تنبيه!

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

يُسمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة 0/0 الصيغة غير المحددة؛ لأنه لا يمكنك تحديد نهاية الدالة مع وجود صفر في المقام، ومثل هذه النهايات قد تكون موجودة ولها قيمة حقيقية، أو غير موجودة، أو متباعدة نحو ∞ أو -∞، ويُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) أن lim (x^2 - 1) / (x - 1) عندما x تؤول إلى 1 موجودة وتساوي 2.
على الرغم من أن الصيغة غير المحددة تظهر من خلال تطبيق خاطئ لخصائص النهايات، إلا أن الحصول على هذه الصيغة قد يرشدنا إلى الطريقة الأنسب لإيجاد النهاية.
إذا قمت بحساب نهاية دالة نسبية، ووصلت إلى الصيغة غير المحددة 0/0، فبسط العبارة جبرياً من خلال تحليل كل من البسط والمقام واختصار العوامل المشتركة.

نوع: محتوى تعليمي

مثال 3: استعمال التحليل لحساب النهايات

3

نوع: محتوى تعليمي

احسب كل نهاية مما يأتي:
a) lim (x^2 - x - 20) / (x + 4) عندما x تؤول إلى -4
ينتج عن التعويض المباشر 0/0؛ لذا فإن علينا تحليل المقدار جبرياً، واختصار أي عوامل مشتركة بين البسط والمقام.
lim (x^2 - x - 20) / (x + 4) = lim (x - 5)(x + 4) / (x + 4) [حلل البسط]
= lim (x - 5) [اختصر العامل المشترك]
= (-4) - 5 = -9 [عوض وبسط]

نوع: محتوى تعليمي

تحقق: يعزز التمثيل البياني للدالة f(x) = (x^2 - x - 20) / (x + 4) هذه النتيجة.

3

نوع: محتوى تعليمي

b) lim (x - 3) / (x^3 - 3x^2 - 7x + 21) عندما x تؤول إلى 3
ينتج عن التعويض المباشر 0/0.
lim (x - 3) / (x^3 - 3x^2 - 7x + 21) = lim (x - 3) / ((x^3 - 3x^2) + (-7x + 21)) [أعد تجميع المقام]
= lim (x - 3) / (x^2(x - 3) - 7(x - 3)) [أخرج العامل المشترك من الحدود المجمعة في المقام]
= lim (x - 3) / ((x^2 - 7)(x - 3)) [أخرج العامل المشترك في المقام]
= lim 1 / (x^2 - 7) [اختصر]
= 1 / (3^2 - 7) = 1 / 2 [عوض وبسط]

نوع: محتوى تعليمي

التحليل: عند اختصار البسط بأكمله، فإنه يصبح 1 وليس 0.

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك: احسب كل نهاية مما يأتي:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3A) lim (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) / (x + 2) عندما x تؤول إلى -2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3B) lim (x^2 - 7x + 6) / (3x^2 - 11x - 42) عندما x تؤول إلى 6

نوع: METADATA

140 الفصل 8 النهايات والاشتقاق | وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

A linear graph representing a function with a removable discontinuity (hole). The line has a positive slope.

A linear graph with a removable discontinuity. The line has a positive slope.

📄 النص الكامل للصفحة

يُسمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة 0/0 الصيغة غير المحددة؛ لأنه لا يمكنك تحديد نهاية الدالة مع وجود صفر في المقام، ومثل هذه النهايات قد تكون موجودة ولها قيمة حقيقية، أو غير موجودة، أو متباعدة نحو ∞ أو -∞، ويُبيّن التمثيل البياني للدالة f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) أن lim (x^2 - 1) / (x - 1) عندما x تؤول إلى 1 موجودة وتساوي 2.
على الرغم من أن الصيغة غير المحددة تظهر من خلال تطبيق خاطئ لخصائص النهايات، إلا أن الحصول على هذه الصيغة قد يرشدنا إلى الطريقة الأنسب لإيجاد النهاية.
إذا قمت بحساب نهاية دالة نسبية، ووصلت إلى الصيغة غير المحددة 0/0، فبسط العبارة جبرياً من خلال تحليل كل من البسط والمقام واختصار العوامل المشتركة.

مثال 3: استعمال التحليل لحساب النهايات

--- SECTION: 3 ---
احسب كل نهاية مما يأتي:
a) lim (x^2 - x - 20) / (x + 4) عندما x تؤول إلى -4
ينتج عن التعويض المباشر 0/0؛ لذا فإن علينا تحليل المقدار جبرياً، واختصار أي عوامل مشتركة بين البسط والمقام.
lim (x^2 - x - 20) / (x + 4) = lim (x - 5)(x + 4) / (x + 4) [حلل البسط]
= lim (x - 5) [اختصر العامل المشترك]
= (-4) - 5 = -9 [عوض وبسط]

تحقق: يعزز التمثيل البياني للدالة f(x) = (x^2 - x - 20) / (x + 4) هذه النتيجة.

--- SECTION: 3 ---
b) lim (x - 3) / (x^3 - 3x^2 - 7x + 21) عندما x تؤول إلى 3
ينتج عن التعويض المباشر 0/0.
lim (x - 3) / (x^3 - 3x^2 - 7x + 21) = lim (x - 3) / ((x^3 - 3x^2) + (-7x + 21)) [أعد تجميع المقام]
= lim (x - 3) / (x^2(x - 3) - 7(x - 3)) [أخرج العامل المشترك من الحدود المجمعة في المقام]
= lim (x - 3) / ((x^2 - 7)(x - 3)) [أخرج العامل المشترك في المقام]
= lim 1 / (x^2 - 7) [اختصر]
= 1 / (3^2 - 7) = 1 / 2 [عوض وبسط]

--- SECTION: تنبيه! ---
التحليل: عند اختصار البسط بأكمله، فإنه يصبح 1 وليس 0.

تحقق من فهمك: احسب كل نهاية مما يأتي:

3A) lim (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) / (x + 2) عندما x تؤول إلى -2

3B) lim (x^2 - 7x + 6) / (3x^2 - 11x - 42) عندما x تؤول إلى 6

140 الفصل 8 النهايات والاشتقاق | وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: A linear graph representing a function with a removable discontinuity (hole). The line has a positive slope.
X-axis: x
Y-axis: y

**GRAPH**: Untitled
Description: A linear graph with a removable discontinuity. The line has a positive slope.
X-axis: x
Y-axis: y

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 3(a: احسب كل نهاية مما يأتي: (a $\lim_{x \to -4} \frac{x^2 - x - 20}{x + 4}$

الإجابة: $\frac{(-4)^2 - (-4) - 20}{-4 + 4} = \frac{0}{0}$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا نهاية دالة كسرية والمطلوب حساب قيمتها عندما تقترب $x$ من القيمة $-4$: $$\lim_{x \to -4} \frac{x^2 - x - 20}{x + 4}$$
**الخطوة 2 (القانون):** القاعدة الأساسية في حساب النهايات هي البدء بـ **التعويض المباشر** عن قيمة $x$ في الدالة المعطاة لنرى سلوك الدالة عند تلك النقطة.
**الخطوة 3 (الحل):** نقوم بالتعويض عن كل $x$ بالعدد $-4$ في كل من البسط والمقام: $$\frac{(-4)^2 - (-4) - 20}{-4 + 4}$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** بتبسيط القيم الحسابية: $$\frac{16 + 4 - 20}{0} = \frac{0}{0}$$ إذن الإجابة هي: **$\frac{0}{0}$** (وهي حالة عدم تعيين تدل على ضرورة البحث عن طرق أخرى للحل لاحقاً).

سؤال 3(b: احسب كل نهاية مما يأتي: (b $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^3 - 3x^2 - 7x + 21}$

الإجابة: $\frac{3 - 3}{3^3 - 3(3)^2 - 7(3) + 21} = \frac{0}{0}$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب إيجاد نهاية الدالة الكسرية التالية عندما تقترب $x$ من العدد $3$: $$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^3 - 3x^2 - 7x + 21}$$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم استراتيجية **التعويض المباشر**، حيث نستبدل كل متغير $x$ في الدالة بالقيمة التي يقترب منها.
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن $x = 3$ في البسط والمقام: $$\frac{3 - 3}{3^3 - 3(3)^2 - 7(3) + 21}$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** بإجراء العمليات الحسابية: $$\frac{0}{27 - 27 - 21 + 21} = \frac{0}{0}$$ إذن الإجابة هي: **$\frac{0}{0}$** (وهي صيغة غير محددة).