إرشاد تقني - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

التذبذب اللانهائي: خاصية تتبع المسار في الحاسبة البيانية تفيد غالبًا في توقع قيمة النهاية للدالة، إلا أنه لا يمكنك الاعتماد عليها دائمًا. فهي تعتمد على عدد محدود من النقاط في تمثيل المنحنى، كما في المثال 5 المبين تمثيله أدناه. فالتمثيل بالحاسبة البيانية لم يظهر أن للدالة عددًا لا نهائيًا من التذبذبات بالقرب من الصفر.

النهايات والسلوك التذبذبي قدّر lim cos(1/x) x→0 إذا كانت موجودة. يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = cos(1/x) المجاور أن قيم f(x) تتذبذب بشكل مستمر بين العددين -1، 1 كلما اقتربت قيم x من العدد 0، مما يعني أنه لأي قيمة x1 قريبة من الصفر، بحيث f(x1) = 1، يمكنك إيجاد قيمة قريبة جدًا من الصفر مثل x2، بحيث f(x2) = -1، وبالمثل لأي قيمة قريبة من الصفر x3، بحيث f(x3) = -1، يمكنك إيجاد قيمة مثل x4 قريبة جدًا من الصفر، بحيث f(x4) = 1. أي أن lim cos(1/x) x→0 غير موجودة.

قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة:

أسباب عدم وجود نهاية عند نقطة تكون lim f(x) x→c غير موجودة في الحالات الآتية: • عندما تقترب قيم f(x) من قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار ومن اليمين. • عندما تزداد قيم f(x) بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار وتتناقص قيمها بشكل غير محدود عند اقتراب x من العدد c من اليمين، أو العكس. • عندما تتذبذب قيم f(x) بين قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من العدد c.

درست فيما سبق استعمال النهايات لوصف سلوك f(x) عندما تقترب x من عدد ثابت c، وتستعمل النهايات أيضًا لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة. وهو سلوك الدالة عند ازدياد أو نقصان قيم x بشكل غير محدود. وفيما يأتي ملخص لرموز هذه النهايات.

النهايات عند المالانهاية • إذا اقتربت قيم f(x) من عدد وحيد L1 عند ازدياد قيم x بشكل غير محدود، فإن: lim f(x) = L1 x→∞ ، وتُقرأ «نهاية f(x) عندما تقترب x من موجب مالانهاية هي L1» • إذا اقتربت قيم f(x) من عدد وحيد L2 عند نقصان قيم x بشكل غير محدود، فإن: lim f(x) = L2 x→-∞ ، وتُقرأ «نهاية f(x) عندما تقترب x من سالب مالانهاية هي L2»

درست سابقًا أنه إذا اقتربت قيم الدالة من ∞ أو -∞ عند اقتراب قيم x من عدد ثابت c، فإن ذلك يعني وجود خط تقارب رأسي للدالة، كما درست أن خط التقارب الأفقي يحدث عندما تقترب قيم الدالة من عدد حقيقي كلما اقتربت قيم x من ∞ أو -∞، بمعنى: • المستقيم x = c هو خط تقارب رأسي للدالة f، إذا كانت lim f(x) = ±∞ x→c+ أو lim f(x) = ±∞ x→c- أو كليهما. • المستقيم y = c هو خط تقارب أفقي للدالة f، إذا كانت lim f(x) = c x→∞ أو lim f(x) = c x→-∞.

--- SECTION: إرشاد تقني --- التذبذب اللانهائي: خاصية تتبع المسار في الحاسبة البيانية تفيد غالبًا في توقع قيمة النهاية للدالة، إلا أنه لا يمكنك الاعتماد عليها دائمًا. فهي تعتمد على عدد محدود من النقاط في تمثيل المنحنى، كما في المثال 5 المبين تمثيله أدناه. فالتمثيل بالحاسبة البيانية لم يظهر أن للدالة عددًا لا نهائيًا من التذبذبات بالقرب من الصفر. --- SECTION: مثال 5 --- النهايات والسلوك التذبذبي قدّر lim cos(1/x) x→0 إذا كانت موجودة. يُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = cos(1/x) المجاور أن قيم f(x) تتذبذب بشكل مستمر بين العددين -1، 1 كلما اقتربت قيم x من العدد 0، مما يعني أنه لأي قيمة x1 قريبة من الصفر، بحيث f(x1) = 1، يمكنك إيجاد قيمة قريبة جدًا من الصفر مثل x2، بحيث f(x2) = -1، وبالمثل لأي قيمة قريبة من الصفر x3، بحيث f(x3) = -1، يمكنك إيجاد قيمة مثل x4 قريبة جدًا من الصفر، بحيث f(x4) = 1. أي أن lim cos(1/x) x→0 غير موجودة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 5A. lim sin(1/x) x→0 5B. lim (x^2 sin x) x→0 --- SECTION: ملخص المفهوم --- أسباب عدم وجود نهاية عند نقطة تكون lim f(x) x→c غير موجودة في الحالات الآتية: • عندما تقترب قيم f(x) من قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار ومن اليمين. • عندما تزداد قيم f(x) بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار وتتناقص قيمها بشكل غير محدود عند اقتراب x من العدد c من اليمين، أو العكس. • عندما تتذبذب قيم f(x) بين قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من العدد c. --- SECTION: تقدير النهاية عند المالانهاية --- درست فيما سبق استعمال النهايات لوصف سلوك f(x) عندما تقترب x من عدد ثابت c، وتستعمل النهايات أيضًا لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة. وهو سلوك الدالة عند ازدياد أو نقصان قيم x بشكل غير محدود. وفيما يأتي ملخص لرموز هذه النهايات. --- SECTION: مفهوم أساسي --- النهايات عند المالانهاية • إذا اقتربت قيم f(x) من عدد وحيد L1 عند ازدياد قيم x بشكل غير محدود، فإن: lim f(x) = L1 x→∞ ، وتُقرأ «نهاية f(x) عندما تقترب x من موجب مالانهاية هي L1» • إذا اقتربت قيم f(x) من عدد وحيد L2 عند نقصان قيم x بشكل غير محدود، فإن: lim f(x) = L2 x→-∞ ، وتُقرأ «نهاية f(x) عندما تقترب x من سالب مالانهاية هي L2» درست سابقًا أنه إذا اقتربت قيم الدالة من ∞ أو -∞ عند اقتراب قيم x من عدد ثابت c، فإن ذلك يعني وجود خط تقارب رأسي للدالة، كما درست أن خط التقارب الأفقي يحدث عندما تقترب قيم الدالة من عدد حقيقي كلما اقتربت قيم x من ∞ أو -∞، بمعنى: • المستقيم x = c هو خط تقارب رأسي للدالة f، إذا كانت lim f(x) = ±∞ x→c+ أو lim f(x) = ±∞ x→c- أو كليهما. • المستقيم y = c هو خط تقارب أفقي للدالة f، إذا كانت lim f(x) = c x→∞ أو lim f(x) = c x→-∞. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a function that oscillates rapidly between y = 1 and y = -1 as x approaches 0 from both sides. The frequency of oscillation increases infinitely as x gets closer to 0, creating a solid block of color near the y-axis due to the density of the waves. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates a limit that does not exist due to oscillating behavior. **GRAPH**: Calculator View Description: A black and white representation of a calculator screen showing the graph of cos(1/x). Key Values: [-0.25, 0.25] scl: 0.05, [-1.5, 1.5] scl: 1 Context: Shows how digital tools might misrepresent infinite oscillation due to pixel resolution.