صفحة 135 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تدرب وحل المسائل

قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم. إرشاد: يمكنك استعمال الآلة البيانية للتمثيل البياني. (المثالان 1, 2)

lim (x→5) (4x - 10)

lim (x→2) (1/2 x^5 - 2x^3 + 3x^2)

lim (x→-2) (x^2 + 2x - 15)

lim (x→-2) (x^3 + 8) / (x^2 - 4)

lim (x→0) [5(cos^2 x - cos x)]

lim (x→4) (x - 4) / (√x - 2)

lim (x→6) (x + sin x)

lim (x→-5) (x^2 + x - 20) / (x + 5)

قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: (مثال 3)

lim (x→0^+) (sin x - x) / x

lim (x→0^-) |4x| / x

lim (x→0) (2x^2) / |x|

lim (x→3^-) (x^2 - 5x + 6) / (x - 3)

lim (x→-1/2) |2x + 1| / x

lim (x→-2) (x^2 + 5x + 6) / |x + 2|

lim (x→0^-) (√-x - 7)

lim (x→5) (x^2 - 25) / (x - 5)

lim (x→0) |3x| / (2x)

lim (x→-1) |x + 1| / (x^2 - 1)

lim (x→0) f(x), f(x) = { x - 5, x < 0; x^2 + 5, x ≥ 0 }

lim (x→0) f(x), f(x) = { -x^2 + 2, x < 0; 2x/x, x ≥ 0 }

استعمل التمثيل البياني لتقدير كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: (الأمثلة 1-4)

lim (x→-4) f(x)

lim (x→4) g(x)

lim (x→4) f(x)

lim (x→-6) g(x)

قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: (الأمثلة 4-6)

lim (x→-4) -17 / (x^2 + 8x + 16)

lim (x→4) |x| / (x - 4)

lim (x→5) x^2 / (x^2 - 10x + 25)

lim (x→6) 5 / (x - 6)^2

lim (x→-∞) (x^5 - 7x^4 - 4x + 1)

lim (x→∞) (x^2 + x - 22) / (4x^3 - 13)

lim (x→∞) x cos x

lim (x→-∞) (3^x + 3^-x) / (3^x - 3^-x)

lim (x→∞) (sin |x|) / x

lim (x→0) x^2 cos(1/x)

دواء: تم توزيع لقاح للحدّ من عدوى مرض ما. ويبيّن التمثيل البياني أدناه عدد الحالات المصابة بالمرض بعد w أسبوع من توزيع اللقاح. (مثال 7)

برامج تلفزيونية: يُقدّر عدد مشاهدي أحد البرامج التلفزيونية اليومية بالدالة f(d) = 12(1.25012)^d - 12، حيث d رقم اليوم منذ أول يوم للبرنامج. (مثال 7)

كيمياء: تتسرّب مادة سامة من أنبوب غاز تحت الأرض كما في الشكل أدناه. ويعبّر عن المسافة الأفقية بالأمتار التي تقطعها المادة المتسرّبة بالدالة d(t) = 2000(0.7)^t - 1، حيث t عدد السنوات منذ بدء التسرّب. (مثال 7)

تدرب وحل المسائل قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم. إرشاد: يمكنك استعمال الآلة البيانية للتمثيل البياني. (المثالان 1, 2) lim (x→5) (4x - 10) lim (x→2) (1/2 x^5 - 2x^3 + 3x^2) lim (x→-2) (x^2 + 2x - 15) lim (x→-2) (x^3 + 8) / (x^2 - 4) lim (x→0) [5(cos^2 x - cos x)] lim (x→4) (x - 4) / (√x - 2) lim (x→6) (x + sin x) lim (x→-5) (x^2 + x - 20) / (x + 5) قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: (مثال 3) lim (x→0^+) (sin x - x) / x lim (x→0^-) |4x| / x lim (x→0) (2x^2) / |x| lim (x→3^-) (x^2 - 5x + 6) / (x - 3) lim (x→-1/2) |2x + 1| / x lim (x→-2) (x^2 + 5x + 6) / |x + 2| lim (x→0^-) (√-x - 7) lim (x→5) (x^2 - 25) / (x - 5) lim (x→0) |3x| / (2x) lim (x→-1) |x + 1| / (x^2 - 1) lim (x→0) f(x), f(x) = { x - 5, x < 0; x^2 + 5, x ≥ 0 } lim (x→0) f(x), f(x) = { -x^2 + 2, x < 0; 2x/x, x ≥ 0 } استعمل التمثيل البياني لتقدير كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: (الأمثلة 1-4) lim (x→-4) f(x) lim (x→4) g(x) lim (x→4) f(x) lim (x→-6) g(x) قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: (الأمثلة 4-6) lim (x→-4) -17 / (x^2 + 8x + 16) lim (x→4) |x| / (x - 4) lim (x→5) x^2 / (x^2 - 10x + 25) lim (x→6) 5 / (x - 6)^2 lim (x→-∞) (x^5 - 7x^4 - 4x + 1) lim (x→∞) (x^2 + x - 22) / (4x^3 - 13) lim (x→∞) x cos x lim (x→-∞) (3^x + 3^-x) / (3^x - 3^-x) lim (x→∞) (sin |x|) / x lim (x→0) x^2 cos(1/x) دواء: تم توزيع لقاح للحدّ من عدوى مرض ما. ويبيّن التمثيل البياني أدناه عدد الحالات المصابة بالمرض بعد w أسبوع من توزيع اللقاح. (مثال 7) a. استعمل التمثيل البياني لتقدير lim (w→3) f(w), lim (w→1) f(w). b. استعمل التمثيل البياني لتقدير lim (w→∞) f(w) إذا كانت موجودة، وفسّر النتيجة. برامج تلفزيونية: يُقدّر عدد مشاهدي أحد البرامج التلفزيونية اليومية بالدالة f(d) = 12(1.25012)^d - 12، حيث d رقم اليوم منذ أول يوم للبرنامج. (مثال 7) a. مثّل الدالة f(d) بيانياً في الفترة 0 ≤ d ≤ 20. b. ما عدد مشاهدي البرنامج في اليوم: الخامس، العاشر، العشرين، بعد شهرين (d = 60)؟ c. قدّر lim (d→∞) f(d) إذا كانت موجودة، وفسّر النتيجة. كيمياء: تتسرّب مادة سامة من أنبوب غاز تحت الأرض كما في الشكل أدناه. ويعبّر عن المسافة الأفقية بالأمتار التي تقطعها المادة المتسرّبة بالدالة d(t) = 2000(0.7)^t - 1، حيث t عدد السنوات منذ بدء التسرّب. (مثال 7) a. مثّل باستعمال الآلة البيانية الدالة بيانياً في الفترة 1 ≤ t ≤ 15. b. استعمل التمثيل البياني وخاصية تتبع المسار في الحاسبة البيانية لإيجاد قيم d عندما t = 5, 10, 15. c. استعمل التمثيل البياني لتقدير lim (t→∞) d(t). d. هل من الممكن أن تصل المادة المتسرّبة لمستشفى يقع على بُعد 7000 m من موقع التسريب؟ تذكّر أن مجموع المتسلسلة الهندسية غير المنتهية هو a1 / (1 - r). --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: الحالات المسجلة Description: A graph showing the number of recorded cases over weeks. The number of cases starts at 400 and decreases rapidly, approaching zero as time increases. X-axis: الأسابيع w Y-axis: عدد الحالات f(w) **GRAPH**: Untitled Description: Graph of f(x) with a vertical asymptote at x=4. To the left of x=4, the curve rises from 0, peaks at (0,2), and then drops to -∞. To the right of x=4, it drops from ∞ towards 0. There is a defined point at (4, -8). X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: Graph of g(x) with vertical asymptotes at x=-4 and x=4. Left section (x < -4) rises from 0 to ∞. Middle section (-4 < x < 4) is an inverted parabola-like shape with a peak at (0, -4), going to -∞ at x=±4. Right section (x > 4) rises from -∞ towards 0. X-axis: x Y-axis: g(x) **DIAGRAM**: كيمياء Description: Diagram showing an underground gas leak spreading over three years. Key Values: السنة 1: 2000 m, السنة 2: 1400 m, السنة 3: 980 m