إرشادات للدراسة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

الدوال الجيدة السلوك
تُعدُّ الدوال المتصلة مثل دوال كثيرات الحدود ودالتي الجيب وجيب التمام دوالاً جيدة السلوك، إذ يمكن حساب نهاياتها من خلال التعويض المباشر، ويمكن إيجاد نهاية الدوال من خلال التعويض المباشر حتى وإن لم تكن الدالة جيدة السلوك على مجالها، بشرط أن تكون متصلة عند النقطة التي تحسب عندها النهاية.

مفهوم أساسي: نهايات الدوال

نوع: محتوى تعليمي

نهايات دوال كثيرات الحدود
إذا كانت p(x) دالة كثيرة حدود، وكان c عدداً حقيقياً، فإن lim_{x→c} p(x) = p(c).
نهايات الدوال النسبية
إذا كانت r(x) = p(x)/q(x) دالة نسبية، وكان c عدداً حقيقياً، حيث q(c) ≠ 0، فإن lim_{x→c} r(x) = r(c) = p(c)/q(c).
وبشكل مختصر، فإنه يمكن حساب نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية من خلال التعويض المباشر، شريطة ألا يساوي مقام الدالة النسبية صفراً عند النقطة التي تُحسب عندها النهاية.

نوع: محتوى تعليمي

مثال 2: استعمال التعويض المباشر لحساب النهايات

نوع: محتوى تعليمي

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:
a) lim_{x→-1} (-3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x + 4)
بما أن هذه نهاية دالة كثيرة حدود، فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر.
lim_{x→-1} (-3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x + 4) = -3(-1)^4 + 5(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4
= -3 - 5 - 2 - 1 + 4 = -7

تحقق

نوع: FIGURE_REFERENCE

يعزز التمثيل البياني بالآلة البيانية للدالة f(x) = -3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x + 4 هذه النتيجة.

نوع: محتوى تعليمي

b) lim_{x→3} (2x^3 - 6) / (x - x^2)
بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها ليس صفراً عندما x = 3، فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر.
lim_{x→3} (2x^3 - 6) / (x - x^2) = (2(3)^3 - 6) / (3 - (3)^2) = 48 / -6 = -8

نوع: محتوى تعليمي

c) lim_{x→1} (x^2 - 1) / (x - 1)
بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها صفر عندما x = 1، فلا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر.

نوع: محتوى تعليمي

d) lim_{x→-6} sqrt(x + 5)
بما أن lim_{x→-6} (x + 5) = -6 + 5 = -1 < 0، فلا يمكننا حساب lim_{x→-6} sqrt(x + 5) بالتعويض المباشر.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:

نوع: محتوى تعليمي

لنفترض أنك استعملت خاصية القسمة أو التعويض المباشر لحساب النهاية lim_{x→1} (x^2 - 1) / (x - 1) بشكل خاطئ كما يلي:
lim_{x→1} (x^2 - 1) / (x - 1) = lim_{x→1} (x^2 - 1) / lim_{x→1} (x - 1) = (1^2 - 1) / (1 - 1) = 0/0
وهذا ليس صحيحاً؛ لأن نهاية المقام تساوي 0.

نوع: METADATA

الدرس 2-8 حساب النهايات جبرياً 139

🔍 عناصر مرئية

Graphing Calculator View

A graph showing a polynomial function with multiple local extrema. The curve opens downwards on both ends. A specific point is highlighted with a cursor.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
الدوال الجيدة السلوك
تُعدُّ الدوال المتصلة مثل دوال كثيرات الحدود ودالتي الجيب وجيب التمام دوالاً جيدة السلوك، إذ يمكن حساب نهاياتها من خلال التعويض المباشر، ويمكن إيجاد نهاية الدوال من خلال التعويض المباشر حتى وإن لم تكن الدالة جيدة السلوك على مجالها، بشرط أن تكون متصلة عند النقطة التي تحسب عندها النهاية.

--- SECTION: مفهوم أساسي: نهايات الدوال ---
نهايات دوال كثيرات الحدود
إذا كانت p(x) دالة كثيرة حدود، وكان c عدداً حقيقياً، فإن lim_{x→c} p(x) = p(c).
نهايات الدوال النسبية
إذا كانت r(x) = p(x)/q(x) دالة نسبية، وكان c عدداً حقيقياً، حيث q(c) ≠ 0، فإن lim_{x→c} r(x) = r(c) = p(c)/q(c).
وبشكل مختصر، فإنه يمكن حساب نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية من خلال التعويض المباشر، شريطة ألا يساوي مقام الدالة النسبية صفراً عند النقطة التي تُحسب عندها النهاية.

مثال 2: استعمال التعويض المباشر لحساب النهايات

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:
a) lim_{x→-1} (-3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x + 4)
بما أن هذه نهاية دالة كثيرة حدود، فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر.
lim_{x→-1} (-3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x + 4) = -3(-1)^4 + 5(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4
= -3 - 5 - 2 - 1 + 4 = -7

--- SECTION: تحقق ---
يعزز التمثيل البياني بالآلة البيانية للدالة f(x) = -3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x + 4 هذه النتيجة.

b) lim_{x→3} (2x^3 - 6) / (x - x^2)
بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها ليس صفراً عندما x = 3، فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر.
lim_{x→3} (2x^3 - 6) / (x - x^2) = (2(3)^3 - 6) / (3 - (3)^2) = 48 / -6 = -8

c) lim_{x→1} (x^2 - 1) / (x - 1)
بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها صفر عندما x = 1، فلا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر.

d) lim_{x→-6} sqrt(x + 5)
بما أن lim_{x→-6} (x + 5) = -6 + 5 = -1 < 0، فلا يمكننا حساب lim_{x→-6} sqrt(x + 5) بالتعويض المباشر.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:
2A. lim_{x→4} (x^3 - 3x^2 - 5x + 7)
2B. lim_{x→-5} (x + 1) / (x^2 + 3)
2C. lim_{x→2} (x^3 - 8) / (x - 2)
2D. lim_{x→-8} sqrt(x + 6)

لنفترض أنك استعملت خاصية القسمة أو التعويض المباشر لحساب النهاية lim_{x→1} (x^2 - 1) / (x - 1) بشكل خاطئ كما يلي:
lim_{x→1} (x^2 - 1) / (x - 1) = lim_{x→1} (x^2 - 1) / lim_{x→1} (x - 1) = (1^2 - 1) / (1 - 1) = 0/0
وهذا ليس صحيحاً؛ لأن نهاية المقام تساوي 0.

الدرس 2-8 حساب النهايات جبرياً 139

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Graphing Calculator View
Description: A graph showing a polynomial function with multiple local extrema. The curve opens downwards on both ends. A specific point is highlighted with a cursor.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: Visual verification of the limit calculation for example 2a, showing that as x approaches -1, the function value approaches -7.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال تحقق من فهمك: احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب: 2A) $\lim_{x \to 4} (x^3 - 3x^2 - 5x + 7)$ 2B) $\lim_{x \to -5} \frac{x+1}{x^2+3}$ 2C) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}$ 2D) $\lim_{x \to -8} \sqrt{x+6}$

الإجابة: 2A) $4^3 - 3(4)^2 - 5(4) + 7 = 3$ 2B) $\frac{-5+1}{(-5)^2+3} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$ 2C) بما أن نهاية المقام تساوي صفراً عند $x=2$ فلا يمكن استعمال التعويض المباشر. 2D) بما أن $\lim_{x \to -8} (x+6) = -8+6 = -2 < 0$ فلا يمكن استعمال التعويض المباشر.

خطوات الحل:

**الفقرة 2A:** **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا دالة كثيرة حدود: $f(x) = x^3 - 3x^2 - 5x + 7$ والمطلوب إيجاد النهاية عندما تقترب $x$ من القيمة $4$. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن الدالة كثيرة حدود، فإننا نستخدم خاصية التعويض المباشر لإيجاد النهاية. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن كل $x$ بالعدد $4$: $$\lim_{x \to 4} (x^3 - 3x^2 - 5x + 7) = (4)^3 - 3(4)^2 - 5(4) + 7$$ $$= 64 - 3(16) - 20 + 7 = 64 - 48 - 20 + 7$$ **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة = **3**
**الفقرة 2B:** **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا دالة نسبية: $f(x) = \frac{x+1}{x^2+3}$ والمطلوب إيجاد النهاية عند $x \to -5$. **الخطوة 2 (القانون):** في الدوال النسبية، نستخدم التعويض المباشر بشرط ألا يكون المقام مساوياً للصفر عند تلك النقطة. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض المباشر: $$\frac{-5+1}{(-5)^2+3} = \frac{-4}{25+3} = \frac{-4}{28}$$ **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتبسيط، إذن الإجابة = **$-\frac{1}{7}$**
**الفقرة 2C:** **الخطوة 1 (المفهوم):** لدينا دالة نسبية والمطلوب النهاية عند $x \to 2$. يجب أولاً اختبار قيمة المقام عند هذه النقطة. **الخطوة 2 (التطبيق):** عند تعويض $x=2$ في المقام: $2 - 2 = 0$. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن نهاية المقام تساوي صفراً عند $x=2$، **فلا يمكن استعمال التعويض المباشر**.
**الفقرة 2D:** **الخطوة 1 (المفهوم):** لدينا دالة جذر تربيعي والمطلوب النهاية عند $x \to -8$. يجب أن تكون القيمة تحت الجذر أكبر من أو تساوي الصفر. **الخطوة 2 (التطبيق):** نحسب قيمة ما تحت الجذر بالتعويض المباشر: $$-8 + 6 = -2$$ **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن القيمة تحت الجذر سالبة (أصغر من الصفر)، **فلا يمكن استعمال التعويض المباشر** (لأن النهاية غير معرفة في مجموعة الأعداد الحقيقية).