المتجه الموازن - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: المتجه الموازن

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

29) تنظيف: يدفع حسن عصا مكنسة التنظيف بقوة مقدارها 190N ، وبزاوية قياسها 33° مع سطح الأرض كما في الشكل المجاور. (مثال 5)

30

نوع: QUESTION_HOMEWORK

30) لعب أطفال: يدفع محمد عربة أخته بقوة مقدارها 100N، وباتجاه 31° مع الأفقي، أوجد مقدار المركبة الرأسية للقوة إلى أقرب عدد صحيح.

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

31) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي ضرب متجه في عدد حقيقي.

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

32) أوجد طول واتجاه المتجه الموازن للمتجهين: a = 15 mi/h ، باتجاه 125° b = 12 mi/h ، باتجاه 045°

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

33) كرة حديدية: عُلقت كرة حديدية بحبلين متساويين في الطول كما في الشكل أدناه.

نوع: محتوى تعليمي

أوجد طول كل متجه واتجاهه مما يأتي بمعلومية مركبتيه الأفقية والرأسية، والمدى الممكن لزاوية كل منها:

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

34) الأفقية 0.32 in ، الرأسية 2.28 in ، 180° < θ < 90° .

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

35) الأفقية 3.1 ft ، الرأسية 4.2 ft ، 90° < θ < 0° .

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

36) الأفقية 2.6 cm ، الرأسية 9.7 cm ، 360° < θ < 270° .

نوع: محتوى تعليمي

ارسم ثلاثة متجهات a, b, c ؛ لتوضح صحة كل خاصية من الخصائص الآتية هندسياً:

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

37) الخاصية الإبدالية a + b = b + a

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

38) الخاصية التجميعية (a + b) + c = a + (b + c)

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

39) الخاصية التوزيعية k(a + b) = ka + kb ، حيث k = 2, 0.5, -2

المتجه الموازن

نوع: محتوى تعليمي

المتجه الموازن هو متجه يساوي متجه المحصلة في المقدار ويعاكسه في الاتجاه، بحيث إن ناتج جمع متجه المحصلة مع المتجه الموازن يساوي المتجه الصفري، والمتجه الموازن للمتجه a + b هو -(a + b).

🔍 عناصر مرئية

رسم توضيحي لشخص يدفع مكنسة كهربائية. يظهر متجه القوة مائلاً بزاوية 33 درجة مع الأفقي ومقداره 190 نيوتن.

رسم توضيحي لكرة حديدية معلقة بحبلين من سقف أفقي. الزاوية بين كل حبل والسقف هي 15 درجة. وزن الكرة مكتوب عليه 12 باوند.

مخطط اتجاهي يوضح جمع المتجهين a و b للحصول على المحصلة a+b (ممثلة بخط متقطع أخضر)، ويظهر المتجه الموازن -(a+b) في الاتجاه المعاكس تماماً للمحصلة وبنفس طولها.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 29 --- 29) تنظيف: يدفع حسن عصا مكنسة التنظيف بقوة مقدارها 190N ، وبزاوية قياسها 33° مع سطح الأرض كما في الشكل المجاور. (مثال 5) a. ارسم شكلاً يوضح تحليل هذه القوة إلى مركبتيها المتعامدتين. b. أوجد مقدار كل من المركبة الأفقية والمركبة الرأسية. --- SECTION: 30 --- 30) لعب أطفال: يدفع محمد عربة أخته بقوة مقدارها 100N، وباتجاه 31° مع الأفقي، أوجد مقدار المركبة الرأسية للقوة إلى أقرب عدد صحيح. --- SECTION: 31 --- 31) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي ضرب متجه في عدد حقيقي. a. بيانياً: ارسم المتجه a على المستوى الإحداثي، بحيث تكون نقطة بدايته عند نقطة الأصل. واختر قيمة عددية لـ k ، ثم ارسم متجهاً ناتجاً عن ضرب k في المتجه الأصلي على المستوى الإحداثي نفسه. وكرر العملية مع أربعة متجهات أخرى b, c, d, e ، واستعمل قيمة k نفسها في كل مرة. b. جدولياً: انسخ الجدول أدناه في دفترك، ثم اكتب البيانات المناسبة داخله لكل متجه رسمته في الفرع a. c. تحليلياً: إذا كانت (a, b) نقطة النهاية للمتجه a ، فما إحداثيات نقطة النهاية للمتجه ka ؟ --- SECTION: 32 --- 32) أوجد طول واتجاه المتجه الموازن للمتجهين: a = 15 mi/h ، باتجاه 125° b = 12 mi/h ، باتجاه 045° --- SECTION: 33 --- 33) كرة حديدية: عُلقت كرة حديدية بحبلين متساويين في الطول كما في الشكل أدناه. a. إذا كانت T1, T2 تُمثلان قوتي الشد في الحبلين، وكانت T1 = T2 ، فارسم شكلاً يُمثل وضع التوازن للكرة. b. أعد رسم الشكل باستعمال قاعدة المثلث لتجد T1 + T2 c. استعمل الشكل في الفقرة b وحقيقة أن محصلة T1 + T2 هي المتجه الموازن لوزن الكرة؛ لحساب مقدار كل من T1, T2 أوجد طول كل متجه واتجاهه مما يأتي بمعلومية مركبتيه الأفقية والرأسية، والمدى الممكن لزاوية كل منها: --- SECTION: 34 --- 34) الأفقية 0.32 in ، الرأسية 2.28 in ، 180° < θ < 90° . --- SECTION: 35 --- 35) الأفقية 3.1 ft ، الرأسية 4.2 ft ، 90° < θ < 0° . --- SECTION: 36 --- 36) الأفقية 2.6 cm ، الرأسية 9.7 cm ، 360° < θ < 270° . ارسم ثلاثة متجهات a, b, c ؛ لتوضح صحة كل خاصية من الخصائص الآتية هندسياً: --- SECTION: 37 --- 37) الخاصية الإبدالية a + b = b + a --- SECTION: 38 --- 38) الخاصية التجميعية (a + b) + c = a + (b + c) --- SECTION: 39 --- 39) الخاصية التوزيعية k(a + b) = ka + kb ، حيث k = 2, 0.5, -2 --- SECTION: المتجه الموازن --- المتجه الموازن هو متجه يساوي متجه المحصلة في المقدار ويعاكسه في الاتجاه، بحيث إن ناتج جمع متجه المحصلة مع المتجه الموازن يساوي المتجه الصفري، والمتجه الموازن للمتجه a + b هو -(a + b). --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: رسم توضيحي لشخص يدفع مكنسة كهربائية. يظهر متجه القوة مائلاً بزاوية 33 درجة مع الأفقي ومقداره 190 نيوتن. Key Values: Force = 190 N, Angle = 33° **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: المتجه | نقطة النهاية للمتجه | نقطة النهاية للمتجه مضروباً في العدد k Rows: Row 1: a | EMPTY | EMPTY Row 2: b | EMPTY | EMPTY Row 3: c | EMPTY | EMPTY Row 4: d | EMPTY | EMPTY Row 5: e | EMPTY | EMPTY Empty cells: خلايا نقاط النهاية للمتجهات الأصلية والمضروبة في k **FIGURE**: Untitled Description: رسم توضيحي لكرة حديدية معلقة بحبلين من سقف أفقي. الزاوية بين كل حبل والسقف هي 15 درجة. وزن الكرة مكتوب عليه 12 باوند. Key Values: Weight = 12 باوند, Angles = 15°, 15° **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط اتجاهي يوضح جمع المتجهين a و b للحصول على المحصلة a+b (ممثلة بخط متقطع أخضر)، ويظهر المتجه الموازن -(a+b) في الاتجاه المعاكس تماماً للمحصلة وبنفس طولها.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 11

سؤال 29: 29) تنظيف: يدفع حسن عصا مكنسة التنظيف بقوة مقدارها 190N ، وبزاوية قياسها 33° مع سطح الأرض كما في الشكل المجاور. (مثال 5) a) ارسم شكلاً يوضح تحليل هذه القوة إلى مركبتيها المتعامدتين. b) أوجد مقدار كل من المركبة الأفقية والمركبة الرأسية.

الإجابة: س: 29: (أ) تُحلل لمركبتين متعامدتين. (ب) $F_x \approx 159.35 N, F_y \approx 103.48 N$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا قوة دفع مقدارها $F = 190 N$ تميل بزاوية $\theta = 33^\circ$ مع سطح الأرض (الأفقي).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** لتحليل القوة إلى مركبتين متعامدتين، نستخدم قوانين الجيب والتمام: - المركبة الأفقية: $F_x = F \cos \theta$ - المركبة الرأسية: $F_y = F \sin \theta$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض في القوانين: - $F_x = 190 \cos 33^\circ \approx 159.35 N$ - $F_y = 190 \sin 33^\circ \approx 103.48 N$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، المركبة الأفقية هي **159.35 N** تقريباً، والمركبة الرأسية هي **103.48 N** تقريباً.

سؤال 30: 30) لعب أطفال: يدفع محمد عربة أخته بقوة مقدارها 100N، وباتجاه 31° مع الأفقي، أوجد مقدار المركبة الرأسية للقوة إلى أقرب عدد صحيح.

الإجابة: س: 30: $F_y = 100 \sin 31^\circ \approx 52 N$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعطيات المتوفرة هي: - مقدار القوة: $F = 100 N$ - الزاوية مع الأفقي: $\theta = 31^\circ$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** المطلوب هو المركبة الرأسية فقط، ونستخدم لها القانون: $$F_y = F \sin \theta$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض المباشر: $$F_y = 100 \sin 31^\circ$$ $$F_y \approx 100 \times 0.515 = 51.5$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بتقريب الناتج لأقرب عدد صحيح، نجد أن مقدار المركبة الرأسية هو **52 N**

سؤال 31: 31) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي ضرب متجه في عدد حقيقي. a) بيانياً: ارسم المتجه a على المستوى الإحداثي، بحيث تكون نقطة بدايته عند نقطة الأصل. واختر قيمة عددية لـ k ، ثم ارسم متجهاً ناتجاً عن ضرب k في المتجه الأصلي على المستوى الإحداثي نفسه. وكرر العملية مع أربعة متجهات أخرى b, c, d, e ، واستعمل قيمة k نفسها في كل مرة. b) جدولياً: انسخ الجدول أدناه في دفترك، ثم اكتب البيانات المناسبة داخله لكل متجه رسمته في الفرع a. c) تحليلياً: إذا كانت (a, b) نقطة النهاية للمتجه a ، فما إحداثيات نقطة النهاية للمتجه ka ؟

الإجابة: س 31 (أ): يتغير الطول $|k|$ مرة، ويكون الاتجاه نفسه إذا $k > 0$ ومعاكساً إذا $k < 0$. س 31 (ب): ka : (4, 2) kb : (-2, 6) kc : (8, -4) kd : (-6, -2) ke : (0, 4) س 31 (ج): النقطة الجديدة هي $(ka, kb)$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عند ضرب متجه في عدد حقيقي $k$، فإن طول المتجه يتغير بمقدار القيمة المطلقة لـ $k$. إذا كان $k$ موجباً يبقى الاتجاه كما هو، وإذا كان سالباً ينعكس الاتجاه.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** تحليلياً، إذا كان المتجه $\vec{a}$ ينتهي عند النقطة $(a, b)$، فإن ضربه في الثابت $k$ يعني توزيع هذا الثابت على الإحداثيات السينية والصادية للمتجه.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، إحداثيات نقطة النهاية للمتجه $ka$ ستكون **$(ka, kb)$**

سؤال 32: 32) أوجد طول واتجاه المتجه الموازن للمتجهين: a = 15 mi/h ، باتجاه 125° b = 12 mi/h ، باتجاه 045°

الإجابة: س 32: الموازن: الطول $\approx 20.77 mi/h$ الاتجاه $\approx 270.33^\circ$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نحول المتجهات إلى مركباتها: - المتجه $a$: $(15 \cos 125^\circ, 15 \sin 125^\circ) \approx (-8.6, 12.29)$ - المتجه $b$: $(12 \cos 45^\circ, 12 \sin 45^\circ) \approx (8.49, 8.49)$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نوجد المحصلة $R$ بجمع المركبات: $R_x = -8.6 + 8.49 = -0.11$ $R_y = 12.29 + 8.49 = 20.78$ المتجه الموازن هو متجه له نفس مقدار المحصلة ولكن في عكس اتجاهها ($180^\circ$ فرق).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** الطول: $\sqrt{(-0.11)^2 + (20.78)^2} \approx 20.77$ زاوية المحصلة: $\tan^{-1}(20.78 / -0.11) + 180^\circ \approx 90.3^\circ$ زاوية الموازن: $90.3^\circ + 180^\circ = 270.3^\circ$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن طول المتجه الموازن هو **20.77 mi/h** واتجاهه هو **270.33°**

سؤال 33: 33) كرة حديدية: عُلقت كرة حديدية بحبلين متساويين في الطول كما في الشكل أدناه. a) إذا كانت T1, T2 تُمثلان قوتي الشد في الحبلين، وكانت T1 = T2 ، فارسم شكلاً يُمثل وضع التوازن للكرة. b) أعد رسم الشكل باستعمال قاعدة المثلث لتجد T1 + T2 c) استعمل الشكل في الفقرة b وحقيقة أن محصلة T1 + T2 هي المتجه الموازن لوزن الكرة؛ لحساب مقدار كل من T1, T2

الإجابة: س 33: (أ) الشد لأعلى والوزن لأسفل. (ب) المحصلة رأسية لأعلى. (ج) $T = \frac{12}{2 \sin 15^\circ} \approx 23.18 lb$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في حالة التوازن، تكون محصلة القوى المؤثرة على الكرة صفراً. القوى هي الشد في الحبلين ($T_1, T_2$) للأعلى والوزن للأسفل.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن الحبلين متساويان في الطول والشد، فإن المركبات الأفقية تلغي بعضها، وتتبقى المركبات الرأسية التي توازن الوزن. باستخدام قاعدة المثلث، نجد أن $2T \sin(15^\circ) = Weight$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتعويض لحساب الشد: $T = \frac{12}{2 \sin 15^\circ} \approx 23.18$. إذن مقدار الشد في كل حبل هو **23.18 lb**

سؤال 34: أوجد طول كل متجه واتجاهه مما يأتي بمعلومية مركبتيه الأفقية والرأسية، والمدى الممكن لزاوية كل منها: 34) الأفقية 0.32 in ، الرأسية 2.28 in ، 180° < θ < 90° .

الإجابة: س 34: $2.30 in, 98^\circ$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المركبة الأفقية $x = 0.32$ والمركبة الرأسية $y = 2.28$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الطول: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ وقانون الاتجاه: $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** الطول: $\sqrt{0.32^2 + 2.28^2} \approx 2.30$ الزاوية: $\tan^{-1}(\frac{2.28}{0.32}) \approx 82^\circ$. وبما أن الزاوية المطلوبة في الربع الثاني ($90^\circ < \theta < 180^\circ$)، نعدل الزاوية لتناسب المدى المعطى.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الطول هو **2.30 in** والاتجاه هو **98°**

سؤال 35: 35) الأفقية 3.1 ft ، الرأسية 4.2 ft ، 90° < θ < 0° .

الإجابة: س 35: $5.22 ft, 54^\circ$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المركبة الأفقية $x = 3.1$ والمركبة الرأسية $y = 4.2$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نحسب الطول: $r = \sqrt{3.1^2 + 4.2^2} \approx 5.22$ نحسب الزاوية: $\theta = \tan^{-1}(\frac{4.2}{3.1}) \approx 53.5^\circ$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن الزاوية تقع في المدى المطلوب ($0^\circ < \theta < 90^\circ$)، فإن الطول هو **5.22 ft** والاتجاه هو **54°** تقريباً.

سؤال 36: 36) الأفقية 2.6 cm ، الرأسية 9.7 cm ، 360° < θ < 270° .

الإجابة: س 36: $10.04 cm, 285^\circ$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المركبة الأفقية $x = 2.6$ والمركبة الرأسية $y = 9.7$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** الطول: $r = \sqrt{2.6^2 + 9.7^2} \approx 10.04$ الزاوية الأساسية: $\tan^{-1}(\frac{9.7}{2.6}) \approx 75^\circ$. بما أن المدى المطلوب في الربع الرابع ($270^\circ < \theta < 360^\circ$)، نطرح الزاوية من $360^\circ$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الطول هو **10.04 cm** والاتجاه هو **285°**

سؤال 37: ارسم ثلاثة متجهات a, b, c ؛ لتوضح صحة كل خاصية من الخصائص الآتية هندسياً: 37) الخاصية الإبدالية a + b = b + a

الإجابة: س 37: الإبدالية: الترتيب لا يغير المحصلة.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الخاصية الإبدالية تعني أن ترتيب جمع المتجهات لا يؤثر على المحصلة النهائية.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** هندسياً، إذا رسمنا المتجه $a$ ثم من نهايته رسمنا $b$ (طريقة المثلث)، سنحصل على نفس المتجه الناتج فيما لو رسمنا $b$ أولاً ثم من نهايته رسمنا $a$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، **الترتيب لا يغير المحصلة**، وهذا يثبت صحة $a + b = b + a$.

سؤال 38: 38) الخاصية التجميعية (a + b) + c = a + (b + c)

الإجابة: س 38: التجميعية: تجميع الحدود لا يغير النتيجة.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الخاصية التجميعية تعني أنه عند جمع ثلاثة متجهات، يمكننا جمع أي اثنين منهما أولاً ثم إضافة الثالث.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** هندسياً، تجميع المتجهات في مجموعات مختلفة قبل إيجاد المحصلة الكلية سيؤدي دائماً إلى نفس المتجه الذي يغلق المضلع من نقطة البداية الأولى إلى نقطة النهاية الأخيرة.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، **تجميع الحدود لا يغير النتيجة النهائية** للمحصلة.

سؤال 39: 39) الخاصية التوزيعية k(a + b) = ka + kb ، حيث k = 2, 0.5, -2

الإجابة: س 39: التوزيعية: ضرب المحصلة يكافئ ضرب كل متجه.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الخاصية التوزيعية تعني أن ضرب محصلة متجهين في عدد حقيقي $k$ يعادل ضرب كل متجه في $k$ أولاً ثم جمعهما.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** عندما نضاعف طول المتجهين $a$ و $b$ (إذا كان $k=2$)، فإن المحصلة الناتجة عنهما ستتضاعف أيضاً في الطول وتبقى في نفس الاتجاه.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** هذا يوضح أن **ضرب المحصلة يكافئ ضرب كل متجه على حدة** ثم الجمع.