13) فيزياء: - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تدرب وحل المسائل

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: (مثال 1)

1) lim_{x -> -3} (5x - 10)

2) lim_{x -> 5} (x^2 + 4x + 13) / (x - 3)

3) lim_{x -> 9} (1/x + 2x + sqrt(x))

4) lim_{x -> -4} [x^2(x + 1) + 2]

5) lim_{x -> 12} (x^2 - 10x) / sqrt(x + 4)

6) lim_{x -> -6} (x^4 - x^3) / x^2

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا، وإلا فاذكر السبب: (مثال 2)

7) lim_{x -> 16} (x^2 + 9) / (sqrt(x) - 4)

8) lim_{x -> 2} (4x^3 - 3x^2 + 10)

9) lim_{x -> -3} (x^3 + 9x + 6) / (x^2 + 5x + 6)

10) lim_{x -> 3} sqrt(2 - x)

11) lim_{x -> 9} (3x^2 - 10x + 35)

12) lim_{x -> 10} (-x^2 + 3x + sqrt(x))

بحسب نظرية آينشتاين النسبية، فإن كتلة جسم يتحرك بسرعة v تُعطى بالعلاقة m = m0 / sqrt(1 - v^2/c^2)، حيث c سرعة الضوء، m0 كتلة الجسم الابتدائية أو كتلته عند السكون. أوجد lim_{v -> 0} m، ووضح العلاقة بين هذه النهاية و m0. (مثال 2)

احسب كل نهاية مما يأتي: (المثالان 3, 4)

14) lim_{x -> 1} (x^2 + 4x - 5) / (x^2 - 1)

15) lim_{x -> 0} 4x / (sqrt(x + 1) - 1)

16) lim_{x -> -5} (4x^2 + 21x + 5) / (3x^2 + 17x + 10)

17) lim_{x -> 0} 2x / (3 - sqrt(x + 9))

18) lim_{x -> -3} (x^2 - 2x - 15) / (x + 3)

19) lim_{x -> 6} (sqrt(x + 3) - 3) / (x - 6)

احسب كل نهاية مما يأتي: (المثالان 5, 6)

20) lim_{x -> ∞} (5 - 2x^2 + 7x^3)

21) lim_{x -> ∞} (3x^3 - 10x + 2) / (4x^3 + 20x^2)

22) lim_{x -> ∞} (10x + 14 + 6x^2 - x^4)

23) lim_{x -> ∞} (14x^3 - 12x) / (4x^2 + 13x - 8)

24) lim_{x -> -∞} (6x^3 + 2x - 11) / (-x^5 + 17x^3 + 4x)

25) lim_{x -> ∞} (10x^4 - 2) / (5x^4 + 3x^3 - 2x)

تحتوي مادة هلامية على حيوان الإسفنج، وعند وضع المادة الهلامية في الماء، فإن حيوان الإسفنج يبدأ بامتصاص الماء والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة l(t) = 25 + (105t^2)/(10 + t^2)، حيث l طول حيوان الإسفنج بالمليمترات بعد t ثانية من وضعه في الماء. (مثال 6)

احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة: (مثال 7)

27) a_n = (8n + 1) / (n^2 - 3)

28) a_n = (-4n^2 + 6n - 1) / (n^2 + 3n)

29) a_n = (12n^2 + 2) / (6n^2 - 1)

30) a_n = (8n^2 + 5n + 2) / (3 + 2n)

31) a_n = (1/n^4) * [ (n^2(n + 1)^2) / 4 ]

32) a_n = (12/n^2) * [ (n(2n + 1)(n + 1)) / 6 ]

احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدمًا التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار:

33) lim_{x -> -2} f(x) where f(x) = { x - 3, x <= -2 ; 2x - 1, x > -2 }

34) lim_{x -> 0} f(x) where f(x) = { 5 - x^2, x <= 0 ; 5 - x, x > 0 }

35) lim_{x -> 2} f(x) where f(x) = { (x - 2)^2 + 1, x <= 2 ; x - 6, x > 2 }

الدرس 2-8 حساب النهايات جبريًا 145

تدرب وحل المسائل استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: (مثال 1) 1) lim_{x -> -3} (5x - 10) 2) lim_{x -> 5} (x^2 + 4x + 13) / (x - 3) 3) lim_{x -> 9} (1/x + 2x + sqrt(x)) 4) lim_{x -> -4} [x^2(x + 1) + 2] 5) lim_{x -> 12} (x^2 - 10x) / sqrt(x + 4) 6) lim_{x -> -6} (x^4 - x^3) / x^2 احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا، وإلا فاذكر السبب: (مثال 2) 7) lim_{x -> 16} (x^2 + 9) / (sqrt(x) - 4) 8) lim_{x -> 2} (4x^3 - 3x^2 + 10) 9) lim_{x -> -3} (x^3 + 9x + 6) / (x^2 + 5x + 6) 10) lim_{x -> 3} sqrt(2 - x) 11) lim_{x -> 9} (3x^2 - 10x + 35) 12) lim_{x -> 10} (-x^2 + 3x + sqrt(x)) --- SECTION: 13) فيزياء: --- بحسب نظرية آينشتاين النسبية، فإن كتلة جسم يتحرك بسرعة v تُعطى بالعلاقة m = m0 / sqrt(1 - v^2/c^2)، حيث c سرعة الضوء، m0 كتلة الجسم الابتدائية أو كتلته عند السكون. أوجد lim_{v -> 0} m، ووضح العلاقة بين هذه النهاية و m0. (مثال 2) احسب كل نهاية مما يأتي: (المثالان 3, 4) 14) lim_{x -> 1} (x^2 + 4x - 5) / (x^2 - 1) 15) lim_{x -> 0} 4x / (sqrt(x + 1) - 1) 16) lim_{x -> -5} (4x^2 + 21x + 5) / (3x^2 + 17x + 10) 17) lim_{x -> 0} 2x / (3 - sqrt(x + 9)) 18) lim_{x -> -3} (x^2 - 2x - 15) / (x + 3) 19) lim_{x -> 6} (sqrt(x + 3) - 3) / (x - 6) احسب كل نهاية مما يأتي: (المثالان 5, 6) 20) lim_{x -> ∞} (5 - 2x^2 + 7x^3) 21) lim_{x -> ∞} (3x^3 - 10x + 2) / (4x^3 + 20x^2) 22) lim_{x -> ∞} (10x + 14 + 6x^2 - x^4) 23) lim_{x -> ∞} (14x^3 - 12x) / (4x^2 + 13x - 8) 24) lim_{x -> -∞} (6x^3 + 2x - 11) / (-x^5 + 17x^3 + 4x) 25) lim_{x -> ∞} (10x^4 - 2) / (5x^4 + 3x^3 - 2x) --- SECTION: 26) إسفنج: --- تحتوي مادة هلامية على حيوان الإسفنج، وعند وضع المادة الهلامية في الماء، فإن حيوان الإسفنج يبدأ بامتصاص الماء والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة l(t) = 25 + (105t^2)/(10 + t^2)، حيث l طول حيوان الإسفنج بالمليمترات بعد t ثانية من وضعه في الماء. (مثال 6) a. ما طول حيوان الإسفنج قبل وضعه في الماء؟ b. ما نهاية الدالة عندما t -> ∞؟ c. وضح العلاقة بين نهاية الدالة l وطول حيوان الإسفنج. احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة: (مثال 7) 27) a_n = (8n + 1) / (n^2 - 3) 28) a_n = (-4n^2 + 6n - 1) / (n^2 + 3n) 29) a_n = (12n^2 + 2) / (6n^2 - 1) 30) a_n = (8n^2 + 5n + 2) / (3 + 2n) 31) a_n = (1/n^4) * [ (n^2(n + 1)^2) / 4 ] 32) a_n = (12/n^2) * [ (n(2n + 1)(n + 1)) / 6 ] احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدمًا التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار: 33) lim_{x -> -2} f(x) where f(x) = { x - 3, x <= -2 ; 2x - 1, x > -2 } 34) lim_{x -> 0} f(x) where f(x) = { 5 - x^2, x <= 0 ; 5 - x, x > 0 } 35) lim_{x -> 2} f(x) where f(x) = { (x - 2)^2 + 1, x <= 2 ; x - 6, x > 2 } الدرس 2-8 حساب النهايات جبريًا 145 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: ثلاث صور توضيحية لحيوان الإسفنج داخل حوض مائي في ثلاث مراحل زمنية مختلفة: t=0 (البداية)، t=t1 (بعد فترة)، t=tn (الحالة النهائية). يظهر الإسفنج وهو يزداد حجماً مع مرور الوقت، مع وجود سهم يشير إلى الطول L في كل مرحلة. Context: يوضح الشكل عملية نمو وتضخم حيوان الإسفنج بمرور الزمن نتيجة امتصاص الماء، مما يساعد الطالب على تصور الدالة الرياضية المعطاة في السؤال 26.