📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
مسائل مهارات التفكير العليا
نوع: QUESTION_HOMEWORK
40) مسألة مفتوحة: لديك متجه مقداره 5 وحدات بالاتجاه الموجب لمحور x، حلّل المتجه إلى مركبتين متعامدتين على ألا تكون أيّ منهما أفقية أو رأسية.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
41) تبرير: حدّد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائمًا أو ليست صحيحة أبدًا، وبرّر إجابتك. "من الممكن إيجاد مجموع متجهين متوازيين باستعمال طريقة متوازي الأضلاع".
نوع: QUESTION_HOMEWORK
42) تبرير: بفرض أن: |a| + |b| ≥ |a + b|.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
43) اكتشف الخطأ: حاول كلّ من حسين ومصطفى إيجاد محصلة المتجهين a, b. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
44) تبرير: هل من الممكن أن يكون ناتج جمع متجهين مساويًا لأحدهما؟ برّر إجابتك.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
45) اكتب: قارن بين قاعدتي متوازي الأضلاع والمثلث في إيجاد محصلة متجهين.
نوع: محتوى تعليمي
مراجعة تراكمية
نوع: محتوى تعليمي
أوجد قيمة x في كلّ مما يأتي مقرّبًا الناتج إلى أقرب عُشر إذا لزم ذلك. (مهارة سابقة)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
46)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
47)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
48)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
49) حُلّ المثلث الآتي مقرّبًا الناتج إلى أقرب عُشر إذا لزم ذلك. (مهارة سابقة)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
50) حُلّ المعادلة: sin 2x - cos x = 0 لجميع قيم x. (مهارة سابقة)
نوع: محتوى تعليمي
تدريب على اختبار
نوع: QUESTION_HOMEWORK
51) نزهة: قام حسان بنزهة خارج مخيمه الكشفي، فقطع مسافة 3.75km في اتجاه الشرق من المخيم حتى وصل أحد المساجد، ثم سار شمالاً قاصدًا حديقة عامة، فقطع مسافة 5.6km، حدّد موقع الحديقة بالنسبة للمخيم؟
نوع: QUESTION_HOMEWORK
52) طارت طائرة لعبة تسير باستعمال جهاز التحكم عن بُعد، بزاوية قياسها 32° مع الأفقي، وبسرعة 48 ft/s كما في الشكل أدناه. أيّ مما يأتي يُمثّل مقدار المركبتين الأفقية والرأسية لسرعة الطائرة على الترتيب؟
🔍 عناصر مرئية
مخططان يقارنان بين طريقتين لجمع المتجهين a و b. المخطط الأيسر بعنوان 'مصطفى' يوضح طريقة المثلث (رأس بذيل)، حيث يتبع المتجه b المتجه a، والمحصلة a+b تصل بين ذيل a ورأس b. المخطط الأيمن بعنوان 'حسين' يوضح طريقة متوازي الأضلاع (ذيل بذيل)، حيث ينطلق المتجهان a و b من النقطة نفسها، والمحصلة a+b هي قطر متوازي الأضلاع الناتج.
مثلث قائم الزاوية، الزاوية القائمة في الرأس السفلي الأيمن. طول القاعدة الأفقية 10 وحدات. الزاوية عند الرأس السفلي الأيسر قياسها 30 درجة. الضلع الرأسي المقابل للزاوية 30 درجة مسمى بالرمز 'x'.
مثلث قائم الزاوية، الزاوية القائمة في الرأس السفلي الأيمن. طول الوتر 17.8 وحدة. الزاوية عند الرأس السفلي الأيسر قياسها 54 درجة. الضلع الرأسي المقابل للزاوية 54 درجة مسمى بالرمز 'x'.
مثلث قائم الزاوية، الزاوية القائمة في الرأس السفلي الأيسر. طول الضلع الرأسي 3 وحدات. الزاوية عند الرأس العلوي قياسها 60 درجة. الوتر مسمى بالرمز 'x'.
المثلث ABC. طول الضلع AB يساوي 13. قياس الزاوية B هو 110 درجات. قياس الزاوية C هو 38 درجة. الضلع BC مسمى بالرمز 'a'، والضلع AC مسمى بالرمز 'b'.
رسم توضيحي لمتجه سرعة. سهم ينطلق من خط أفقي متقطع بزاوية 32 درجة للأعلى ولليمين. مقدار المتجه مكتوب عليه '48 ft/sec'. توجد أيقونة طائرة صغيرة عند رأس السهم.
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 13
سؤال 40: 40) مسألة مفتوحة: لديك متجه مقداره 5 وحدات بالاتجاه الموجب لمحور x، حلّل المتجه إلى مركبتين متعامدتين على ألا تكون أيّ منهما أفقية أو رأسية.
الإجابة: س 40: مثلاً $\langle 4, 2 \rangle + \langle 1, -2 \rangle = \langle 5, 0 \rangle$، وهما متعامدان لأن
$4(1) + 2(-2) = 0$ (ولا واحدة منهما أفقية أو رأسية).
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المطلوب هو تحليل متجه مقداره 5 وحدات في اتجاه محور x الموجب، أي أن المتجه هو $\langle 5, 0 \rangle$. نحتاج لتقسيمه إلى متجهين $u, v$ بحيث:
1. $u + v = \langle 5, 0 \rangle$
2. $u \cdot v = 0$ (متعامدان)
3. لا يكون أي منهما أفقياً أو رأسياً (أي لا تحتوي مركباتهما على أصفار).
- **الخطوة 2 (الحل):**
لنقترح متجهين يحققان الجمع أولاً، مثل $\langle 4, 2 \rangle$ و $\langle 1, -2 \rangle$.
- نتحقق من الجمع: $\langle 4+1, 2+(-2) \rangle = \langle 5, 0 \rangle$ (صحيح).
- نتحقق من التعامد باستخدام الضرب الداخلي: $4(1) + 2(-2) = 4 - 4 = 0$ (صحيح).
- نلاحظ أن المتجهين ليس لهما مركبات صفرية، فهما ليسا أفقيين ولا رأسيين.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن، المتجهان هما: **$\langle 4, 2 \rangle$ و $\langle 1, -2 \rangle$**
سؤال 41: 41) تبرير: حدّد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائمًا أو ليست صحيحة أبدًا، وبرّر إجابتك. "من الممكن إيجاد مجموع متجهين متوازيين باستعمال طريقة متوازي الأضلاع".
الإجابة: س 41: صحيحة دائماً؛ لأن طريقة متوازي الأضلاع تصلح لأي متجهين،
وعند توازيهما ينهار المتوازي إلى شكل خطي وتكون المحصلة على نفس الخط.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
قاعدة متوازي الأضلاع تُستخدم لإيجاد محصلة أي متجهين من خلال رسمهما من نقطة بداية واحدة وإكمال الشكل لمتوازي أضلاع، حيث يمثل القطر المحصلة.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
عندما يكون المتجهان متوازيين، فإن الزاوية بينهما تكون $0^\circ$ أو $180^\circ$. في هذه الحالة، عند محاولة رسم متوازي الأضلاع، فإنه "ينهار" ويصبح شكلاً خطياً (مستقيماً)، وتظل المحصلة منطبقة على نفس الخط.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
العبارة **صحيحة دائماً**؛ لأن الطريقة هندسياً تظل قائمة حتى لو انطبق المتجهان على خط واحد.
سؤال 42: 42) تبرير: بفرض أن: |a| + |b| ≥ |a + b|.
a) عبّر عن هذه العبارة بالكلمات.
b) هل هذه العبارة صحيحة أم خاطئة؟ برّر إجابتك.
الإجابة: س 42: (أ) مجموع مقداري متجهين هو أكبر من أو يساوي مقدار محصلهما
$|a + b|$.
(ب) عبارة صحيحة دائماً (متباينة المثلث)، وتتحقق المساواة عندما يكون $a$ و $b$
في الاتجاه نفسه.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
الرمز $|a|$ يمثل مقدار المتجه، والرمز $|a+b|$ يمثل مقدار المحصلة. المتباينة $|a| + |b| \ge |a + b|$ تُعرف في الرياضيات بمتباينة المثلث.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
(أ) التعبير بالكلمات: **مجموع مقداري متجهين يكون دائماً أكبر من أو يساوي مقدار محصلتهما**.
(ب) العبارة **صحيحة دائماً**؛ لأن أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم، فالمحصلة (الضلع الثالث في المثلث) لا يمكن أن تكون أطول من مجموع الضلعين الآخرين. وتتحقق المساواة فقط إذا كان المتجهان في نفس الاتجاه تماماً.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن العبارة **صحيحة دائماً** وتسمى متباينة المثلث.
سؤال 43: 43) اكتشف الخطأ: حاول كلّ من حسين ومصطفى إيجاد محصلة المتجهين a, b. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.
الإجابة: س 43: مصطفى هو الصحيح؛
لأنه وضع ذيل $b$ عند رأس $a$
فكانت المحصلة من بداية $a$ إلى نهاية
$b$ هو $a+b$ ، أما حسين فوصل
بين رأسي المتجهين فمثل متجهاً
يمثل $a-b$ وليس $a+b$.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
لإيجاد محصلة جمع متجهين $a+b$ بيانياً، نستخدم قاعدة المثلث (رأس بذيل)؛ حيث نضع ذيل المتجه الثاني عند رأس المتجه الأول، وتكون المحصلة هي المتجه الواصل من بداية الأول إلى نهاية الثاني.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
بالنظر لعمل الطالبين:
- مصطفى: وضع ذيل $b$ عند رأس $a$ ورسم المحصلة من بداية $a$ إلى نهاية $b$. وهذا صحيح.
- حسين: وصل بين رأسي المتجهين، وهذا يمثل عملية طرح المتجهات وليس جمعها.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن إجابة **مصطفى** هي الصحيحة.
سؤال 44: 44) تبرير: هل من الممكن أن يكون ناتج جمع متجهين مساويًا لأحدهما؟ برّر إجابتك.
الإجابة: س 44: نعم، إذا كان أحد المتجهين هو المتجه الصفري.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
نتساءل: هل يمكن أن تكون المعادلة $a + b = a$ صحيحة؟
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
من خصائص الجمع في المتجهات، يوجد عنصر محايد يسمى "المتجه الصفر" $\vec{0}$. إذا أضفنا المتجه الصفر لأي متجه، فإنه لا يغير من قيمته أو اتجاهه.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
**نعم، ممكن**، وذلك في حالة كان أحد المتجهين هو المتجه الصفري.
سؤال 45: 45) اكتب: قارن بين قاعدتي متوازي الأضلاع والمثلث في إيجاد محصلة متجهين.
الإجابة: س 45: الطريقتان تعطيان نفس المحصلة؛ في قاعدة المثلث نضع ذيل المتجه الثاني عند
رأس الأول، وفي قاعدة متوازي الأضلاع نضع المتجهين من نفس نقطة البداية ونرسم
القطر ليعطي $a+b$.
خطوات الحل:
- **الشرح:**
الفكرة في هذا السؤال هي المقارنة بين طريقتين هندسيتين لإيجاد المحصلة. في **قاعدة المثلث**، نقوم بترتيب المتجهات بحيث يوضع ذيل المتجه الثاني عند رأس المتجه الأول، وتكون المحصلة هي الضلع الثالث الذي يغلق المثلث. أما في **قاعدة متوازي الأضلاع**، فنقوم برسم المتجهين بحيث ينطلقان من نفس نقطة البداية، ثم نكمل رسم متوازي الأضلاع، وتكون المحصلة هي القطر المنطلق من نقطة بدايتهما.
على الرغم من اختلاف طريقة الرسم، إلا أن النتيجة النهائية (المقدار والاتجاه) للمحصلة هي نفسها في كلتا الحالتين.
ولذلك الإجابة هي: **الطريقتان تعطيان نفس المحصلة، والفرق يكمن فقط في ترتيب وضع المتجهات عند الرسم.**
سؤال 46: أوجد قيمة x في كلّ مما يأتي مقرّبًا الناتج إلى أقرب عُشر إذا لزم ذلك. (مهارة سابقة)
46)
الإجابة: س 46:
$x = 10 \tan 30^\circ \approx 5.8$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا مثلث قائم الزاوية فيه:
- الزاوية المعلومة: $30^\circ$
- الضلع المجاور للزاوية: $10$
- الضلع المقابل للزاوية: $x$
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم دالة الظل (tan) لأنها تربط بين المقابل والمجاور:
$$\tan(30^\circ) = \frac{x}{10}$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
نضرب الطرفين في 10:
$$x = 10 \times \tan(30^\circ)$$
$$x = 10 \times 0.57735... \approx 5.77$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بتقريب الناتج لأقرب عشر، تكون قيمة $x \approx$ **5.8**
سؤال 47: أوجد قيمة x في كلّ مما يأتي مقرّبًا الناتج إلى أقرب عُشر إذا لزم ذلك. (مهارة سابقة)
47)
الإجابة: س 47:
$x = 17.8 \sin 54^\circ \approx 14.4$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
في المثلث القائم:
- الزاوية: $54^\circ$
- الوتر: $17.8$
- الضلع المقابل للزاوية: $x$
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم دالة الجيب (sin) لأنها تربط بين المقابل والوتر:
$$\sin(54^\circ) = \frac{x}{17.8}$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
نضرب الطرفين في 17.8:
$$x = 17.8 \times \sin(54^\circ)$$
$$x = 17.8 \times 0.8090... \approx 14.40$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن قيمة $x \approx$ **14.4**
سؤال 48: أوجد قيمة x في كلّ مما يأتي مقرّبًا الناتج إلى أقرب عُشر إذا لزم ذلك. (مهارة سابقة)
48)
الإجابة: س 48:
$x = \frac{3}{\cos 60^\circ} = 6$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
في المثلث القائم:
- الزاوية: $60^\circ$
- الضلع المجاور: $3$
- الوتر: $x$
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم دالة جيب التمام (cos) لأنها تربط بين المجاور والوتر:
$$\cos(60^\circ) = \frac{3}{x}$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
نبدل المواقع لإيجاد $x$:
$$x = \frac{3}{\cos(60^\circ)}$$
بما أن $\cos(60^\circ) = 0.5$:
$$x = \frac{3}{0.5} = 6$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن قيمة $x =$ **6**
سؤال 49: 49) حُلّ المثلث الآتي مقرّبًا الناتج إلى أقرب عُشر إذا لزم ذلك. (مهارة سابقة)
الإجابة: س 49: $\angle A = 32^\circ$
$a \approx 11.2$
$b \approx 19.8$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (الزوايا):**
مجموع زوايا المثلث $180^\circ$. الزاوية القائمة $90^\circ$ والزاوية المعلومة $58^\circ$.
$$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$$
- **الخطوة 2 (الأضلاع):**
لإيجاد الضلع $a$ (المقابل لـ $32^\circ$) والوتر $23.4$:
$$a = 23.4 \times \sin(32^\circ) \approx 12.4$$
لإيجاد الضلع $b$ (المجاور لـ $32^\circ$):
$$b = 23.4 \times \cos(32^\circ) \approx 19.8$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
حل المثلث هو: **$\angle A = 32^\circ, a \approx 12.4, b \approx 19.8$**
سؤال 50: 50) حُلّ المعادلة: sin 2x - cos x = 0 لجميع قيم x. (مهارة سابقة)
الإجابة: س 50: $\cos x (2 \sin x - 1) = 0$
$x = 90^\circ + 180^\circ n$ أو $x = 30^\circ + 360^\circ n$ أو $x = 150^\circ + 360^\circ n$ ، حيث $n$ عدد صحيح.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (التبسيط):**
نستخدم متطابقة ضعف الزاوية: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.
تصبح المعادلة: $2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0$
- **الخطوة 2 (التحليل):**
نأخذ $\cos(x)$ عاملاً مشتركاً:
$$\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0$$
- **الخطوة 3 (إيجاد القيم):**
إما $\cos(x) = 0 \implies x = 90^\circ + 180^\circ n$
أو $2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = 0.5$
وهذا يعطي $x = 30^\circ + 360^\circ n$ أو $x = 150^\circ + 360^\circ n$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
الحل هو: **$x = 90^\circ + 180^\circ n$ أو $x = 30^\circ + 360^\circ n$ أو $x = 150^\circ + 360^\circ n$**
سؤال 51: 51) نزهة: قام حسان بنزهة خارج مخيمه الكشفي، فقطع مسافة 3.75km في اتجاه الشرق من المخيم حتى وصل أحد المساجد، ثم سار شمالاً قاصدًا حديقة عامة، فقطع مسافة 5.6km، حدّد موقع الحديقة بالنسبة للمخيم؟
الإجابة: س 51: الحديقة تقع $3.75 \text{ km}$ شرقاً و $5.6 \text{ km}$ شمالاً من
المخيم (على بعد $6.7 \text{ km}$ وبزاوية $56^\circ$ شمال الشرق من المخيم).
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
حسان تحرك:
- شرقاً (محور x): $3.75 \text{ km}$
- شمالاً (محور y): $5.6 \text{ km}$
- **الخطوة 2 (الحسابات):**
المسافة (المقدار) باستخدام فيثاغورس:
$$R = \sqrt{3.75^2 + 5.6^2} = \sqrt{14.0625 + 31.36} = \sqrt{45.4225} \approx 6.7 \text{ km}$$
الاتجاه (الزاوية) باستخدام التان العكسي:
$$\theta = \tan^{-1}(\frac{5.6}{3.75}) \approx 56^\circ$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
موقع الحديقة: **على بعد $6.7 \text{ km}$ وبزاوية $56^\circ$ شمال الشرق من المخيم.**
سؤال 52: 52) طارت طائرة لعبة تسير باستعمال جهاز التحكم عن بُعد، بزاوية قياسها 32° مع الأفقي، وبسرعة 48 ft/s كما في الشكل أدناه. أيّ مما يأتي يُمثّل مقدار المركبتين الأفقية والرأسية لسرعة الطائرة على الترتيب؟
الإجابة: س 52: الأفقية
$\text{ft/s} \approx 40.7$
والرأسية $\approx 25.4$
$\text{ft/s}$، الإجابة
الصحيحة: (ب).
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
- السرعة (المقدار): $v = 48 \text{ ft/s}$
- الزاوية مع الأفقي: $\theta = 32^\circ$
- **الخطوة 2 (الحل):**
المركبة الأفقية ($v_x$):
$$v_x = 48 \cos(32^\circ) \approx 48 \times 0.848 = 40.7 \text{ ft/s}$$
المركبة الرأسية ($v_y$):
$$v_y = 48 \sin(32^\circ) \approx 48 \times 0.529 = 25.4 \text{ ft/s}$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
المركبتان هما **40.7** و **25.4** على الترتيب، وهي الإجابة **(ب)**.