إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الضرب في المالانهاية lim x→c f(x) = ∞ تعني أن الدالة تأخذ قيمًا موجبة ومتزايدة بشكل غير محدود، كلما اقتربت قيم x من العدد c؛ لذا فإن ضرب هذه القيم في عدد موجب لا يغير هذا السلوك، أما ضربها في عدد سالب، فإنه يعكس إشاراتها، وبذلك تقترب النهاية من -∞، أي أنه إذا كان a > 0 فإن: a(∞) = ∞ -a(∞) = -∞

إذا كانت p(x) = an x^n + ... + a1 x + a0 دالة كثيرة حدود، فإن: lim x→∞ p(x) = lim x→∞ an x^n lim x→-∞ p(x) = lim x→-∞ an x^n يمكنك استعمال هاتين الخاصيتين لحساب نهايات دوال كثيرات حدود عند المالانهاية. تذكَّر أن كون نهاية الدالة ∞ أو -∞ لا يعني أنها موجودة، ولكنه وصف لسلوك منحناها؛ فإما أن يكون متزايدًا بلا حدود أو متناقصًا بلا حدود.

احسب كل نهاية مما يأتي: a) lim x→-∞ (x^3 - 2x^2 + 5x - 1) الحل: lim x→-∞ (x^3 - 2x^2 + 5x - 1) = lim x→-∞ x^3 = -∞ b) lim x→∞ (4 + 3x - x^2) الحل: lim x→∞ (4 + 3x - x^2) = lim x→∞ -x^2 = - lim x→∞ x^2 = -∞ c) lim x→-∞ (5x^4 - 3x) الحل: lim x→-∞ (5x^4 - 3x) = lim x→-∞ 5x^4 = 5 lim x→-∞ x^4 = 5 × ∞ = ∞

احسب كل نهاية مما يأتي:

دالة المقلوب: تذكر أن دالة المقلوب هي f(x) = 1/a(x)، حيث a(x) دالة خطية، و a(x) ≠ 0.

التعبير اللفظي: إن نهاية دالة المقلوب عند موجب أو سالب مالانهاية هي صفر. الرموز: lim x→∞ 1/x = lim x→-∞ 1/x = 0

نتيجة: لأي عدد صحيح موجب n، فإن lim x→±∞ 1/x^n = 0

ويمكننا استعمال هذه الخاصية لحساب نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية، وذلك بقسمة كل حد في بسط ومقام الدالة النسبية على أعلى قوة لمتغير الدالة.

142 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- الضرب في المالانهاية lim x→c f(x) = ∞ تعني أن الدالة تأخذ قيمًا موجبة ومتزايدة بشكل غير محدود، كلما اقتربت قيم x من العدد c؛ لذا فإن ضرب هذه القيم في عدد موجب لا يغير هذا السلوك، أما ضربها في عدد سالب، فإنه يعكس إشاراتها، وبذلك تقترب النهاية من -∞، أي أنه إذا كان a > 0 فإن: a(∞) = ∞ -a(∞) = -∞ --- SECTION: مفهوم أساسي: نهايات دوال كثيرات الحدود عند المالانهاية --- إذا كانت p(x) = an x^n + ... + a1 x + a0 دالة كثيرة حدود، فإن: lim x→∞ p(x) = lim x→∞ an x^n lim x→-∞ p(x) = lim x→-∞ an x^n يمكنك استعمال هاتين الخاصيتين لحساب نهايات دوال كثيرات حدود عند المالانهاية. تذكَّر أن كون نهاية الدالة ∞ أو -∞ لا يعني أنها موجودة، ولكنه وصف لسلوك منحناها؛ فإما أن يكون متزايدًا بلا حدود أو متناقصًا بلا حدود. --- SECTION: مثال 5: نهايات دوال كثيرات الحدود عند المالانهاية --- احسب كل نهاية مما يأتي: a) lim x→-∞ (x^3 - 2x^2 + 5x - 1) الحل: lim x→-∞ (x^3 - 2x^2 + 5x - 1) = lim x→-∞ x^3 = -∞ b) lim x→∞ (4 + 3x - x^2) الحل: lim x→∞ (4 + 3x - x^2) = lim x→∞ -x^2 = - lim x→∞ x^2 = -∞ c) lim x→-∞ (5x^4 - 3x) الحل: lim x→-∞ (5x^4 - 3x) = lim x→-∞ 5x^4 = 5 lim x→-∞ x^4 = 5 × ∞ = ∞ --- SECTION: تحقق من فهمك --- احسب كل نهاية مما يأتي: 5A. lim x→∞ (-x^3 - 4x^2 + 9) 5B. lim x→-∞ (4x^6 + 3x^5 - x) 5C. lim x→-∞ (2x - 6x^2 + 4x^5) --- SECTION: مراجعة المفردات --- دالة المقلوب: تذكر أن دالة المقلوب هي f(x) = 1/a(x)، حيث a(x) دالة خطية، و a(x) ≠ 0. --- SECTION: مفهوم أساسي: نهايات دالة المقلوب عند المالانهاية --- التعبير اللفظي: إن نهاية دالة المقلوب عند موجب أو سالب مالانهاية هي صفر. الرموز: lim x→∞ 1/x = lim x→-∞ 1/x = 0 نتيجة: لأي عدد صحيح موجب n، فإن lim x→±∞ 1/x^n = 0 ويمكننا استعمال هذه الخاصية لحساب نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية، وذلك بقسمة كل حد في بسط ومقام الدالة النسبية على أعلى قوة لمتغير الدالة. 142 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing the behavior of the reciprocal function as x approaches negative infinity. The curve is in the third quadrant, approaching the x-axis (y=0) from below as x moves left. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates that the limit of 1/x as x approaches negative infinity is 0. **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing the behavior of the reciprocal function as x approaches positive infinity. The curve is in the first quadrant, approaching the x-axis (y=0) from above as x moves right. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates that the limit of 1/x as x approaches positive infinity is 0.