سؤال تحقق من فهمك: احسب كل نهاية مما يأتي: 6A) $\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x-10}$ 6B) $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2+7}{5x+1}$ 6C) $\lim_{x \to \infty} \frac{7x^3-3x^2+1}{2x^3+4x}$
الإجابة: 0 -\infty \frac{7}{2}
📚 معلومات الصفحة
الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2
الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
مثال 6 نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية
نوع: محتوى تعليمي
احسب كل نهاية مما يأتي إن أمكن:
a
نوع: محتوى تعليمي
lim (x→∞) (4x + 5) / (8x - 3) = lim (x→∞) ( (4x/x) + (5/x) ) / ( (8x/x) - (3/x) ) ... اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي x
= lim (x→∞) (4 + 5/x) / (8 - 3/x) ... بسط
= ( lim (x→∞) 4 + 5 lim (x→∞) (1/x) ) / ( lim (x→∞) 8 - 3 lim (x→∞) (1/x) ) ... خصائص القسمة، والمجموع، والفرق، والضرب في ثابت
= (4 + 5 * 0) / (8 - 3 * 0) = 4/8 = 1/2 ... نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية
تحقق
نوع: FIGURE_REFERENCE
يعزز التمثيل البياني للدالة f(x) = (4x + 5) / (8x - 3) المجاور هذه النتيجة.
b
نوع: محتوى تعليمي
lim (x→-∞) (6x^2 - x) / (3x^3 + 1) = lim (x→-∞) ( (6x^2/x^3) - (x/x^3) ) / ( (3x^3/x^3) + (1/x^3) ) ... اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي x^3
= lim (x→-∞) ( (6/x) - (1/x^2) ) / (3 + 1/x^3) ... بسط
= ( 6 lim (x→-∞) (1/x) - lim (x→-∞) (1/x^2) ) / ( lim (x→-∞) 3 + lim (x→-∞) (1/x^3) ) ... خصائص القسمة، والمجموع، والفرق، والضرب في ثابت
= (6 * 0 - 0) / (3 + 0) = 0 ... نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية
c
نوع: محتوى تعليمي
lim (x→∞) (5x^4) / (9x^3 + 2x) = lim (x→∞) ( (5x^4/x^4) ) / ( (9x^3/x^4) + (2x/x^4) ) ... اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي x^4
= lim (x→∞) 5 / ( (9/x) + (2/x^3) ) ... بسط
= ( lim (x→∞) 5 ) / ( 9 lim (x→∞) (1/x) + 2 lim (x→∞) (1/x^3) ) ... خصائص القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت
= 5 / (9 * 0 + 2 * 0) = 5/0 ... نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية
وحيث إن نهاية المقام صفر، فإننا نكون قد طبقنا خطأ خاصية القسمة، إلا أننا نعلم أنه عند قسمة العدد 5 على قيم صغيرة موجبة تقترب من الصفر، فإن الناتج سيكون كبيراً بشكل غير محدود، أي أن النهاية هي ∞.
إرشادات للدراسة
نوع: محتوى تعليمي
نهاية الدوال النسبية: توجد ثلاث حالات عند حساب نهايات الدوال النسبية عندما تقترب x من المالانهاية.
1) إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فإن النهاية إما ∞ أو -∞ ، بحسب إشارة الحد الرئيس في كل من البسط والمقام.
2) إذا كانت درجة البسط مساوية لدرجة المقام، فإن النهاية مساوية لناتج قسمة معاملي الحدين الرئيسين في البسط والمقام.
3) إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، فإن النهاية صفر.
نوع: محتوى تعليمي
تحقق من فهمك
نوع: QUESTION_HOMEWORK
احسب كل نهاية مما يأتي:
نوع: METADATA
الدرس 2-8 حساب النهايات جبرياً ... 143
🔍 عناصر مرئية
The graph shows a rational function with a horizontal asymptote at y = 0.5 and a vertical asymptote at x = 0.375. The right branch starts from positive infinity near the vertical asymptote and approaches y = 0.5 as x increases. The left branch comes from y = 0.5 as x approaches negative infinity and goes down towards negative infinity as it approaches the vertical asymptote.
📄 النص الكامل للصفحة
مثال 6 نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية
احسب كل نهاية مما يأتي إن أمكن:
a. lim (x→∞) (4x + 5) / (8x - 3)
b. lim (x→-∞) (6x^2 - x) / (3x^3 + 1)
c. lim (x→∞) (5x^4) / (9x^3 + 2x)
--- SECTION: a ---
lim (x→∞) (4x + 5) / (8x - 3) = lim (x→∞) ( (4x/x) + (5/x) ) / ( (8x/x) - (3/x) ) ... اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي x
= lim (x→∞) (4 + 5/x) / (8 - 3/x) ... بسط
= ( lim (x→∞) 4 + 5 lim (x→∞) (1/x) ) / ( lim (x→∞) 8 - 3 lim (x→∞) (1/x) ) ... خصائص القسمة، والمجموع، والفرق، والضرب في ثابت
= (4 + 5 * 0) / (8 - 3 * 0) = 4/8 = 1/2 ... نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية
--- SECTION: تحقق ---
يعزز التمثيل البياني للدالة f(x) = (4x + 5) / (8x - 3) المجاور هذه النتيجة.
--- SECTION: b ---
lim (x→-∞) (6x^2 - x) / (3x^3 + 1) = lim (x→-∞) ( (6x^2/x^3) - (x/x^3) ) / ( (3x^3/x^3) + (1/x^3) ) ... اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي x^3
= lim (x→-∞) ( (6/x) - (1/x^2) ) / (3 + 1/x^3) ... بسط
= ( 6 lim (x→-∞) (1/x) - lim (x→-∞) (1/x^2) ) / ( lim (x→-∞) 3 + lim (x→-∞) (1/x^3) ) ... خصائص القسمة، والمجموع، والفرق، والضرب في ثابت
= (6 * 0 - 0) / (3 + 0) = 0 ... نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية
--- SECTION: c ---
lim (x→∞) (5x^4) / (9x^3 + 2x) = lim (x→∞) ( (5x^4/x^4) ) / ( (9x^3/x^4) + (2x/x^4) ) ... اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي x^4
= lim (x→∞) 5 / ( (9/x) + (2/x^3) ) ... بسط
= ( lim (x→∞) 5 ) / ( 9 lim (x→∞) (1/x) + 2 lim (x→∞) (1/x^3) ) ... خصائص القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت
= 5 / (9 * 0 + 2 * 0) = 5/0 ... نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية
وحيث إن نهاية المقام صفر، فإننا نكون قد طبقنا خطأ خاصية القسمة، إلا أننا نعلم أنه عند قسمة العدد 5 على قيم صغيرة موجبة تقترب من الصفر، فإن الناتج سيكون كبيراً بشكل غير محدود، أي أن النهاية هي ∞.
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
نهاية الدوال النسبية: توجد ثلاث حالات عند حساب نهايات الدوال النسبية عندما تقترب x من المالانهاية.
1) إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فإن النهاية إما ∞ أو -∞ ، بحسب إشارة الحد الرئيس في كل من البسط والمقام.
2) إذا كانت درجة البسط مساوية لدرجة المقام، فإن النهاية مساوية لناتج قسمة معاملي الحدين الرئيسين في البسط والمقام.
3) إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، فإن النهاية صفر.
تحقق من فهمك
احسب كل نهاية مما يأتي:
6A. lim (x→∞) 5 / (x - 10)
6B. lim (x→∞) (-3x^2 + 7) / (5x + 1)
6C. lim (x→∞) (7x^3 - 3x^2 + 1) / (2x^3 + 4x)
الدرس 2-8 حساب النهايات جبرياً ... 143
--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: The graph shows a rational function with a horizontal asymptote at y = 0.5 and a vertical asymptote at x = 0.375. The right branch starts from positive infinity near the vertical asymptote and approaches y = 0.5 as x increases. The left branch comes from y = 0.5 as x approaches negative infinity and goes down towards negative infinity as it approaches the vertical asymptote.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: Visual verification of the limit calculation in Example 6a, showing that as x approaches infinity, the function value approaches 0.5.
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 1