إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

مثال 6 تقدير النهاية عند المالانهاية

قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة:

a) lim (1/x) as x → ∞

التحليل بيانيًا: يُبين التمثيل البياني للدالة f(x) = 1/x المجاور أن lim (1/x) = 0 ، فكلما زادت قيم x ، اقتربت قيم f(x) من العدد 0.

التعزيز عدديًا: x تقترب من ∞ ———>

يُبيّن نمط قيم f(x) أنه كلما زادت قيم x ، فإن قيم f(x) تقترب من العدد 0.

b) lim (-3/x² + 2) as x → -∞

التحليل بيانيًا: يُبين التمثيل البياني للدالة f(x) = -3/x² + 2 المجاور أن lim (-3/x² + 2) = 2 ، فكلما قلّت قيم x ، اقتربت قيم f(x) من العدد 2.

التعزيز عدديًا: <——— x تقترب من -∞

يُبيّن نمط قيم f(x) أنه كلما قلّت قيم x ، فإن قيم f(x) تقترب من العدد 2.

c) lim (2.7)^x sin 3πx as x → ∞, lim (2.7)^x sin 3πx as x → -∞

التحليل بيانيًا: يُبين التمثيل البياني للدالة f(x) = (2.7)^x sin 3πx المجاور أن: lim (2.7)^x sin 3πx = 0 ، فكلما قلّت قيم x ، تذبذبت قيم f(x) مقتربة من العدد 0. في حين يبين التمثيل البياني أن lim (2.7)^x sin 3πx غير موجودة، فكلما ازدادت قيم x ، تذبذبت قيم f(x) متباعدة.

التعزيز عدديًا: <——— x تقترب من -∞ | x تقترب من ∞ ———>

يتضح من نمط قيم f(x) أنه كلما قلّت قيم x ، فإن قيم f(x) تقترب من العدد 0 ، في حين تتذبذب قيم f(x) متباعدة كلما زادت قيم x.

خطوط التقارب: تشير النهاية في المثال 6a إلى وجود خط تقارب أفقي y = 0 ، وتشير النهاية في مثال 6b إلى وجود خط تقارب أفقي y = 2.

السلوك المتذبذب: إن التذبذب اللانهائي للدالة لا يعني بالضرورة عدم وجود النهاية عندما تقترب x من ∞ أو -∞. فإذا كان التذبذب بين قيمتين مختلفتين، فالنهاية غير موجودة، أما إذا كان التذبذب متقاربًا نحو عدد معين، فالنهاية موجودة.

الدرس 1-8 تقدير النهايات بيانيًا 133

مثال 6 تقدير النهاية عند المالانهاية قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: --- SECTION: 6a --- a) lim (1/x) as x → ∞ التحليل بيانيًا: يُبين التمثيل البياني للدالة f(x) = 1/x المجاور أن lim (1/x) = 0 ، فكلما زادت قيم x ، اقتربت قيم f(x) من العدد 0. التعزيز عدديًا: x تقترب من ∞ ———> يُبيّن نمط قيم f(x) أنه كلما زادت قيم x ، فإن قيم f(x) تقترب من العدد 0. --- SECTION: 6b --- b) lim (-3/x² + 2) as x → -∞ التحليل بيانيًا: يُبين التمثيل البياني للدالة f(x) = -3/x² + 2 المجاور أن lim (-3/x² + 2) = 2 ، فكلما قلّت قيم x ، اقتربت قيم f(x) من العدد 2. التعزيز عدديًا: <——— x تقترب من -∞ يُبيّن نمط قيم f(x) أنه كلما قلّت قيم x ، فإن قيم f(x) تقترب من العدد 2. --- SECTION: 6c --- c) lim (2.7)^x sin 3πx as x → ∞, lim (2.7)^x sin 3πx as x → -∞ التحليل بيانيًا: يُبين التمثيل البياني للدالة f(x) = (2.7)^x sin 3πx المجاور أن: lim (2.7)^x sin 3πx = 0 ، فكلما قلّت قيم x ، تذبذبت قيم f(x) مقتربة من العدد 0. في حين يبين التمثيل البياني أن lim (2.7)^x sin 3πx غير موجودة، فكلما ازدادت قيم x ، تذبذبت قيم f(x) متباعدة. التعزيز عدديًا: <——— x تقترب من -∞ | x تقترب من ∞ ———> يتضح من نمط قيم f(x) أنه كلما قلّت قيم x ، فإن قيم f(x) تقترب من العدد 0 ، في حين تتذبذب قيم f(x) متباعدة كلما زادت قيم x. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- خطوط التقارب: تشير النهاية في المثال 6a إلى وجود خط تقارب أفقي y = 0 ، وتشير النهاية في مثال 6b إلى وجود خط تقارب أفقي y = 2. --- SECTION: تنبيه! --- السلوك المتذبذب: إن التذبذب اللانهائي للدالة لا يعني بالضرورة عدم وجود النهاية عندما تقترب x من ∞ أو -∞. فإذا كان التذبذب بين قيمتين مختلفتين، فالنهاية غير موجودة، أما إذا كان التذبذب متقاربًا نحو عدد معين، فالنهاية موجودة. الدرس 1-8 تقدير النهايات بيانيًا 133 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a horizontal asymptote at y = 0 (red dashed line). As x increases towards positive infinity, the curve approaches the x-axis from above. As x decreases towards negative infinity, the curve approaches the x-axis from below. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: 10 | 0.1 Row 2: 100 | 0.01 Row 3: 1000 | 0.001 Row 4: 10000 | 0.0001 Row 5: 100000 | 0.00001 Context: Numerical reinforcement showing f(x) approaching 0 as x approaches infinity. **GRAPH**: Untitled Description: The graph features a horizontal asymptote at y = 2 (red dashed line). As x approaches negative infinity, the curve rises from below to approach the line y = 2. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -10000 | 1.99999997 Row 2: -1000 | 1.999997 Row 3: -100 | 1.9997 Row 4: -10 | 1.97 Context: Numerical reinforcement showing f(x) approaching 2 as x approaches negative infinity. **GRAPH**: Untitled Description: For negative x, the oscillations are damped and approach y = 0. For positive x, the oscillations grow rapidly in amplitude, indicating no limit as x approaches positive infinity. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -17.1 | 3.4 × 10⁻⁸ Row 2: -10.8 | -0.00002 Row 3: -10.1 | -0.00004 Row 4: 0 | 0 Row 5: 10.1 | 1.8 × 10⁴ Row 6: 50.1 | 3.3 × 10²¹ Row 7: 99.1 | -4.5 × 10⁴² Context: Numerical reinforcement showing f(x) approaching 0 as x approaches negative infinity, and diverging as x approaches positive infinity.