فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

8-2 حساب النهايات جبرياً Evaluating Limits Algebraically

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

درستُ كيفية تقدير النهايات بيانياً وعددياً. (الدرس 1-8)

• أجدُ نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية عند قيم محددة. • أجدُ نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية عند المالانهاية.

التعويض المباشر direct substitution الصيغة غير المحددة indeterminate form

إذا أُعطيت اتساع البؤبؤ بالمليمترات لعين حيوان بالعلاقة d(x) = (152x^-0.45 + 85) / (4x^-0.45 + 10)؛ حيث x الاستضاءة الساقطة على البؤبؤ مقيسة بوحدة اللوكس (lux)، فإنه يمكنك استعمال النهاية عندما تقترب x من 0 أو ∞ لإيجاد اتساع البؤبؤ عندما تكون الاستضاءة في حدها الأدنى أو الأعلى. حساب النهاية عند نقطة: تعلمتَ في الدرس 1-8 تقدير النهايات بيانياً، وباستعمال جداول قيم. وستكتشف في هذا الدرس طرائق جبرية لحساب النهايات.

نهايات الدوال الثابتة التعبير اللفظي: نهاية الدالة الثابتة عند أي نقطة c هي القيمة الثابتة للدالة. الرموز: lim_{x→c} k = k نهايات الدالة المحايدة التعبير اللفظي: نهاية الدالة المحايدة عند النقطة c هي c. الرموز: lim_{x→c} x = c

تظهر أهمية نهايات الدوال الثابتة والدالة المحايدة واضحة في خصائص النهايات.

إذا كانت f(c) ≤ 0 و n عدداً زوجياً فإن lim_{x→c} sqrt[n]{f(x)} غير موجودة.

إذا كان c, k عددين حقيقيين، n عدداً صحيحاً موجباً، وكانت النهايتان lim_{x→c} f(x), lim_{x→c} g(x) موجودتين، فإن كلاً من الخصائص الآتية صحيحة: خاصية المجموع: lim_{x→c} [f(x) + g(x)] = lim_{x→c} f(x) + lim_{x→c} g(x) خاصية الفرق: lim_{x→c} [f(x) - g(x)] = lim_{x→c} f(x) - lim_{x→c} g(x) خاصية الضرب في ثابت: lim_{x→c} [k f(x)] = k lim_{x→c} f(x) خاصية الضرب: lim_{x→c} [f(x) · g(x)] = lim_{x→c} f(x) · lim_{x→c} g(x) خاصية القسمة: lim_{x→c} (f(x) / g(x)) = (lim_{x→c} f(x)) / (lim_{x→c} g(x)) ، حيث lim_{x→c} g(x) ≠ 0 خاصية القوة: lim_{x→c} [f(x)]^n = [lim_{x→c} f(x)]^n خاصية الجذر النوني: lim_{x→c} sqrt[n]{f(x)} = sqrt[n]{lim_{x→c} f(x)} ، إذا كان lim_{x→c} f(x) > 0 ، حيث n عدد زوجي. وإذا كان n عدداً فردياً، فإن lim_{x→c} sqrt[n]{f(x)} = sqrt[n]{lim_{x→c} f(x)}

8-2 حساب النهايات جبرياً Evaluating Limits Algebraically رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: فيما سبق --- درستُ كيفية تقدير النهايات بيانياً وعددياً. (الدرس 1-8) --- SECTION: والآن --- • أجدُ نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية عند قيم محددة. • أجدُ نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية عند المالانهاية. --- SECTION: المفردات --- التعويض المباشر direct substitution الصيغة غير المحددة indeterminate form --- SECTION: لماذا؟ --- إذا أُعطيت اتساع البؤبؤ بالمليمترات لعين حيوان بالعلاقة d(x) = (152x^-0.45 + 85) / (4x^-0.45 + 10)؛ حيث x الاستضاءة الساقطة على البؤبؤ مقيسة بوحدة اللوكس (lux)، فإنه يمكنك استعمال النهاية عندما تقترب x من 0 أو ∞ لإيجاد اتساع البؤبؤ عندما تكون الاستضاءة في حدها الأدنى أو الأعلى. حساب النهاية عند نقطة: تعلمتَ في الدرس 1-8 تقدير النهايات بيانياً، وباستعمال جداول قيم. وستكتشف في هذا الدرس طرائق جبرية لحساب النهايات. --- SECTION: مفهوم أساسي: نهايات الدوال --- نهايات الدوال الثابتة التعبير اللفظي: نهاية الدالة الثابتة عند أي نقطة c هي القيمة الثابتة للدالة. الرموز: lim_{x→c} k = k نهايات الدالة المحايدة التعبير اللفظي: نهاية الدالة المحايدة عند النقطة c هي c. الرموز: lim_{x→c} x = c تظهر أهمية نهايات الدوال الثابتة والدالة المحايدة واضحة في خصائص النهايات. --- SECTION: تنبيه! --- إذا كانت f(c) ≤ 0 و n عدداً زوجياً فإن lim_{x→c} sqrt[n]{f(x)} غير موجودة. --- SECTION: مفهوم أساسي: خصائص النهايات --- إذا كان c, k عددين حقيقيين، n عدداً صحيحاً موجباً، وكانت النهايتان lim_{x→c} f(x), lim_{x→c} g(x) موجودتين، فإن كلاً من الخصائص الآتية صحيحة: خاصية المجموع: lim_{x→c} [f(x) + g(x)] = lim_{x→c} f(x) + lim_{x→c} g(x) خاصية الفرق: lim_{x→c} [f(x) - g(x)] = lim_{x→c} f(x) - lim_{x→c} g(x) خاصية الضرب في ثابت: lim_{x→c} [k f(x)] = k lim_{x→c} f(x) خاصية الضرب: lim_{x→c} [f(x) · g(x)] = lim_{x→c} f(x) · lim_{x→c} g(x) خاصية القسمة: lim_{x→c} (f(x) / g(x)) = (lim_{x→c} f(x)) / (lim_{x→c} g(x)) ، حيث lim_{x→c} g(x) ≠ 0 خاصية القوة: lim_{x→c} [f(x)]^n = [lim_{x→c} f(x)]^n خاصية الجذر النوني: lim_{x→c} sqrt[n]{f(x)} = sqrt[n]{lim_{x→c} f(x)} ، إذا كان lim_{x→c} f(x) > 0 ، حيث n عدد زوجي. وإذا كان n عدداً فردياً، فإن lim_{x→c} sqrt[n]{f(x)} = sqrt[n]{lim_{x→c} f(x)} --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link. **IMAGE**: Untitled Description: Two photographs of a cat's eyes. The top image shows constricted pupils in bright light, and the bottom image shows dilated pupils in low light, illustrating the 'Why?' section about pupil diameter and light intensity. **GRAPH**: نهايات الدوال الثابتة Description: A graph showing a horizontal line at y = k. A point 'c' is marked on the x-axis, and a dashed vertical line connects 'c' to the point (c, k) on the horizontal line. The graph illustrates that as x approaches c, f(x) remains k. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: نهايات الدالة المحايدة Description: A graph of the identity function f(x) = x, which is a straight line passing through the origin at a 45-degree angle. A point 'c' is marked on both the x and y axes. Dashed lines from x=c and y=c meet at the point (c, c) on the line. X-axis: x Y-axis: y