مثال 7 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

درست سابقاً أن المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة من الأعداد الطبيعية، ومداها مجموعة من الأعداد الحقيقية؛ لذا فإن نهاية المتتابعة غير المنتهية هي نهاية دالة عندما n → ∞. إذا كانت النهاية موجودة، فإن قيمة هذه النهاية هي العدد الذي تقترب منه المتتابعة. فمثلاً يمكن وصف المتتابعة ..., 1, 1/2, 1/3, 1/4 بـ an = 1/n، حيث n عدد صحيح موجب. وبما أن lim (1/n) = 0 عندما n → ∞، فإن المتتابعة تقترب من الصفر.

مثال 7: نهايات المتتابعات

احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إن وجدت: a) an = (3n + 1) / (n + 5) الحل: لحساب نهاية المتتابعة، أوجد lim (3n + 1) / (n + 5) عندما n → ∞ lim (3n + 1) / (n + 5) = lim (3 + 1/n) / (1 + 5/n) [اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي n] = (lim 3 + lim 1/n) / (lim 1 + 5 lim 1/n) [خصائص القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت] = (3 + 0) / (1 + 5 * 0) = 3 [نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية] أي أن نهاية المتتابعة هي 3، بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من 3.

تحقق: كوّن جدولاً، واختر قيماً متعددة لـ n. نلاحظ أن حدود المتتابعة تقترب من العدد 3 كلما كبرت n.

b) bn = (5 / n^4) * [n^2(n + 1)^2 / 4] الحدود الخمسة الأولى بصورة تقريبية هي 1.8, 1.953, 2.222, 2.813, 5. والآن أوجد نهاية المتتابعة lim (5 / n^4) * [n^2(n + 1)^2 / 4] = lim (5 / n^4) * [n^2(n^2 + 2n + 1) / 4] [ربع ثنائية الحد] = lim (5n^4 + 10n^3 + 5n^2) / (4n^4) [اضرب] = lim (5 + 10/n + 5/n^2) / 4 [اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي n^4، ثم استعمل خصائص القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت] = 5 / 4 = 1.25 [نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية] أي أن نهاية المتتابعة هي 1.25، بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من 1.25.

تحقق: كوّن جدول قيم، واختر قيماً كبيرة لـ n. قيم bn في الجدول أدناه مقربة إلى أقرب جزء من مئة.

تحقق من فهمك

احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إن وجدت: 7A) an = 4 / (n^2 + 1)

7B) bn = 2n^3 / (3n + 8)

7C) cn = (9 / n^3) * [n(n + 1)(2n + 1) / 6]

درست سابقاً أن المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة من الأعداد الطبيعية، ومداها مجموعة من الأعداد الحقيقية؛ لذا فإن نهاية المتتابعة غير المنتهية هي نهاية دالة عندما n → ∞. إذا كانت النهاية موجودة، فإن قيمة هذه النهاية هي العدد الذي تقترب منه المتتابعة. فمثلاً يمكن وصف المتتابعة ..., 1, 1/2, 1/3, 1/4 بـ an = 1/n، حيث n عدد صحيح موجب. وبما أن lim (1/n) = 0 عندما n → ∞، فإن المتتابعة تقترب من الصفر. --- SECTION: مثال 7 --- مثال 7: نهايات المتتابعات احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إن وجدت: a) an = (3n + 1) / (n + 5) الحل: لحساب نهاية المتتابعة، أوجد lim (3n + 1) / (n + 5) عندما n → ∞ lim (3n + 1) / (n + 5) = lim (3 + 1/n) / (1 + 5/n) [اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي n] = (lim 3 + lim 1/n) / (lim 1 + 5 lim 1/n) [خصائص القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت] = (3 + 0) / (1 + 5 * 0) = 3 [نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية] أي أن نهاية المتتابعة هي 3، بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من 3. تحقق: كوّن جدولاً، واختر قيماً متعددة لـ n. نلاحظ أن حدود المتتابعة تقترب من العدد 3 كلما كبرت n. b) bn = (5 / n^4) * [n^2(n + 1)^2 / 4] الحدود الخمسة الأولى بصورة تقريبية هي 1.8, 1.953, 2.222, 2.813, 5. والآن أوجد نهاية المتتابعة lim (5 / n^4) * [n^2(n + 1)^2 / 4] = lim (5 / n^4) * [n^2(n^2 + 2n + 1) / 4] [ربع ثنائية الحد] = lim (5n^4 + 10n^3 + 5n^2) / (4n^4) [اضرب] = lim (5 + 10/n + 5/n^2) / 4 [اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي n^4، ثم استعمل خصائص القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت] = 5 / 4 = 1.25 [نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية] أي أن نهاية المتتابعة هي 1.25، بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من 1.25. تحقق: كوّن جدول قيم، واختر قيماً كبيرة لـ n. قيم bn في الجدول أدناه مقربة إلى أقرب جزء من مئة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إن وجدت: 7A) an = 4 / (n^2 + 1) 7B) bn = 2n^3 / (3n + 8) 7C) cn = (9 / n^3) * [n(n + 1)(2n + 1) / 6] --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: تحقق: جدول قيم n و an Description: No description Table Structure: Headers: n | an Rows: Row 1: 1 | 0.6667 Row 2: 20 | 2.44 Row 3: 40 | 2.6889 Row 4: 60 | 2.7846 Row 5: 80 | 2.8353 Row 6: 90 | 2.8526 Row 7: 100 | 2.8667 Row 8: 1000 | 2.9861 Row 9: 10000 | 2.9986 Calculation needed: Verification of the limit of an as n approaches infinity. Context: Shows that as n increases, the value of an approaches 3. **TABLE**: تحقق: جدول قيم n و bn Description: No description Table Structure: Headers: n | bn Rows: Row 1: 10 | 1.51 Row 2: 100 | 1.28 Row 3: 1000 | 1.25 Row 4: 10000 | 1.25 Row 5: 100000 | 1.25 Calculation needed: Verification of the limit of bn as n approaches infinity. Context: Shows that as n increases, the value of bn approaches 1.25.