مثال 7 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تحقق من فهمك

قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة:

يمكنك استعمال التمثيل البياني أو جدول قيم لتقدير النهايات عند المالانهاية في كثير من المواقف الحياتية.

مثال 7 من واقع الحياة تقدير النهاية عند المالانهاية

a) هيدروليك: تستعمل نوابض لإغلاق الأبواب الثقيلة، وآلية هيدروليكية للتحكم في سرعة حركتها، إذا فُتح باب بزاوية π/4 ثم تُرِك لتغلقه النوابض، فإن الدالة θ(t) = π/4(1 + 2t)(2.7)^{-2t} تمثل زاوية فتحته θ بعد t ثانية. قدّر lim_{t → ∞} θ(t)، وفسّر معناها إذا كانت موجودة.

قدّر النهاية: مثّل الدالة θ(t) = π/4(1 + 2t)(2.7)^{-2t} بيانيًّا باستعمال الحاسبة البيانية. لاحظ أنه كلما زادت قيم t، فإن قيم الدالة θ(t) تقترب من العدد 0. أي أن lim_{t → ∞} θ(t) = 0. فسّر النتيجة: إن قيمة النهاية 0 في هذه المسألة، تعني أن الزاوية التي يصنعها الباب مع وضع الإغلاق مع مرور الزمن هي 0 درجة بالراديان. بمعنى أنه بعد مرور زمن أطول، فإن الباب سيقترب من وضع الإغلاق التام.

b) دواء: يُعطى تركيز دواء في دم مريض بوحدة ملجرام لكل مللتر بالعلاقة C(t) = t 2^{-0.18t} ، حيث t الزمن بالساعات بعد حقن المريض. قدّر lim_{t → ∞} C(t) ، وفسّر معناها إذا كانت موجودة.

قدّر النهاية: مثّل الدالة C(t) = t 2^{-0.18t} بيانيًّا باستعمال الحاسبة البيانية. يتضح من التمثيل البياني أنه كلما زادت قيمة t فإن منحنى الدالة يقترب من 0، أي أن lim_{t → ∞} C(t) = 0. فسّر النتيجة: إن قيمة النهاية هي 0 ، وتعني في هذه المسألة أنه مع مرور الزمن، فإن تركيز الدواء سيصبح قريبًا من الصفر في دم المريض.

تحقق من فهمك

7A) كهرباء: يزوّد مقبس في منطقة ما بفرق جهد كهربائي يُعطى بالعلاقة V(t) = 165 sin 120πt ، حيث t الزمن بالثواني. قدّر lim_{t → ∞} V(t) إذا كانت موجودة، وفسّر معناها.

7B) أحياء: عند وضع عدد من ذبابات الفاكهة في وعاء يحوي حليبًا وفاكهةً وخميرةً فإن عدد الذبابات بعد t يوم يُعطى بالعلاقة P(t) = 230 / (1 + 56.5(2.7)^{-0.37t}) ، قدّر lim_{t → ∞} P(t) إذا كانت موجودة، وفسّر معناها.

الأنظمة الهيدروليكية هي أحد أنظمة نقل القدرة التي تستعمل طاقة السوائل لقيادة أو تحريك الأجزاء المتحركة في النظام الهيدروليكي. وتستعمل في العديد من المجالات، ومنها فرامل السيارات والأبواب الثقيلة وغيرها.

استعمل الآلة الحاسبة للوصول إلى شكل مناسب للتمثيل البياني للدالة في الآلة الحاسبة، يمكنك استعمال بعض ميزات الآلة. بدءًا من مفتاح menu يمكنك استعمال خاصية 4: تكبير/تصغير النافذة واختيار 1: إعدادات النافذة لتحديد مدى القيم وطول فترة التدريج لكل من x, y، كذلك يمكن اختيار 3: تكبير أو 4: تصغير لتصغير وتكبير التمثيل البياني، حتى يمكن الحصول على شكل مناسب للدالة. كما يمكن استعمال خاصية 5: تتبع المسار لتتبع قيم الدالة؛ مما يساعد على التوصل لتقدير قيمة النهاية.

تحقق من فهمك --- SECTION: 6 --- قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 6A. lim_{x → ∞} (1/x^4 - 3) 6B. lim_{x → -∞} 5^x 6C. lim_{x → ∞} sin x يمكنك استعمال التمثيل البياني أو جدول قيم لتقدير النهايات عند المالانهاية في كثير من المواقف الحياتية. --- SECTION: مثال 7 من واقع الحياة --- مثال 7 من واقع الحياة تقدير النهاية عند المالانهاية --- SECTION: 7a --- a) هيدروليك: تستعمل نوابض لإغلاق الأبواب الثقيلة، وآلية هيدروليكية للتحكم في سرعة حركتها، إذا فُتح باب بزاوية π/4 ثم تُرِك لتغلقه النوابض، فإن الدالة θ(t) = π/4(1 + 2t)(2.7)^{-2t} تمثل زاوية فتحته θ بعد t ثانية. قدّر lim_{t → ∞} θ(t)، وفسّر معناها إذا كانت موجودة. قدّر النهاية: مثّل الدالة θ(t) = π/4(1 + 2t)(2.7)^{-2t} بيانيًّا باستعمال الحاسبة البيانية. لاحظ أنه كلما زادت قيم t، فإن قيم الدالة θ(t) تقترب من العدد 0. أي أن lim_{t → ∞} θ(t) = 0. فسّر النتيجة: إن قيمة النهاية 0 في هذه المسألة، تعني أن الزاوية التي يصنعها الباب مع وضع الإغلاق مع مرور الزمن هي 0 درجة بالراديان. بمعنى أنه بعد مرور زمن أطول، فإن الباب سيقترب من وضع الإغلاق التام. --- SECTION: 7b --- b) دواء: يُعطى تركيز دواء في دم مريض بوحدة ملجرام لكل مللتر بالعلاقة C(t) = t 2^{-0.18t} ، حيث t الزمن بالساعات بعد حقن المريض. قدّر lim_{t → ∞} C(t) ، وفسّر معناها إذا كانت موجودة. قدّر النهاية: مثّل الدالة C(t) = t 2^{-0.18t} بيانيًّا باستعمال الحاسبة البيانية. يتضح من التمثيل البياني أنه كلما زادت قيمة t فإن منحنى الدالة يقترب من 0، أي أن lim_{t → ∞} C(t) = 0. فسّر النتيجة: إن قيمة النهاية هي 0 ، وتعني في هذه المسألة أنه مع مرور الزمن، فإن تركيز الدواء سيصبح قريبًا من الصفر في دم المريض. تحقق من فهمك --- SECTION: 7A --- 7A) كهرباء: يزوّد مقبس في منطقة ما بفرق جهد كهربائي يُعطى بالعلاقة V(t) = 165 sin 120πt ، حيث t الزمن بالثواني. قدّر lim_{t → ∞} V(t) إذا كانت موجودة، وفسّر معناها. --- SECTION: 7B --- 7B) أحياء: عند وضع عدد من ذبابات الفاكهة في وعاء يحوي حليبًا وفاكهةً وخميرةً فإن عدد الذبابات بعد t يوم يُعطى بالعلاقة P(t) = 230 / (1 + 56.5(2.7)^{-0.37t}) ، قدّر lim_{t → ∞} P(t) إذا كانت موجودة، وفسّر معناها. --- SECTION: الربط مع الحياة --- الأنظمة الهيدروليكية هي أحد أنظمة نقل القدرة التي تستعمل طاقة السوائل لقيادة أو تحريك الأجزاء المتحركة في النظام الهيدروليكي. وتستعمل في العديد من المجالات، ومنها فرامل السيارات والأبواب الثقيلة وغيرها. --- SECTION: إرشاد تقني --- استعمل الآلة الحاسبة للوصول إلى شكل مناسب للتمثيل البياني للدالة في الآلة الحاسبة، يمكنك استعمال بعض ميزات الآلة. بدءًا من مفتاح menu يمكنك استعمال خاصية 4: تكبير/تصغير النافذة واختيار 1: إعدادات النافذة لتحديد مدى القيم وطول فترة التدريج لكل من x, y، كذلك يمكن اختيار 3: تكبير أو 4: تصغير لتصغير وتكبير التمثيل البياني، حتى يمكن الحصول على شكل مناسب للدالة. كما يمكن استعمال خاصية 5: تتبع المسار لتتبع قيم الدالة؛ مما يساعد على التوصل لتقدير قيمة النهاية. --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لباب يفتح بزاوية θ حول مفصل. **GRAPH**: Untitled Description: No description X-axis: t (time in seconds) Y-axis: θ (angle in radians) Context: يوضح تناقص زاوية فتح الباب مع مرور الزمن حتى يقترب من الإغلاق (الزاوية صفر). **GRAPH**: Untitled Description: No description X-axis: t (time in hours) Y-axis: C (concentration in mg/mL) Context: يوضح تغير تركيز الدواء في الدم، حيث يرتفع ثم يتلاشى تدريجيًا مع مرور الزمن. **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لأبواب مزدوجة في ممر مزودة بأنظمة إغلاق هيدروليكية علوية.