صفحة 136 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

للدالة الممثلة بيانياً أدناه، قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة:
38) lim_{x o 0^-} f(x)
39) lim_{x o 0^+} f(x)
40) lim_{x o 0} f(x)
41) lim_{x o 2^-} f(x)
42) lim_{x o 2^+} f(x)
43) lim_{x o 1} f(x)

نوع: محتوى تعليمي

حاسبة بيانية: حدّد ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة، فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية:
44) lim_{x o 1} (x^2 - 1) / (x^2 - 2x + 1)
45) lim_{x o 2} (x^2 + x) / (x^2 - x - 2)
46) lim_{x o 0} 3 cos(π/x)
47) lim_{x o -5} |x + 5| / (x + 5)

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا
48) اكتشف الخطأ: قال علي: إن نهاية الدالة الممثلة بيانياً في الشكل أدناه عندما تقترب x من -6 هي -4. في حين قال محمد: إنها 3. هل أي منهما إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.
49) مسألة مفتوحة: أعطِ مثالاً على f(x)، بحيث تكون lim_{x o 0} f(x) موجودة، و f(0) غير معرفة، ومثالاً على دالة أخرى g(x)، بحيث تكون g(0) معرفة، ولكن lim_{x o 0} g(x) غير موجودة.
50) تحدّ: إذا كان f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1) ، g(x) = (x + 1) / (x^2 - 4). فقدّر كلاً من lim_{x o 1} f(x) , lim_{x o 2} g(x). وإذا كانت j(x), h(x) كثيرتي حدود بحيث: h(a) = 0, j(a) ≠ 0 ، فماذا يمكنك القول عن lim_{x o a} j(x)/h(x) ؟ برّر إجابتك.
51) تبرير: حدّد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائماً أو صحيحة أحياناً أو غير صحيحة أبداً. برّر إجابتك. إذا كان f(c) = L ، فإن lim_{x o c} f(x) = L.
52) مسألة مفتوحة: مثّل بيانياً دالة تحقق كلاً مما يأتي: f(2) = 5, f(0) = 2, f(-3) = -3 ، و lim_{x o 0} f(x) و lim_{x o 2} f(x) غير موجودة.
53) تحدّ: قدّر كلاً من النهايات الآتية للدالة f إذا كانت موجودة: f(x) = { 2x + 4 , x < -1 -1 , -1 ≤ x ≤ 0 x^2 , 1 < x ≤ 2 x - 3 , x > 2 } a) lim_{x o -1} f(x) b) lim_{x o 0} f(x) c) lim_{x o 2^+} f(x)
54) اكتب: من خلال ما لاحظته في حل التمارين، وضح طريقتك لتقدير نهاية دالة متصلة.

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة تراكمية
55) أثبت صحة المتطابقة. (مهارة سابقة) sin θ (1/sin θ - cos θ/cot θ) = cos^2 θ
56) حدّد ما إذا كانت الدالة الآتية متصلة عند قيم x المعطاة. برّر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال، وإذا كانت الدالة غير متصلة، فحدّد نوع عدم الاتصال: لا نهائي، قفزي، قابل للإزالة. (مهارة سابقة) h(x) = (x^2 - 25) / (x + 5)
57) أوجد متوسط معدل تغير f(x) = sqrt(x - 6) في الفترة [8, 16]. (مهارة سابقة)

نوع: محتوى تعليمي

أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: (مهارة سابقة)
58) u = <2, 9, -2>, v = <-4, 7, 6>
59) m = 3i - 5j + 6k, n = -7i + 8j + 9k

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار
60) باستعمال التمثيل البياني للدالة y = f(x) أدناه، ما قيمة lim_{x o 0} f(x) (إن وجدت)؟
61) إذا كانت g(x) = 1/x^2 وكانت العبارات: I نقطة عدم اتصال لا نهائي. II نقطة عدم اتصال قفزي. III نقطة عدم اتصال قابل للإزالة. فأي مما يأتي يصف التمثيل البياني لمنحنى الدالة g(x)؟

🔍 عناصر مرئية

A complex piecewise function. From left: a ray passing through (-2, -1) to (-1, 1) [closed]. A segment from (-1, 1) to (0, 0) [open]. An isolated point at (0, -1). A segment from (0, 1) [open] to (1, 2) [closed] then horizontal to (2, 2) [open]. A ray starting at (2, 1) [closed] going down through (3, 0).

A symmetric V-shaped graph opening downwards. Peak at (0, 8). Passes through (-8, 0) and (8, 0). There is an open circle (hole) at x = -6. The y-value at the hole is 2.

Left part is a curve passing through (-2, 0) and ending at (0, 1) [open]. There is a solid dot at (0, 2). Right part is a horizontal ray starting at (0, 3) [open] and extending to the right.

📄 النص الكامل للصفحة

للدالة الممثلة بيانياً أدناه، قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 38) lim_{x o 0^-} f(x) 39) lim_{x o 0^+} f(x) 40) lim_{x o 0} f(x) 41) lim_{x o 2^-} f(x) 42) lim_{x o 2^+} f(x) 43) lim_{x o 1} f(x) حاسبة بيانية: حدّد ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة، فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية: 44) lim_{x o 1} (x^2 - 1) / (x^2 - 2x + 1) 45) lim_{x o 2} (x^2 + x) / (x^2 - x - 2) 46) lim_{x o 0} 3 cos(π/x) 47) lim_{x o -5} |x + 5| / (x + 5) مسائل مهارات التفكير العليا 48) اكتشف الخطأ: قال علي: إن نهاية الدالة الممثلة بيانياً في الشكل أدناه عندما تقترب x من -6 هي -4. في حين قال محمد: إنها 3. هل أي منهما إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك. 49) مسألة مفتوحة: أعطِ مثالاً على f(x)، بحيث تكون lim_{x o 0} f(x) موجودة، و f(0) غير معرفة، ومثالاً على دالة أخرى g(x)، بحيث تكون g(0) معرفة، ولكن lim_{x o 0} g(x) غير موجودة. 50) تحدّ: إذا كان f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1) ، g(x) = (x + 1) / (x^2 - 4). فقدّر كلاً من lim_{x o 1} f(x) , lim_{x o 2} g(x). وإذا كانت j(x), h(x) كثيرتي حدود بحيث: h(a) = 0, j(a) ≠ 0 ، فماذا يمكنك القول عن lim_{x o a} j(x)/h(x) ؟ برّر إجابتك. 51) تبرير: حدّد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائماً أو صحيحة أحياناً أو غير صحيحة أبداً. برّر إجابتك. إذا كان f(c) = L ، فإن lim_{x o c} f(x) = L. 52) مسألة مفتوحة: مثّل بيانياً دالة تحقق كلاً مما يأتي: f(2) = 5, f(0) = 2, f(-3) = -3 ، و lim_{x o 0} f(x) و lim_{x o 2} f(x) غير موجودة. 53) تحدّ: قدّر كلاً من النهايات الآتية للدالة f إذا كانت موجودة: f(x) = { 2x + 4 , x < -1 -1 , -1 ≤ x ≤ 0 x^2 , 1 < x ≤ 2 x - 3 , x > 2 } a) lim_{x o -1} f(x) b) lim_{x o 0} f(x) c) lim_{x o 2^+} f(x) 54) اكتب: من خلال ما لاحظته في حل التمارين، وضح طريقتك لتقدير نهاية دالة متصلة. مراجعة تراكمية 55) أثبت صحة المتطابقة. (مهارة سابقة) sin θ (1/sin θ - cos θ/cot θ) = cos^2 θ 56) حدّد ما إذا كانت الدالة الآتية متصلة عند قيم x المعطاة. برّر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال، وإذا كانت الدالة غير متصلة، فحدّد نوع عدم الاتصال: لا نهائي، قفزي، قابل للإزالة. (مهارة سابقة) h(x) = (x^2 - 25) / (x + 5) 57) أوجد متوسط معدل تغير f(x) = sqrt(x - 6) في الفترة [8, 16]. (مهارة سابقة) أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) 58) u = <2, 9, -2>, v = <-4, 7, 6> 59) m = 3i - 5j + 6k, n = -7i + 8j + 9k تدريب على اختبار 60) باستعمال التمثيل البياني للدالة y = f(x) أدناه، ما قيمة lim_{x o 0} f(x) (إن وجدت)؟ A 0 B 1 C 3 D النهاية غير موجودة 61) إذا كانت g(x) = 1/x^2 وكانت العبارات: I نقطة عدم اتصال لا نهائي. II نقطة عدم اتصال قفزي. III نقطة عدم اتصال قابل للإزالة. فأي مما يأتي يصف التمثيل البياني لمنحنى الدالة g(x)؟ A I فقط B I, III فقط C II فقط D I و II فقط --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A complex piecewise function. From left: a ray passing through (-2, -1) to (-1, 1) [closed]. A segment from (-1, 1) to (0, 0) [open]. An isolated point at (0, -1). A segment from (0, 1) [open] to (1, 2) [closed] then horizontal to (2, 2) [open]. A ray starting at (2, 1) [closed] going down through (3, 0). Context: Used to evaluate one-sided and two-sided limits at points of discontinuity (x=0, x=2). **GRAPH**: Untitled Description: A symmetric V-shaped graph opening downwards. Peak at (0, 8). Passes through (-8, 0) and (8, 0). There is an open circle (hole) at x = -6. The y-value at the hole is 2. Context: Used for 'Find the Error' problem regarding limits at a hole. **GRAPH**: Untitled Description: Left part is a curve passing through (-2, 0) and ending at (0, 1) [open]. There is a solid dot at (0, 2). Right part is a horizontal ray starting at (0, 3) [open] and extending to the right. Context: Multiple choice question to find the limit as x approaches 0.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 24

سؤال 38: للدالة الممثلة بيانياً أدناه، قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 38) lim_{x o 0^-} f(x)

الإجابة: 1- :38س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد النهاية من جهة اليسار $\lim_{x \to 0^-} f(x)$، نقوم بتتبع مسار المنحنى عندما تقترب قيم $x$ من الصفر من جهة الأعداد السالبة (اليسار).
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بملاحظة الرسم البياني، نجد أن المنحنى ينخفض باتجاه القيمة $-1$ على محور $y$ كلما اقتربنا من الصفر من جهة اليسار.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك الإجابة هي: **-1**

سؤال 39: للدالة الممثلة بيانياً أدناه، قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 39) lim_{x o 0^+} f(x)

الإجابة: 3 :39س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد النهاية من جهة اليمين $\lim_{x \to 0^+} f(x)$، نراقب سلوك الدالة عندما تقترب قيم $x$ من الصفر من جهة الأعداد الموجبة (اليمين).
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** من خلال التمثيل البياني، نلاحظ أن المنحنى يقترب من القيمة $3$ على محور $y$ كلما اقتربت قيم $x$ من الصفر من جهة اليمين.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك الإجابة هي: **3**

سؤال 40: للدالة الممثلة بيانياً أدناه، قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 40) lim_{x o 0} f(x)

الإجابة: النهاية غير موجودة :40س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** تكون النهاية العامة $\lim_{x \to c} f(x)$ موجودة فقط إذا كانت النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار عند تلك النقطة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** وجدنا سابقاً أن النهاية من اليسار عند الصفر هي $-1$، بينما النهاية من اليمين هي $3$. وبما أن $-1 \neq 3$، فإن الشرط لم يتحقق.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك الإجابة هي: **النهاية غير موجودة**

سؤال 41: للدالة الممثلة بيانياً أدناه، قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 41) lim_{x o 2^-} f(x)

الإجابة: 1 :41س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نبحث عن النهاية من جهة اليسار عند $x = 2$، أي نتتبع المنحنى من جهة اليسار وصولاً إلى النقطة التي تقابل $x = 2$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بالنظر إلى الرسم، نجد أن الخط البياني يقترب من القيمة $1$ على المحور الرأسي $y$ قبل أن يصل إلى الفجوة عند $x = 2$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك الإجابة هي: **1**

سؤال 42: للدالة الممثلة بيانياً أدناه، قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 42) lim_{x o 2^+} f(x)

الإجابة: 2 :42س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نبحث عن النهاية من جهة اليمين عند $x = 2$، أي نتتبع المنحنى القادم من جهة اليمين باتجاه $x = 2$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نلاحظ من الرسم البياني أن الجزء من المنحنى الموجود على يمين $x = 2$ يبدأ من القيمة $2$ على محور $y$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك الإجابة هي: **2**

سؤال 43: للدالة الممثلة بيانياً أدناه، قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 43) lim_{x o 1} f(x)

الإجابة: 1 :43س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لتقدير النهاية عند $x = 1$، ننظر إلى سلوك الدالة من الجهتين (اليمين واليسار) حول هذه النقطة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** عند $x = 1$، نجد أن المنحنى متصل ويمر بالنقطة التي إحداثيها الصادي $y = 1$. النهاية من اليمين واليسار تلتقيان عند نفس القيمة.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك الإجابة هي: **1**

سؤال 44: حاسبة بيانية: حدّد ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة، فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية: 44) lim_{x o 1} rac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}

الإجابة: غير موجودة :44س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** الدالة هي: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$ المطلوب: إيجاد النهاية عندما تقترب $x$ من $1$.
  2. **الخطوة 2 (التحليل):** بتحليل البسط والمقام: البسط: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ المقام: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ تصبح الدالة: $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x + 1}{x - 1}$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** عند التعويض بـ $x = 1$ في الصيغة المبسطة، نحصل على $\frac{2}{0}$. هذا يعني وجود خط تقارب رأسي عند $x = 1$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن الدالة تقترب من مالانهاية، فإن النهاية **غير موجودة**.

سؤال 45: حاسبة بيانية: حدّد ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة، فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية: 45) lim_{x o 2} rac{x^2 + x}{x^2 - x - 2}

الإجابة: غير موجودة :45س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** الدالة: $f(x) = \frac{x^2 + x}{x^2 - x - 2}$ المطلوب: النهاية عندما $x \to 2$.
  2. **الخطوة 2 (التحليل):** نحلل المقادير: البسط: $x(x + 1)$ المقام: $(x - 2)(x + 1)$ بالتبسيط: $f(x) = \frac{x}{x - 2}$ (بشرط $x \neq -1$).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** عندما تقترب $x$ من $2$، يقترب المقام من الصفر بينما يبقى البسط قريباً من $2$. هذا يشير إلى سلوك غير محدود (اتصال لا نهائي).
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن النهاية **غير موجودة**.

سؤال 46: حاسبة بيانية: حدّد ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة، فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية: 46) lim_{x o 0} 3 \cos rac{\pi}{x}

الإجابة: غير موجودة :46س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الدالة هي $3 \cos(\frac{\pi}{x})$. نريد دراسة سلوكها عندما تقترب $x$ من الصفر.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** عندما تصغر قيمة $x$ جداً، فإن المقدار $\frac{\pi}{x}$ يكبر بشكل هائل، مما يجعل دالة الكوساين تتذبذب بسرعة كبيرة جداً بين القيمة $1$ و $-1$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بسبب هذا التذبذب اللانهائي وعدم استقرار الدالة عند قيمة محددة، فإن النهاية **غير موجودة**.

سؤال 47: حاسبة بيانية: حدّد ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة، فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية: 47) lim_{x o -5} rac{|x + 5|}{x + 5}

الإجابة: غير موجودة :47س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** الدالة: $f(x) = \frac{|x + 5|}{x + 5}$ عند $x \to -5$.
  2. **الخطوة 2 (التحليل):** نعيد تعريف القيمة المطلقة حول $-5$: - إذا كانت $x > -5$، فإن $|x+5| = x+5$، وتصبح الدالة $\frac{x+5}{x+5} = 1$. - إذا كانت $x < -5$، فإن $|x+5| = -(x+5)$، وتصبح الدالة $\frac{-(x+5)}{x+5} = -1$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن النهاية من اليمين ($1$) لا تساوي النهاية من اليسار ($-1$)، فإن النهاية **غير موجودة**.

سؤال 48: 48) اكتشف الخطأ: قال علي: إن نهاية الدالة الممثلة بيانياً في الشكل أدناه عندما تقترب x من -6 هي -4. في حين قال محمد: إنها 3. هل أي منهما إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

الإجابة: س48: لا أحدهما صحيح كنهاية ثنائية؛ لأن النهاية من اليسار 4- ومن اليمين 3، فهما غير متساويتين.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لنفحص التمثيل البياني عند $x = -6$. إذا نظرنا إلى المنحنى من جهة اليسار، نجد أنه يقترب من القيمة $-4$ (وهذا ما قاله علي). وإذا نظرنا إليه من جهة اليمين، نجد أنه يقترب من القيمة $3$ (وهذا ما قاله محمد). لكي تكون النهاية موجودة عند نقطة ما، يجب أن تتساوى النهايتان من اليمين واليسار. وبما أن $-4 \neq 3$، فإن النهاية العامة غير موجودة أصلاً. إذن الإجابة هي: **لا أحدهما صحيح كنهاية ثنائية؛ لأن النهاية من اليسار -4 ومن اليمين 3، فهما غير متساويتين.**

سؤال 49: 49) مسألة مفتوحة: أعطِ مثالاً على f(x)، بحيث تكون lim_{x o 0} f(x) موجودة، و f(0) غير معرفة، ومثالاً على دالة أخرى g(x)، بحيث تكون g(0) معرفة، ولكن lim_{x o 0} g(x) غير موجودة.

الإجابة: س 49: مثال: f(x)=1 (x≠0), f(0) غير معرفة. g(x)=(-1) x>0, (1) x<0, g(0)=0

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** في الجزء الأول، نحتاج دالة لها نهاية عند الصفر لكنها غير معرفة هناك. أبسط مثال هو دالة ثابتة مع استبعاد نقطة الصفر، مثل $f(x) = 1$ لكل $x \neq 0$، حيث تكون النهاية $1$ لكن $f(0)$ غير موجودة. في الجزء الثاني، نحتاج دالة معرفة عند الصفر لكن نهايتها غير موجودة. يمكننا استخدام دالة متعددة التعريف لها قفزة عند الصفر، مثل $g(x) = -1$ عندما $x > 0$ و $g(x) = 1$ عندما $x < 0$ مع تعريف $g(0) = 0$. هنا النهاية من اليمين لا تساوي اليسار. ولذلك الإجابة هي: **مثال: $f(x)=1 (x \neq 0)$ و $f(0)$ غير معرفة. و $g(x)$ تكون $-1$ لـ $x>0$ و $1$ لـ $x<0$ و $g(0)=0$.**

سؤال 50: 50) تحدّ: إذا كان f(x) = rac{x^2 + 1}{x - 1} ، g(x) = rac{x + 1}{x^2 - 4}. فقدّر كلاً من lim_{x o 1} f(x) , lim_{x o 2} g(x). وإذا كانت j(x), h(x) كثيرتي حدود بحيث: h(a) = 0, j(a) eq 0 ، فماذا يمكنك القول عن lim_{x o a} rac{j(x)}{h(x)} ؟ برّر إجابتك.

الإجابة: س50: f(1) : غير موجودة g(2) : غير موجودة القاعدة العامة: تؤول إلى ±∞

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (التقدير):** بالنسبة لـ $f(1)$، نلاحظ أن المقام $1-1=0$ والبسط $1^2+1=2$. بما أننا نقسم عدداً على صفر، فإن القيمة تؤول إلى مالانهاية، لذا النهاية غير موجودة. وبالمثل لـ $g(2)$، المقام $2^2-4=0$ والبسط $2+1=3$، فالنهاية غير موجودة.
  2. **الخطوة 2 (التعميم):** إذا كان لدينا دالة كسرية $\frac{j(x)}{h(x)}$ حيث مقامها $h(a)=0$ وبسطها $j(a) \neq 0$، فهذا يعني وجود خط تقارب رأسي عند $x=a$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **النهايات غير موجودة، والقاعدة العامة أنها تؤول إلى $\pm\infty$.**

سؤال 51: 51) تبرير: حدّد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائماً أو صحيحة أحياناً أو غير صحيحة أبداً. برّر إجابتك. إذا كان f(c) = L ، فإن lim_{x o c} f(x) = L.

الإجابة: س51: صحيحة أحياناً (إذا كانت f متصلة عند c). مثال مضاد: f(x)=0 (x≠0), f(0)=1

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** هذه العبارة ليست قاعدة ثابتة دائماً. فوجود قيمة للدالة عند نقطة ما لا يضمن أن سلوك الدالة حول تلك النقطة يقترب من نفس القيمة. هذا الشرط يتحقق فقط في "الدوال المتصلة". أما إذا كانت الدالة تحتوي على فجوة أو نقطة منفصلة، فقد تكون قيمة الدالة مختلفة تماماً عن نهايتها. ولذلك الإجابة هي: **صحيحة أحياناً (إذا كانت $f$ متصلة عند $c$). ومثال مضاد: دالة تكون قيمتها $0$ عند كل النقاط ما عدا الصفر قيمتها $1$.**

سؤال 52: 52) مسألة مفتوحة: مثّل بيانياً دالة تحقق كلاً مما يأتي: f(2) = 5, f(0) = 2, f(-3) = -3 ، و lim_{x o 0} f(x) و lim_{x o 2} f(x) غير موجودة.

الإجابة: س52: مثال: f(x)=2 (x=0), 5 (x=2), -3 (x=-3), x^2 (x<2, x≠0, 2)

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لتحقيق هذه الشروط، نحتاج لرسم نقاط محددة: $(2, 5)$ و $(0, 2)$ و $(-3, -3)$. لكي تكون النهاية غير موجودة عند $0$ و $2$، يجب أن يحدث انقطاع في الرسم (مثل قفزة أو خط تقارب) عند هاتين القيمتين، مع الحفاظ على مرور المنحنى بالنقاط المعطاة. ولذلك الإجابة هي: **مثال لدالة تحقق ذلك: $f(x)=2$ عند $x=0$، و $5$ عند $x=2$، و $-3$ عند $x=-3$، وتتبع مسار $x^2$ في بقية المناطق مع وجود قفزات.**

سؤال 53: 53) تحدّ: قدّر كلاً من النهايات الآتية للدالة f إذا كانت موجودة: f(x) = egin{cases} 2x + 4 , & x < -1 \\ -1 , & -1 \le x \le 0 \\ x^2 , & 1 < x \le 2 \\ x - 3 , & x > 2 \end{cases} a) lim_{x o -1} f(x) b) lim_{x o 0} f(x) c) lim_{x o 2^+} f(x)

الإجابة: س 53(أ): غير موجودة س 53(ب): غير موجودة (غير معرفة يمين ويسار 0). س 53(ج): 1-

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (حل الفقرة a):** عند $x \to -1$، نحسب النهاية من اليسار باستخدام $2x+4$ فتكون $2(-1)+4 = 2$. والنهاية من اليمين من القاعدة الثانية هي $-1$. بما أن $2 \neq -1$، فالنهاية غير موجودة.
  2. **الخطوة 2 (حل الفقرة b):** عند $x \to 0$، نجد أن الدالة معرفة لـ $x \le 0$ ولكن لا يوجد تعريف للدالة في الفترة مباشرة بعد الصفر (بين $0$ و $1$)، لذا لا يمكن حساب نهاية من اليمين.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالنسبة لـ (c)، عند $x \to 2^+$ نستخدم القاعدة $x-3$، فتكون $2-3 = -1$. إذن الإجابات: **(a) غير موجودة، (b) غير موجودة، (c) -1.**

سؤال 54: 54) اكتب: من خلال ما لاحظته في حل التمارين، وضح طريقتك لتقدير نهاية دالة متصلة.

الإجابة: س 54: إذا كانت الدالة متصلة عند c فإن النهاية تساوي f(c) (التعويض المباشر).

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** من خلال حل التمارين المتنوعة، نلاحظ أن الدالة إذا لم يكن بها انقطاع أو فجوات عند نقطة معينة (أي أنها متصلة)، فإن قيمة النهاية هي ببساطة القيمة التي نحصل عليها عند تعويض النقطة مباشرة في الدالة. ولذلك الإجابة هي: **إذا كانت الدالة متصلة عند $c$ فإن النهاية تساوي $f(c)$ (التعويض المباشر).**

سؤال 55: 55) أثبت صحة المتطابقة. (مهارة سابقة) \sin heta ( rac{1}{\sin heta} - rac{\cos heta}{\cot heta}) = \cos^2 heta

الإجابة: sin θ (1/sin θ - cos θ / (cos θ / sin θ)) = sin θ (1/sin θ - sin θ) = 1 - sin^2 θ = cos^2 θ

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (التبسيط):** نبدأ بالطرف الأيسر: $\sin \theta (\frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\cot \theta})$. نعلم أن $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
  2. **الخطوة 2 (التعويض):** تصبح العبارة: $\sin \theta (\frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}) = \sin \theta (\frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta)$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بتوزيع $\sin \theta$: $1 - \sin^2 \theta$. ومن متطابقة فيثاغورس، هذا يساوي $\cos^2 \theta$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **$\cos^2 \theta$**

سؤال 56: 56) حدّد ما إذا كانت الدالة الآتية متصلة عند قيم x المعطاة. برّر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال، وإذا كانت الدالة غير متصلة، فحدّد نوع عدم الاتصال: لا نهائي، قفزي، قابل للإزالة. (مهارة سابقة) h(x) = rac{x^2 - 25}{x + 5}

الإجابة: س 56: متصلة عند 5، غير متصلة عند 5- (قابل للإزالة)؛ لأن (x+5) عامل.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نختبر الاتصال عند $x=5$ و $x=-5$. الدالة هي $h(x) = \frac{(x-5)(x+5)}{x+5}$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** عند $x=5$: المقام لا يساوي صفراً، وبالتعويض نجد قيمة معرفة، فهي متصلة. عند $x=-5$: المقام يساوي صفراً، لكن يمكن اختصار القوس $(x+5)$ من البسط والمقام.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن العامل المسبب للصفر تم اختصاره، فإن عدم الاتصال عند $-5$ هو **قابل للإزالة**، بينما الدالة **متصلة عند 5**.

سؤال 57: 57) أوجد متوسط معدل تغير f(x) = \sqrt{x - 6} في الفترة [8, 16]. (مهارة سابقة)

الإجابة: س 57: (f(16)-f(8))/(16-8) = (sqrt(10)-sqrt(2))/8

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (القانون):** متوسط معدل التغير في الفترة $[a, b]$ هو: $m_{sec} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نعوض بالقيم: $f(16) = \sqrt{16-6} = \sqrt{10}$، و $f(8) = \sqrt{8-6} = \sqrt{2}$. المعدل = $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{16 - 8}$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{8}$**

سؤال 58: أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) 58) u = \langle 2, 9, -2 angle, v = \langle -4, 7, 6 angle

الإجابة: 63.0 درجة

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (القانون):** نستخدم قانون جيب التمام للزاوية بين متجهين: $\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| |v|}$.
  2. **الخطوة 2 (الحسابات):** $u \cdot v = (2)(-4) + (9)(7) + (-2)(6) = -8 + 63 - 12 = 43$. طول $u = \sqrt{2^2 + 9^2 + (-2)^2} = \sqrt{89}$. طول $v = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 6^2} = \sqrt{101}$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** $\cos \theta = \frac{43}{\sqrt{89} \times \sqrt{101}}$. باستخدام الحاسبة، $\theta \approx 63.0^\circ$. إذن الإجابة هي: **63.0 درجة**

سؤال 59: أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) 59) m = 3i - 5j + 6k, n = -7i + 8j + 9k

الإجابة: س 59: 93.4 درجة

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحسابات):** نحسب الضرب الداخلي: $m \cdot n = (3)(-7) + (-5)(8) + (6)(9) = -21 - 40 + 54 = -7$. نحسب الأطوال: $|m| = \sqrt{70}$ و $|n| = \sqrt{194}$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** $\cos \theta = \frac{-7}{\sqrt{70} \times \sqrt{194}}$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بإيجاد معكوس الكوساين، نجد أن $\theta \approx 93.4^\circ$. إذن الإجابة هي: **93.4 درجة**

سؤال 60: 60) باستعمال التمثيل البياني للدالة y = f(x) أدناه، ما قيمة lim_{x o 0} f(x) (إن وجدت)؟ 0 A 1 B 3 C النهاية غير موجودة D

الإجابة: س 60: 3، (ج)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** ننظر إلى الرسم البياني ونحدد موقع $x=0$ على المحور الأفقي.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نتتبع المنحنى من اليمين ومن اليسار باتجاه الصفر. نلاحظ أن طرفي المنحنى يلتقيان عند الارتفاع $3$ على محور $y$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن النهايتين متساويتين عند $3$، فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار **(C) 3**.

سؤال 61: 61) إذا كانت g(x) = rac{1}{x^2} وكانت العبارات: I نقطة عدم اتصال لا نهائي. II نقطة عدم اتصال قفزي. III نقطة عدم اتصال قابل للإزالة. فأي مما يأتي يصف التمثيل البياني لمنحنى الدالة g(x)؟ A I فقط B I, III فقط C II فقط D I و II فقط

الإجابة: س 61: عدم اتصال لا نهائي، (أ)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الدالة $g(x) = \frac{1}{x^2}$ لها مقام ينعدم عند $x=0$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** عندما تقترب $x$ من الصفر، فإن قيمة $x^2$ تكون موجبة وصغيرة جداً، مما يجعل $\frac{1}{x^2}$ تكبر بلا حدود باتجاه موجب مالانهاية من الطرفين.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** هذا السلوك يمثل تعريف عدم الاتصال اللانهائي. لذا الوصف الصحيح هو العبارة I فقط، والإجابة هي **(A)**.