م و 2008 م، حيث x عدد السنوات منذ عام 1900 م، يمكنك استعمال نهاية هذه الدالة عندما تقترب x من المالانهاية؛ للتنبؤ بأكبر رقم يمكن تسجيله. --- SECTION: تقدير النهايات عند قيم محددة --- يتمحور علم التفاضل والتكامل حول مسألتين أساسيتين: • إيجاد معادلة مماس منحنى دالة عند نقطة واقعة عليه. • إيجاد مساحة المنطقة الواقعة بين التمثيل البياني للدالة والمحور x. وتُعدُّ مفاهيم النهايات أساسية لحل هاتين المسألتين. تعلمت سابقاً أنه إذا اقتربت قيم f(x) من قيمة وحيدة L، كلما اقتربت قيم x من العدد c من كلا الجهتين، فإن نهاية f(x) عندما تقترب x من c هي L، وتكتب على الصورة lim f(x) = L (x -> c). يمكنك تطبيق مفهوم النهاية لتقدير نهاية f(x) عندما تقترب x من العدد c؛ أي lim f(x) (x -> c)، وذلك من خلال تمثيل الدالة بيانياً، أو إنشاء جدول لقيم f(x). --- SECTION: مثال 1 --- تقدير النهاية (النهاية تساوي قيمة الدالة) قدّر lim (-3x + 1) (x -> 2) باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم. التحليل بيانياً: مثّل الدالة الخطية y = -3x + 1 بيانياً باستعمال النقطتين (-2, 1), (0, 1). يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = -3x + 1، أنه كلما اقتربت x من العدد 2، فإن قيم f(x) المقابلة تقترب من العدد 5-؛ لذا فإن بإمكاننا تقدير أن: lim (-3x + 1) = -5 (x -> 2). التعزيز عددياً: كوّن جدولاً لقيم f(x)، وذلك باختيار قيم x القريبة من العدد 2 من كلا الجهتين. --- SECTION: تحقق من فهمك --- قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم. 1A. lim (1 - 5x) (x -> -3) 1B. lim (x^2 - 1) (x -> 1) --- SECTION: تاريخ الرياضيات --- ثابت بن قرة (221هـ - 288هـ) من أوائل من فكروا بعلم التفاضل والتكامل، حيث أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران القطع المكافئ حول محوره. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link. **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of an athlete performing a pole vault. **GRAPH**: Untitled Description: Conceptual illustration of a limit. Shows x-values x1, x2, c, x3, x4 on the x-axis and their corresponding f(x) values on the y-axis. Dashed lines show the convergence towards the point (c, L). X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: No description **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: 1.9 | -4.7 Row 2: 1.99 | -4.97 Row 3: 1.999 | -4.997 Row 4: 2 | EMPTY Row 5: 2.001 | -5.003 Row 6: 2.01 | -5.03 Row 7: 2.1 | -5.3 Empty cells: The cell for f(x) when x=2 is empty to indicate the limit estimation. **IMAGE**: Untitled Description: An illustration of an old parchment scroll, a quill pen, and an inkwell.