مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

ينتج عن اختصار العامل المشترك بين بسط ومقام الدالة النسبية دالة جديدة ، ففي المثال 3a ينتج عن الاختصار بين بسط ومقام الدالة f دالة جديدة g، حيث: f(x) = (x^2 - x - 20) / (x + 4) , g(x) = x - 5 إن قيم هاتين الدالتين متساوية لجميع قيم x إلا عندما x = -4 ، فإذا تساوت قيم دالتين إلا عند قيمة وحيدة c ، فإن نهايتيهما عندما تقترب x من c متساويتان؛ لأن قيمة النهاية لا تعتمد على قيمة الدالة عند النقطة التي تُحسب النهاية عندها؛ لذا فإن lim_{x→-4} (x^2 - x - 20) / (x + 4) = lim_{x→-4} (x - 5) والطريقة الأخرى لإيجاد نهايات ناتج التعويض فيها صيغة غير محددة ، هي إنطاق البسط أو المقام أولاً، ثم اختصار العوامل المشتركة.

استعمال إنطاق البسط أو المقام لحساب النهايات احسب lim_{x→9} (√x - 3) / (x - 9). ينتج عن التعويض المباشر (√9 - 3) / (9 - 9) = 0/0 ؛ لذا أنطق البسط، ومن ثم اختصر العوامل المشتركة. lim_{x→9} (√x - 3) / (x - 9) = lim_{x→9} ((√x - 3) / (x - 9)) * ((√x + 3) / (√x + 3)) اضرب كلاً من البسط والمقام في √x + 3 ، والذي يمثل مرافق √x - 3 = lim_{x→9} (x - 9) / ((x - 9)(√x + 3)) بسّط = lim_{x→9} 1 / (√x + 3) اختصر العامل المشترك = 1 / (√9 + 3) عوّض = 1/6 بسّط

تحقق يعزز التمثيل البياني بالآلة البيانية للدالة f(x) = (√x - 3) / (x - 9) في الشكل المجاور هذه النتيجة.

احسب كل نهاية مما يأتي:

حساب النهايات عند المالانهاية

درست سابقاً أن لجميع الدوال الزوجية سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه ، وكذلك الدوال الفردية لها جميعاً سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه.

نهايات دوال القوى عند المالانهاية لأي عدد صحيح موجب n ، • lim_{x→∞} x^n = ∞ • lim_{x→-∞} x^n = ∞ ، إذا كان n عدداً زوجياً. • lim_{x→-∞} x^n = -∞ ، إذا كان n عدداً فردياً.

إن سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود هو ذاته سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة القوة الناتجة عن الحد الرئيس في كثيرة الحدود، وهو الحد ذو القوة الكبرى، ويمكننا وصف ذلك أيضاً باستعمال النهايات.

الدرس 2-8 حساب النهايات جبرياً 141

ينتج عن اختصار العامل المشترك بين بسط ومقام الدالة النسبية دالة جديدة ، ففي المثال 3a ينتج عن الاختصار بين بسط ومقام الدالة f دالة جديدة g، حيث: f(x) = (x^2 - x - 20) / (x + 4) , g(x) = x - 5 إن قيم هاتين الدالتين متساوية لجميع قيم x إلا عندما x = -4 ، فإذا تساوت قيم دالتين إلا عند قيمة وحيدة c ، فإن نهايتيهما عندما تقترب x من c متساويتان؛ لأن قيمة النهاية لا تعتمد على قيمة الدالة عند النقطة التي تُحسب النهاية عندها؛ لذا فإن lim_{x→-4} (x^2 - x - 20) / (x + 4) = lim_{x→-4} (x - 5) والطريقة الأخرى لإيجاد نهايات ناتج التعويض فيها صيغة غير محددة ، هي إنطاق البسط أو المقام أولاً، ثم اختصار العوامل المشتركة. --- SECTION: مثال 4 --- استعمال إنطاق البسط أو المقام لحساب النهايات احسب lim_{x→9} (√x - 3) / (x - 9). ينتج عن التعويض المباشر (√9 - 3) / (9 - 9) = 0/0 ؛ لذا أنطق البسط، ومن ثم اختصر العوامل المشتركة. lim_{x→9} (√x - 3) / (x - 9) = lim_{x→9} ((√x - 3) / (x - 9)) * ((√x + 3) / (√x + 3)) اضرب كلاً من البسط والمقام في √x + 3 ، والذي يمثل مرافق √x - 3 = lim_{x→9} (x - 9) / ((x - 9)(√x + 3)) بسّط = lim_{x→9} 1 / (√x + 3) اختصر العامل المشترك = 1 / (√9 + 3) عوّض = 1/6 بسّط تحقق يعزز التمثيل البياني بالآلة البيانية للدالة f(x) = (√x - 3) / (x - 9) في الشكل المجاور هذه النتيجة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- احسب كل نهاية مما يأتي: 4A. lim_{x→25} (x - 25) / (√x - 5) 4B. lim_{x→0} (2 - √(x + 4)) / x حساب النهايات عند المالانهاية درست سابقاً أن لجميع الدوال الزوجية سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه ، وكذلك الدوال الفردية لها جميعاً سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه. --- SECTION: مفهوم أساسي --- نهايات دوال القوى عند المالانهاية لأي عدد صحيح موجب n ، • lim_{x→∞} x^n = ∞ • lim_{x→-∞} x^n = ∞ ، إذا كان n عدداً زوجياً. • lim_{x→-∞} x^n = -∞ ، إذا كان n عدداً فردياً. إن سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود هو ذاته سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة القوة الناتجة عن الحد الرئيس في كثيرة الحدود، وهو الحد ذو القوة الكبرى، ويمكننا وصف ذلك أيضاً باستعمال النهايات. الدرس 2-8 حساب النهايات جبرياً 141 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a function starting from the y-axis and decreasing as x increases. It is used to verify the limit as x approaches 9. X-axis: x Y-axis: f(x) **GRAPH**: Untitled Description: A standard parabola representing an even power function. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: A standard cubic curve representing an odd power function. X-axis: x Y-axis: y