إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

خصائص النهايات: تبقى خصائص النهايات صحيحة في حال كون النهايات من جهة واحدة، وفي حال كونها عند المالانهاية، شريطة وجود هذه النهايات.

مثال 1 استعمال خصائص النهايات

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: a) lim (x² - 6x + 3) as x→4 الحل: lim (x² - 6x + 3) = lim x² - lim 6x + lim 3 (خاصيتا المجموع والفرق) = (lim x)² - 6 · lim x + lim 3 (خاصيتا القوة والضرب في ثابت) = 4² - 6 · 4 + 3 (نهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة) = -5 (بسط)

تحقق: يعزز التمثيل البياني للدالة f(x) = x² - 6x + 3 هذه النتيجة.

b) lim (4x³ + 1) / (x - 5) as x→-2 الحل: lim (4x³ + 1) / (x - 5) = lim (4x³ + 1) / lim (x - 5) (خاصية القسمة) = (lim 4x³ + lim 1) / (lim x - lim 5) (خاصيتا المجموع والفرق) = (4(lim x)³ + lim 1) / (lim x - lim 5) (خاصيتا القوة والضرب في ثابت) = (4(-2)³ + 1) / (-2 - 5) (نهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة) ≈ 4.4 (بسط)

تحقق: كوّن جدولاً لقيم x التي تقترب من -2 من الجهتين. من الواضح أنه كلما اقترب x من العدد -2، فإن f(x) تقترب من العدد 4.4

c) lim √(8 - x) as x→3 الحل: lim (8 - x) = lim 8 - lim x (خاصية الفرق) = 8 - 3 (عوض) = 5 > 0 (بسط) lim √(8 - x) = √(lim (8 - x)) (خاصية الجذر النوني) = √(lim 8 - lim x) (خاصية الفرق) = √(8 - 3) (نهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة) = √5 (بسط)

خاصية الجذر النوني الزوجي تستخدم فقط إذا كان lim f(x) > 0 as x→c

تحقق من فهمك

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

لاحظ أن نهاية كل دالة في المثال أعلاه عندما تقترب x من c تساوي قيمة f(c). ومع أن هذه الملاحظة ليست صحيحة في جميع الدوال، إلا أنها صحيحة في دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية التي مقاماتها لا تساوي صفراً عندما x = c. كما هو موضح فيما يأتي:

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- خصائص النهايات: تبقى خصائص النهايات صحيحة في حال كون النهايات من جهة واحدة، وفي حال كونها عند المالانهاية، شريطة وجود هذه النهايات. مثال 1 استعمال خصائص النهايات --- SECTION: 1a --- استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: a) lim (x² - 6x + 3) as x→4 الحل: lim (x² - 6x + 3) = lim x² - lim 6x + lim 3 (خاصيتا المجموع والفرق) = (lim x)² - 6 · lim x + lim 3 (خاصيتا القوة والضرب في ثابت) = 4² - 6 · 4 + 3 (نهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة) = -5 (بسط) تحقق: يعزز التمثيل البياني للدالة f(x) = x² - 6x + 3 هذه النتيجة. --- SECTION: 1b --- b) lim (4x³ + 1) / (x - 5) as x→-2 الحل: lim (4x³ + 1) / (x - 5) = lim (4x³ + 1) / lim (x - 5) (خاصية القسمة) = (lim 4x³ + lim 1) / (lim x - lim 5) (خاصيتا المجموع والفرق) = (4(lim x)³ + lim 1) / (lim x - lim 5) (خاصيتا القوة والضرب في ثابت) = (4(-2)³ + 1) / (-2 - 5) (نهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة) ≈ 4.4 (بسط) تحقق: كوّن جدولاً لقيم x التي تقترب من -2 من الجهتين. من الواضح أنه كلما اقترب x من العدد -2، فإن f(x) تقترب من العدد 4.4 --- SECTION: 1c --- c) lim √(8 - x) as x→3 الحل: lim (8 - x) = lim 8 - lim x (خاصية الفرق) = 8 - 3 (عوض) = 5 > 0 (بسط) lim √(8 - x) = √(lim (8 - x)) (خاصية الجذر النوني) = √(lim 8 - lim x) (خاصية الفرق) = √(8 - 3) (نهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة) = √5 (بسط) --- SECTION: تنبيه! --- خاصية الجذر النوني الزوجي تستخدم فقط إذا كان lim f(x) > 0 as x→c تحقق من فهمك --- SECTION: 1 --- استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: 1A. lim (-x³ + 4) as x→2 1B. lim (x - 3) / (2x² - x - 15) as x→2 1C. lim √(x + 3) as x→-1 لاحظ أن نهاية كل دالة في المثال أعلاه عندما تقترب x من c تساوي قيمة f(c). ومع أن هذه الملاحظة ليست صحيحة في جميع الدوال، إلا أنها صحيحة في دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية التي مقاماتها لا تساوي صفراً عندما x = c. كما هو موضح فيما يأتي: --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A parabola opening upwards with vertex at (3, -6). A specific point is highlighted at (4, -5) with dashed lines extending to the x-axis at 4 and the y-axis at -5, verifying the limit as x approaches 4. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -2.1 | 5.08 Row 2: -2.01 | 4.49 Row 3: -2.001 | 4.43 Row 4: -2 | EMPTY Row 5: -1.999 | 4.42 Row 6: -1.99 | 4.37 Row 7: -1.9 | 3.83 Empty cells: The cell for f(x) when x = -2 is empty to show the limit behavior. Calculation needed: Evaluating the limit of f(x) as x approaches -2 from both sides. Context: Numerical verification of the limit calculated in example 1b.