قراءة الرياضيات - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

إن عدم مقدرتنا على إيجاد قيمة نهاية للدالة f كعدد حقيقي عند الاقتراب من نقطة ثابتة ليس ناتجًا بالضرورة عن عدم تساوي النهايتين من اليسار واليمين؛ إذ من الممكن أن تزداد قيم f(x) بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من c، وفي هذه الحالة نشير إلى النهاية بالرمز ∞، أما إذا تناقصت قيم f(x) بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من c، فإننا نشير إلى النهاية بالرمز -∞.

السلوك غير المحدود: تعني زيادة أو نقصان f(x) بصورة غير محدودة عندما x → c، أنه باختيار قيمة لـ x قريبة من c بالقدر الذي نريد، فإنه يمكننا الحصول على قيمة كبيرة لـ |f(x)| بالقدر الذي نريد، وكلما كانت x قريبة من c كانت |f(x)| أكبر.

مثال 4: النهايات والسلوك غير المحدود

قدّر - إن أمكن - كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: a) lim_{x→4} 1/(x - 4)² التحليل بيانيًا: يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = 1/(x - 4)² المجاور أن: lim_{x→4⁻} 1/(x - 4)² = ∞ , lim_{x→4⁺} 1/(x - 4)² = ∞ فكلما اقتربت قيم x من العدد 4، ازدادت قيم f(x) بشكل غير محدود، وبما أن كلاً من النهايتين من اليسار ومن اليمين ∞، لذا فإن lim_{x→4} 1/(x - 4)² لا تساوي عددًا حقيقيًا، إلا أنه وبسبب كون كلتا النهايتين ∞، فإننا نصف سلوك f(x) عند العدد 4 بكتابة ∞ = lim_{x→4} 1/(x - 4)². التعزيز عدديًا: يُبيّن نمط قيم f(x) أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 4 من اليسار أو من اليمين، فإن قيم f(x) تزداد بشكل غير محدود، وذلك يعزز تحليلنا البياني.

b) lim_{x→0} 1/x التحليل بيانيًا: يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = 1/x المجاور أن: lim_{x→0⁻} 1/x = -∞ , lim_{x→0⁺} 1/x = ∞ فكلما اقتربت قيم x من العدد 0 من اليسار، قلّت قيم f(x) بشكل غير محدود، في حين تزداد قيم f(x) كلما اقتربت قيم x من العدد 0 من اليمين. إن كلتا النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين. لذا فإن lim_{x→0} 1/x غير موجودة، لذلك لا يمكننا وصف سلوك الدالة عندما x = 0 بعبارة واحدة، بمعنى أنه لا يمكن أن نكتب ∞ = lim_{x→0} 1/x، وذلك بسبب سلوك الدالة غير المحدود من اليمين واليسار. التعزيز عدديًا: يُبيّن نمط قيم f(x) أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 0 من اليسار أو من اليمين، فإن قيم f(x) إما أن تنقص أو تزداد بشكل غير محدود، وذلك يعزز تحليلنا البياني.

النهايات غير المحدودة: من الضروري أن نفهم أن العبارتين lim_{x→0⁻} f(x) = -∞ , lim_{x→0⁺} f(x) = ∞ هما فقط وصف للحالة التي بسببها lim_{x→0} f(x) غير موجودة، إذ لا يمثل الرمزان ∞ و -∞ عددين حقيقيين.

تحقق من فهمك

قدّر - إن أمكن - كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 4A) lim_{x→3} (x² - 4) / (x - 3)

4B) lim_{x→0} -2 / x⁴

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 الدرس 1-8 تقدير النهايات بيانيًا 131

إن عدم مقدرتنا على إيجاد قيمة نهاية للدالة f كعدد حقيقي عند الاقتراب من نقطة ثابتة ليس ناتجًا بالضرورة عن عدم تساوي النهايتين من اليسار واليمين؛ إذ من الممكن أن تزداد قيم f(x) بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من c، وفي هذه الحالة نشير إلى النهاية بالرمز ∞، أما إذا تناقصت قيم f(x) بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من c، فإننا نشير إلى النهاية بالرمز -∞. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- السلوك غير المحدود: تعني زيادة أو نقصان f(x) بصورة غير محدودة عندما x → c، أنه باختيار قيمة لـ x قريبة من c بالقدر الذي نريد، فإنه يمكننا الحصول على قيمة كبيرة لـ |f(x)| بالقدر الذي نريد، وكلما كانت x قريبة من c كانت |f(x)| أكبر. مثال 4: النهايات والسلوك غير المحدود قدّر - إن أمكن - كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: a) lim_{x→4} 1/(x - 4)² التحليل بيانيًا: يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = 1/(x - 4)² المجاور أن: lim_{x→4⁻} 1/(x - 4)² = ∞ , lim_{x→4⁺} 1/(x - 4)² = ∞ فكلما اقتربت قيم x من العدد 4، ازدادت قيم f(x) بشكل غير محدود، وبما أن كلاً من النهايتين من اليسار ومن اليمين ∞، لذا فإن lim_{x→4} 1/(x - 4)² لا تساوي عددًا حقيقيًا، إلا أنه وبسبب كون كلتا النهايتين ∞، فإننا نصف سلوك f(x) عند العدد 4 بكتابة ∞ = lim_{x→4} 1/(x - 4)². التعزيز عدديًا: يُبيّن نمط قيم f(x) أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 4 من اليسار أو من اليمين، فإن قيم f(x) تزداد بشكل غير محدود، وذلك يعزز تحليلنا البياني. b) lim_{x→0} 1/x التحليل بيانيًا: يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = 1/x المجاور أن: lim_{x→0⁻} 1/x = -∞ , lim_{x→0⁺} 1/x = ∞ فكلما اقتربت قيم x من العدد 0 من اليسار، قلّت قيم f(x) بشكل غير محدود، في حين تزداد قيم f(x) كلما اقتربت قيم x من العدد 0 من اليمين. إن كلتا النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين. لذا فإن lim_{x→0} 1/x غير موجودة، لذلك لا يمكننا وصف سلوك الدالة عندما x = 0 بعبارة واحدة، بمعنى أنه لا يمكن أن نكتب ∞ = lim_{x→0} 1/x، وذلك بسبب سلوك الدالة غير المحدود من اليمين واليسار. التعزيز عدديًا: يُبيّن نمط قيم f(x) أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 0 من اليسار أو من اليمين، فإن قيم f(x) إما أن تنقص أو تزداد بشكل غير محدود، وذلك يعزز تحليلنا البياني. --- SECTION: تنبيه! --- النهايات غير المحدودة: من الضروري أن نفهم أن العبارتين lim_{x→0⁻} f(x) = -∞ , lim_{x→0⁺} f(x) = ∞ هما فقط وصف للحالة التي بسببها lim_{x→0} f(x) غير موجودة، إذ لا يمثل الرمزان ∞ و -∞ عددين حقيقيين. تحقق من فهمك --- SECTION: 4A --- قدّر - إن أمكن - كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 4A) lim_{x→3} (x² - 4) / (x - 3) --- SECTION: 4B --- 4B) lim_{x→0} -2 / x⁴ وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 الدرس 1-8 تقدير النهايات بيانيًا 131 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a function with a vertical asymptote at x = 4. The curve consists of two branches. The left branch starts near the x-axis for x < 0 and rises steeply as x approaches 4 from the left. The right branch starts very high near the asymptote at x = 4 and descends towards the x-axis as x increases. Both branches point upwards towards positive infinity as they approach the line x = 4. X-axis: x Y-axis: y **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: 3.9 | 100 Row 2: 3.99 | 10000 Row 3: 3.999 | 1000000 Row 4: 4 | EMPTY Row 5: 4.001 | 1000000 Row 6: 4.01 | 10000 Row 7: 4.1 | 100 Empty cells: The cell for x = 4 is empty because the function is undefined there. Context: Numerical verification showing that as x gets closer to 4 from either side, f(x) increases rapidly towards infinity. **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows the reciprocal function f(x) = 1/x. It has a vertical asymptote at the y-axis (x = 0). In the first quadrant (x > 0), the curve starts high near the y-axis and approaches the x-axis as x increases. In the third quadrant (x < 0), the curve starts near the x-axis and descends steeply towards negative infinity as x approaches 0 from the left. X-axis: x Y-axis: y **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -0.1 | -10 Row 2: -0.01 | -100 Row 3: -0.001 | -1000 Row 4: 0 | EMPTY Row 5: 0.001 | 1000 Row 6: 0.01 | 100 Row 7: 0.1 | 10 Empty cells: The cell for x = 0 is empty because the function is undefined there. Context: Numerical verification showing that as x approaches 0 from the left, f(x) decreases towards negative infinity, and as x approaches 0 from the right, f(x) increases towards positive infinity.