📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة:
lim_{x→π} (sin x / x) (36)
lim_{x→0} (1 + x + 2^x - cos x) (37)
lim_{x→π/2} (tan 2x / x) (38)
lim_{x→1} (1 - √x) / (x - 1) (39)
نوع: محتوى تعليمي
أوجد lim_{h→0} [f(x + h) - f(x)] / h لكل دالة مما يأتي:
f(x) = 2x - 1 (40)
f(x) = 7 - 9x (41)
f(x) = √x (42)
f(x) = √x + 1 (43)
f(x) = x^2 (44)
f(x) = x^2 + 8x + 4 (45)
46
نوع: QUESTION_HOMEWORK
فيزياء: يمتلك الجسم المتحرك طاقةً تُسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر. وتُعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة k(t) = 1/2 m (v(t))^2 ، حيث v(t) سرعة الجسم عند الزمن t، و m كتلته بالكيلوجرام. إذا كانت سرعة جسم v(t) = 50 / (1 + t^2) لكل t ≥ 0، وكتلته 1kg، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100s؟
نوع: محتوى تعليمي
مسائل مهارات التفكير العليا
47
نوع: QUESTION_HOMEWORK
برهان: استعمل خصائص النهايات؛ لإثبات أنه لأي كثيرة حدود p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 ولأي عدد حقيقي c، فإن lim_{x→c} p(x) = p(c)
48
نوع: QUESTION_HOMEWORK
برهان: استعمل الاستقراء الرياضي؛ لإثبات أنه إذا كان lim_{x→c} f(x) = L، فإنه لأي عدد صحيح n lim_{x→c} [f(x)]^n = [lim_{x→c} f(x)]^n = L^n
49
نوع: QUESTION_HOMEWORK
تحدٍ: احسب النهاية الآتية إذا كانت a_n ≠ 0, b_m ≠ 0:
lim_{x→∞} (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0) / (b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_2 x^2 + b_1 x + b_0)
(إرشاد: افترض كلاً من حالات n < m, n = m, n > m)
50
نوع: QUESTION_HOMEWORK
تبرير: إذا كانت r(x) دالة نسبية، فهل العلاقة lim_{x→c} r(x) = r(c) صحيحة أحياناً، أو صحيحة دائماً، أو غير صحيحة أبداً؟ برّر إجابتك.
51
نوع: QUESTION_HOMEWORK
اكتب: استعمل جدولاً لتنظيم خصائص النهايات، وضمنه مثالاً على كل خاصية.
52
نوع: QUESTION_HOMEWORK
اكتب: افترض أن p(x)/q(x) دالة نسبية، وأن lim_{x→a} p(x)/q(x) = ∞/∞. تدّعي ليلى أن قيمة هذه النهاية هي 1. وضّح سبب كونها مخطئة. وما الخطوات التي يمكن اتباعها لحساب هذه النهاية، إذا كانت موجودة؟
نوع: محتوى تعليمي
مراجعة تراكمية
نوع: QUESTION_HOMEWORK
استعمل التمثيل البياني للدالة f أدناه لإيجاد كل مما يأتي: (الدرس 1-8)
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد (f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x), (f/g)(x) لكل زوج من الدوال الآتية، ثم حدد مجال الدالة الناتجة: (مهارة سابقة)
نوع: محتوى تعليمي
تدريب على اختبار
58
نوع: QUESTION_HOMEWORK
58) ما قيمة lim_{h→0} (2h^3 - h^2 + 5h) / h ؟
59
نوع: QUESTION_HOMEWORK
59) ما القيمة التي تقترب منها g(x) = (x + π) / cos(x + π) عندما تقترب x من 0؟
60
نوع: QUESTION_HOMEWORK
60) باستعمال التمثيل البياني للدالة f أدناه، ما قيمة lim_{x→2+} f(x) ؟
🔍 عناصر مرئية
The graph shows a piecewise function. For x < -2, it is a line approaching (-2, 1) with an open circle. At x = -2, there is a closed circle at y = 2. For x > -2, the graph is a curve that passes through (0,0), reaches a maximum at (2,3), and then goes down through (3,2) and (4,1) with an arrow.
The graph consists of two separate linear segments. The first segment comes from the top-left, passes through (-1, 2), and ends at (0,0) with a closed circle. The second segment starts at (2, 1) with a closed circle and goes down to the right, passing through (4, 0) with an arrow.
📄 النص الكامل للصفحة
احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة:
lim_{x→π} (sin x / x) (36)
lim_{x→0} (1 + x + 2^x - cos x) (37)
lim_{x→π/2} (tan 2x / x) (38)
lim_{x→1} (1 - √x) / (x - 1) (39)
أوجد lim_{h→0} [f(x + h) - f(x)] / h لكل دالة مما يأتي:
f(x) = 2x - 1 (40)
f(x) = 7 - 9x (41)
f(x) = √x (42)
f(x) = √x + 1 (43)
f(x) = x^2 (44)
f(x) = x^2 + 8x + 4 (45)
--- SECTION: 46 ---
فيزياء: يمتلك الجسم المتحرك طاقةً تُسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر. وتُعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة k(t) = 1/2 m (v(t))^2 ، حيث v(t) سرعة الجسم عند الزمن t، و m كتلته بالكيلوجرام. إذا كانت سرعة جسم v(t) = 50 / (1 + t^2) لكل t ≥ 0، وكتلته 1kg، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100s؟
مسائل مهارات التفكير العليا
--- SECTION: 47 ---
برهان: استعمل خصائص النهايات؛ لإثبات أنه لأي كثيرة حدود p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 ولأي عدد حقيقي c، فإن lim_{x→c} p(x) = p(c)
--- SECTION: 48 ---
برهان: استعمل الاستقراء الرياضي؛ لإثبات أنه إذا كان lim_{x→c} f(x) = L، فإنه لأي عدد صحيح n lim_{x→c} [f(x)]^n = [lim_{x→c} f(x)]^n = L^n
--- SECTION: 49 ---
تحدٍ: احسب النهاية الآتية إذا كانت a_n ≠ 0, b_m ≠ 0:
lim_{x→∞} (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0) / (b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_2 x^2 + b_1 x + b_0)
(إرشاد: افترض كلاً من حالات n < m, n = m, n > m)
--- SECTION: 50 ---
تبرير: إذا كانت r(x) دالة نسبية، فهل العلاقة lim_{x→c} r(x) = r(c) صحيحة أحياناً، أو صحيحة دائماً، أو غير صحيحة أبداً؟ برّر إجابتك.
--- SECTION: 51 ---
اكتب: استعمل جدولاً لتنظيم خصائص النهايات، وضمنه مثالاً على كل خاصية.
--- SECTION: 52 ---
اكتب: افترض أن p(x)/q(x) دالة نسبية، وأن lim_{x→a} p(x)/q(x) = ∞/∞. تدّعي ليلى أن قيمة هذه النهاية هي 1. وضّح سبب كونها مخطئة. وما الخطوات التي يمكن اتباعها لحساب هذه النهاية، إذا كانت موجودة؟
مراجعة تراكمية
استعمل التمثيل البياني للدالة f أدناه لإيجاد كل مما يأتي: (الدرس 1-8)
53. f(-2), lim_{x→-2} f(x)
54. f(0), lim_{x→0} f(x)
55. f(3), lim_{x→3} f(x)
أوجد (f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x), (f/g)(x) لكل زوج من الدوال الآتية، ثم حدد مجال الدالة الناتجة: (مهارة سابقة)
56. f(x) = x^2 - 2x, g(x) = x + 9
57. f(x) = x / (x + 1), g(x) = x^2 - 1
تدريب على اختبار
--- SECTION: 58 ---
58) ما قيمة lim_{h→0} (2h^3 - h^2 + 5h) / h ؟
A 3
B 4
C 5
D غير موجودة
--- SECTION: 59 ---
59) ما القيمة التي تقترب منها g(x) = (x + π) / cos(x + π) عندما تقترب x من 0؟
A -π
B -3/4
C -1/2 π
D 0
--- SECTION: 60 ---
60) باستعمال التمثيل البياني للدالة f أدناه، ما قيمة lim_{x→2+} f(x) ؟
A 0
B 1
C 5
D غير موجودة
--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: The graph shows a piecewise function. For x < -2, it is a line approaching (-2, 1) with an open circle. At x = -2, there is a closed circle at y = 2. For x > -2, the graph is a curve that passes through (0,0), reaches a maximum at (2,3), and then goes down through (3,2) and (4,1) with an arrow.
**GRAPH**: Untitled
Description: The graph consists of two separate linear segments. The first segment comes from the top-left, passes through (-1, 2), and ends at (0,0) with a closed circle. The second segment starts at (2, 1) with a closed circle and goes down to the right, passing through (4, 0) with an arrow.
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 25
سؤال 36: احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة: $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x}$
الإجابة: س: 36: 0
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المطلوب حساب نهاية الدالة $\frac{\sin x}{x}$ عندما تقترب $x$ من $\pi$.
- **الخطوة 2 (القانون):**
نبدأ دائماً بمحاولة التعويض المباشر في الدالة:
$$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض عن $x$ بالقيمة $\pi$:
$$\frac{\sin(\pi)}{\pi}$$
بما أن $\sin(\pi) = 0$، فإن القيمة تصبح:
$$\frac{0}{\pi} = 0$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بما أن الناتج قيمة معرفة، فإن النهاية موجودة وتساوي **0**
سؤال 37: احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة: $\lim_{x \to 0} (1 + x + 2^x - \cos x)$
الإجابة: س: 37: 1
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا الدالة $(1 + x + 2^x - \cos x)$ والمطلوب إيجاد نهايتها عندما تقترب $x$ من $0$.
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم خاصية توزيع النهايات على الجمع والطرح، أو نقوم بالتعويض المباشر مباشرة.
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض المباشر عن $x = 0$:
$$1 + 0 + 2^0 - \cos(0)$$
نعلم أن $2^0 = 1$ و $\cos(0) = 1$، إذن:
$$1 + 0 + 1 - 1 = 1$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن قيمة النهاية هي **1**
سؤال 38: احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x}$
الإجابة: س: 38: 0
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المطلوب حساب $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x}$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نقوم بالتعويض المباشر عن قيمة $x$ بـ $\frac{\pi}{2}$:
$$\frac{\tan(2 \cdot \frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\tan(\pi)}{\frac{\pi}{2}}$$
بما أن $\tan(\pi) = 0$، فإن المسألة تصبح:
$$\frac{0}{\frac{\pi}{2}} = 0$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن النهاية موجودة وقيمتها هي **0**
سؤال 39: احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة: $\lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$
الإجابة: س: 39: -\frac{1}{2}
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
المطلوب حساب $\lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
بالتعويض المباشر نحصل على $\frac{0}{0}$ وهي كمية غير معينة. لذا نحتاج لتبسيط المقدار.
يمكننا تحليل المقام $(x-1)$ كفرق بين مربعين:
$$x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$$
تصبح النهاية:
$$\lim_{x \to 1} \frac{-((\sqrt{x} - 1))}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$$
نختصر القوس المشترك:
$$\lim_{x \to 1} \frac{-1}{\sqrt{x} + 1}$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بالتعويض الآن عن $x=1$:
$$\frac{-1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{-1}{2}$$
إذن الإجابة هي **$-\frac{1}{2}$**
سؤال 40: أوجد $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي: $f(x) = 2x - 1$
الإجابة: س: 40: 2
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
الدالة هي $f(x) = 2x - 1$. المطلوب إيجاد نهاية معدل التغير (المشتقة بالتعريف).
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم الصيغة:
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
أولاً نوجد $f(x+h)$:
$$f(x+h) = 2(x+h) - 1 = 2x + 2h - 1$$
الآن نعوض في الصيغة:
$$\frac{(2x + 2h - 1) - (2x - 1)}{h} = \frac{2x + 2h - 1 - 2x + 1}{h} = \frac{2h}{h} = 2$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بأخذ النهاية عندما $h \to 0$، يبقى الثابت كما هو. إذن الإجابة هي **2**
سؤال 41: أوجد $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي: $f(x) = 7 - 9x$
الإجابة: س: 41: -9
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
الدالة هي $f(x) = 7 - 9x$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نطبق قانون معدل التغير:
$$f(x+h) = 7 - 9(x+h) = 7 - 9x - 9h$$
بالتعويض في الكسر:
$$\frac{(7 - 9x - 9h) - (7 - 9x)}{h} = \frac{7 - 9x - 9h - 7 + 9x}{h} = \frac{-9h}{h} = -9$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن النهاية هي **-9**
سؤال 42: أوجد $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي: $f(x) = \sqrt{x}$
الإجابة: س: 42: \frac{1}{2\sqrt{x}}
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
الدالة هي $f(x) = \sqrt{x}$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نعوض في صيغة النهاية:
$$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$$
للتخلص من الجذور في البسط، نضرب في المرافق $\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$:
$$\frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بالتعويض عن $h=0$:
$$\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
إذن الإجابة هي **$\frac{1}{2\sqrt{x}}$**
سؤال 43: أوجد $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي: $f(x) = \sqrt{x+1}$
الإجابة: س: 43: \frac{1}{2\sqrt{x+1}}
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
الدالة هي $f(x) = \sqrt{x+1}$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نطبق الصيغة ونضرب في المرافق:
$$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}$$
البسط يصبح: $(x+h+1) - (x+1) = h$.
المقدار يصبح: $\frac{h}{h(\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1})} = \frac{1}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
عندما $h \to 0$:
$$\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+1}} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$
إذن الإجابة هي **$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$**
سؤال 44: أوجد $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي: $f(x) = x^2$
الإجابة: س: 44: 2x
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
الدالة هي $f(x) = x^2$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نعوض في الصيغة:
$$\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$$
$$\frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بأخذ النهاية عندما $h \to 0$:
$$2x + 0 = 2x$$
إذن الإجابة هي **2x**
سؤال 45: أوجد $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي: $f(x) = x^2 + 8x + 4$
الإجابة: س: 45: 2x + 8
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
الدالة هي $f(x) = x^2 + 8x + 4$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
نوجد $f(x+h)$:
$$(x+h)^2 + 8(x+h) + 4 = x^2 + 2xh + h^2 + 8x + 8h + 4$$
نطرح $f(x)$ ونقسم على $h$:
$$\frac{(x^2 + 2xh + h^2 + 8x + 8h + 4) - (x^2 + 8x + 4)}{h} = \frac{2xh + h^2 + 8h}{h}$$
بقسمة كل حد على $h$:
$$2x + h + 8$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
عندما $h \to 0$، يختفي الحد $h$:
$$2x + 8$$
إذن الإجابة هي **2x + 8**
سؤال 46: فيزياء: يمتلك الجسم المتحرك طاقةً تُسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر. وتُعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة $k(t) = \frac{1}{2} m (v(t))^2$ ، حيث $v(t)$ سرعة الجسم عند الزمن $t$، و $m$ كتلته بالكيلوجرام. إذا كانت سرعة جسم $v(t) = \frac{50}{1 + t^2}$ لكل $t \ge 0$، وكتلته $1kg$، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من $100s$؟
الإجابة: س: 46:
k(t) = \frac{1}{2} (1) (\frac{50}{1 + t^2})^2
k = \frac{1250}{100020001} J عند t \to 100
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
- الكتلة $m = 1 kg$.
- السرعة $v(t) = \frac{50}{1 + t^2}$.
- قانون الطاقة الحركية $k(t) = \frac{1}{2} m (v(t))^2$.
- المطلوب: الطاقة عندما يقترب الزمن $t$ من $100s$.
- **الخطوة 2 (القانون):**
نعوض بالمعطيات في قانون الطاقة الحركية:
$$k(t) = \frac{1}{2} (1) \left( \frac{50}{1 + t^2} \right)^2$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
عندما يقترب $t$ من $100$، نعوض مباشرة:
$$k(100) = \frac{1}{2} \left( \frac{50}{1 + 100^2} \right)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{50}{10001} \right)^2$$
$$k(100) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2500}{100020001} = \frac{1250}{100020001}$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن الطاقة الحركية هي تقريباً **$\frac{1250}{100020001} J$**
سؤال 47: برهان: استعمل خصائص النهايات؛ لإثبات أنه لأي كثيرة حدود $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ ولأي عدد حقيقي $c$، فإن $\lim_{x \to c} p(x) = p(c)$
الإجابة: س: 47: (باستخدام خصائص النهايات وتوزيع النهاية على الجمع والضرب)
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
كثيرة الحدود هي مجموع حدود، وكل حد هو ثابت مضروب في $x$ مرفوعة لقوة. خصائص النهايات تسمح لنا بتوزيع النهاية على الجمع والضرب.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
بما أن $\lim_{x \to c} x = c$ و $\lim_{x \to c} a = a$، فإنه بتطبيق خاصية القوة:
$$\lim_{x \to c} x^n = c^n$$
وبتطبيق خاصية الضرب في ثابت وخاصية الجمع على الدالة $p(x)$:
$$\lim_{x \to c} (a_n x^n + \dots + a_0) = a_n c^n + a_{n-1} c^{n-1} + \dots + a_0$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
هذا المقدار الناتج هو بالضبط قيمة الدالة عند $c$. إذن: **$\lim_{x \to c} p(x) = p(c)$**
سؤال 48: برهان: استعمل الاستقراء الرياضي؛ لإثبات أنه إذا كان $\lim_{x \to c} f(x) = L$، فإنه لأي عدد صحيح $n$ $\lim_{x \to c} [f(x)]^n = [\lim_{x \to c} f(x)]^n = L^n$
الإجابة: س: 48: الأساس n = 1 صحيح. نفرض لـ k، ونثبت لـ k+1 باستخدام \lim(f^k \cdot f)
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
نستخدم الاستقراء الرياضي. للحالة الأساسية $n=1$، النهاية هي $\lim_{x \to c} [f(x)]^1 = L^1$ وهي صحيحة بالفرض.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
نفرض صحة العبارة لـ $n=k$، أي $\lim_{x \to c} [f(x)]^k = L^k$. نريد إثباتها لـ $n=k+1$.
نكتب $[f(x)]^{k+1}$ كـ $[f(x)]^k \cdot f(x)$. باستخدام خاصية ضرب النهايات:
$$\lim_{x \to c} ([f(x)]^k \cdot f(x)) = (\lim_{x \to c} [f(x)]^k) \cdot (\lim_{x \to c} f(x))$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بالتعويض من فرض الاستقراء: $L^k \cdot L = L^{k+1}$. إذن العبارة صحيحة لكل $n$.
سؤال 49: تحدٍ: احسب النهاية الآتية إذا كانت $a_n \neq 0, b_m \neq 0$: $\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_2 x^2 + b_1 x + b_0}$ (إرشاد: افترض كلاً من حالات $n < m, n = m, n > m$)
الإجابة: س: 49:
0 إذا n < m
\frac{a_n}{b_m} إذا n = m
\infty إذا n > m
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
عند حساب نهاية دالة نسبية عند المالانهاية، نقسم كلاً من البسط والمقام على أكبر قوة لـ $x$ في المقام.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
- إذا كان $n < m$ (درجة البسط أقل): ستؤول جميع الحدود إلى الصفر، فتكون النهاية **0**.
- إذا كان $n = m$ (الدرجات متساوية): ستؤول النهاية إلى معامل أكبر قوة في البسط على معامل أكبر قوة في المقام، أي **$\frac{a_n}{b_m}$**.
- إذا كان $n > m$ (درجة البسط أكبر): ستؤول النهاية إلى **$\infty$** (أو $-\infty$ حسب الإشارات).
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن تعتمد النهاية على العلاقة بين $n$ و $m$ كما هو موضح أعلاه.
سؤال 50: تبرير: إذا كانت $r(x)$ دالة نسبية، فهل العلاقة $\lim_{x \to c} r(x) = r(c)$ صحيحة أحياناً، أو صحيحة دائماً، أو غير صحيحة أبداً؟ برّر إجابتك.
الإجابة: س: 50 صحيحة أحياناً (فقط عندما q(c) \neq 0)
خطوات الحل:
- **الشرح:**
الدالة النسبية $r(x)$ هي ناتج قسمة دالتين كثيرتي حدود، مثلاً $p(x)/q(x)$. لكي تكون النهاية مساوية لقيمة الدالة عند $c$، يجب أن تكون الدالة معرفة ومتصلة عند تلك النقطة.
هذا يتحقق فقط إذا كان المقام $q(c) \neq 0$. أما إذا كان المقام يساوي صفراً عند $c$، فإن الدالة تكون غير معرفة هناك، وبالتالي العلاقة لا تصح.
ولذلك الإجابة هي: **صحيحة أحياناً (عندما يكون المقام لا يساوي صفراً عند $c$)**
سؤال 51: اكتب: استعمل جدولاً لتنظيم خصائص النهايات، وضمنه مثالاً على كل خاصية.
الإجابة: س: 51: خصائص النهايات: الثابت، القوة، الجمع، الطرح، الضرب، القسمة (المقام \neq 0)
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
خصائص النهايات هي القواعد الأساسية التي تسهل الحساب دون الحاجة للجداول أو الرسم.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
تتضمن الخصائص: نهاية الثابت (تساوي الثابت نفسه)، نهاية المجموع (تساوي مجموع النهايات)، نهاية الضرب (تساوي ضرب النهايات)، ونهاية القسمة (بشرط المقام لا يساوي صفراً).
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
يتم تنظيم هذه الخصائص في جدول يوضح كل قاعدة مع مثال رياضي بسيط لكل منها.
سؤال 52: اكتب: افترض أن $p(x)/q(x)$ دالة نسبية، وأن $\lim_{x \to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{\infty}{\infty}$. تدّعي ليلى أن قيمة هذه النهاية هي 1. وضّح سبب كونها مخطئة. وما الخطوات التي يمكن اتباعها لحساب هذه النهاية، إذا كانت موجودة؟
الإجابة: س: 52 ليلى مخطئة؛ \frac{\infty}{\infty} كمية غير معينة قد تساوي أي قيمة. يجب تبسيط الدالة أولاً.
خطوات الحل:
- **الشرح:**
ليلى مخطئة لأن الصيغة $\frac{\infty}{\infty}$ هي "كمية غير معينة"، وهذا لا يعني أن الناتج دائماً 1. فقد تكون النهاية أي عدد حقيقي أو حتى مالانهاية، اعتماداً على سرعة نمو البسط مقارنة بالمقام.
لحساب هذه النهاية بشكل صحيح، يجب تبسيط الدالة النسبية بقسمة كل من البسط والمقام على $x$ المرفوعة لأكبر قوة موجودة في المقام، ثم إيجاد نهاية كل حد على حدة.
ولذلك الإجابة هي: **ليلى مخطئة؛ لأن $\frac{\infty}{\infty}$ حالة عدم تعيين، ويجب التبسيط بالقسمة على أكبر قوة لـ $x$.**
سؤال 53: استعمل التمثيل البياني للدالة f أدناه لإيجاد كل مما يأتي: $f(-2), \lim_{x \to -2} f(x)$
الإجابة: س: 53: f(-2) = 2
\lim_{x \to -2} f(x) غير موجودة
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
لإيجاد $f(-2)$ ننظر للنقطة المغلقة عند $x = -2$. ولإيجاد النهاية ننظر لاقتراب المنحنى من اليمين واليسار.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
من الرسم، نجد نقطة مغلقة عند القيمة $y = 2$، إذن $f(-2) = 2$. أما النهاية، فمن اليمين تقترب من $2$ ومن اليسار تقترب من قيمة مختلفة (فجوة)، مما يعني وجود قفزة.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
بما أن النهايتين من اليمين واليسار مختلفتان، فإن **$f(-2) = 2$** و **النهاية غير موجودة**.
سؤال 54: استعمل التمثيل البياني للدالة f أدناه لإيجاد كل مما يأتي: $f(0), \lim_{x \to 0} f(x)$
الإجابة: س: 54: f(0) = 0
\lim_{x \to 0} f(x) = 0
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (التطبيق):**
عند النظر إلى النقطة $x = 0$ على الرسم البياني، نجد أن المنحنى يمر بنقطة الأصل $(0,0)$. لا توجد فجوات أو قفزات عند هذه النقطة.
- **الخطوة 2 (النتيجة):**
بما أن المنحنى متصل عند هذه النقطة، فإن قيمة الدالة تساوي قيمة النهاية. إذن: **$f(0) = 0$** و **$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$**
سؤال 55: استعمل التمثيل البياني للدالة f أدناه لإيجاد كل مما يأتي: $f(3), \lim_{x \to 3} f(x)$
الإجابة: س: 55: f(3) = 2
\lim_{x \to 3} f(x) = 2
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (التطبيق):**
نبحث عن القيمة $x = 3$ على المحور الأفقي. نجد أن المنحنى يمر بالنقطة $(3, 2)$ بشكل متصل.
- **الخطوة 2 (النتيجة):**
بما أن الدالة متصلة عند $x=3$، فإن القيمة والنهاية متطابقتان. إذن: **$f(3) = 2$** و **$\lim_{x \to 3} f(x) = 2$**
سؤال 56: أوجد $(f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x), (f/g)(x)$ لكل زوج من الدوال الآتية، ثم حدد مجال الدالة الناتجة: $f(x) = x^2 - 2x, g(x) = x + 9$
الإجابة: س: 56:
(f+g) = x^2 - x + 9
(f-g) = x^2 - 3x - 9
(fg) = x^3 + 7x^2 - 18x
(f/g) = \frac{x^2 - 2x}{x+9}
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
$f(x) = x^2 - 2x$ و $g(x) = x + 9$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
- الجمع: $(x^2 - 2x) + (x + 9) = x^2 - x + 9$
- الطرح: $(x^2 - 2x) - (x + 9) = x^2 - 3x - 9$
- الضرب: $(x^2 - 2x)(x + 9) = x^3 + 9x^2 - 2x^2 - 18x = x^3 + 7x^2 - 18x$
- القسمة: $\frac{x^2 - 2x}{x + 9}$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
المجال للعمليات الثلاث الأولى هو $\mathbb{R}$، وللقسمة هو $\mathbb{R} \setminus \{-9\}$.
سؤال 57: أوجد $(f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x), (f/g)(x)$ لكل زوج من الدوال الآتية، ثم حدد مجال الدالة الناتجة: $f(x) = \frac{x}{x+1}, g(x) = x^2 - 1$
الإجابة: س: 57:
(f+g) = \frac{x^3+x^2-1}{x+1}
(f-g) = \frac{-x^3-x^2+2x+1}{x+1}
(fg) = x(x-1)
(f/g) = \frac{x}{(x-1)(x+1)^2}
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
$f(x) = \frac{x}{x+1}$ و $g(x) = x^2 - 1$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
- الجمع: $\frac{x}{x+1} + (x^2-1) = \frac{x + (x^2-1)(x+1)}{x+1} = \frac{x + x^3 + x^2 - x - 1}{x+1} = \frac{x^3 + x^2 - 1}{x+1}$
- الضرب: $\frac{x}{x+1} \cdot (x-1)(x+1) = x(x-1) = x^2 - x$
- القسمة: $\frac{x}{x+1} \div (x^2-1) = \frac{x}{(x+1)(x^2-1)} = \frac{x}{(x+1)^2(x-1)}$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
النتائج كما ظهرت في التبسيط أعلاه.
سؤال 58: ما قيمة $\lim_{h \to 0} \frac{2h^3 - h^2 + 5h}{h}$ ؟
الإجابة: س: 58 (ج) : 5
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (الحل):**
بالتعويض المباشر نحصل على $0/0$. نأخذ $h$ عاملاً مشتركاً من البسط:
$$\frac{h(2h^2 - h + 5)}{h} = 2h^2 - h + 5$$
الآن نعوض عن $h=0$:
$$2(0)^2 - 0 + 5 = 5$$
- **الخطوة 2 (النتيجة):**
إذن الإجابة الصحيحة هي **(ج) 5**
سؤال 59: ما القيمة التي تقترب منها $g(x) = \frac{x + \pi}{\cos(x + \pi)}$ عندما تقترب $x$ من 0؟
الإجابة: س: 59 (أ) : -\pi
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (الحل):**
نعوض عن $x$ بـ $0$ في الدالة $g(x) = \frac{x + \pi}{\cos(x + \pi)}$:
$$\frac{0 + \pi}{\cos(0 + \pi)} = \frac{\pi}{\cos(\pi)}$$
نعلم أن $\cos(\pi) = -1$.
- **الخطوة 2 (النتيجة):**
إذن القيمة هي $\frac{\pi}{-1} = -\pi$. الإجابة الصحيحة هي **(أ) $-\pi$**
سؤال 60: باستعمال التمثيل البياني للدالة f أدناه، ما قيمة $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ ؟
الإجابة: س: 60 (ب) : 1
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
المطلوب هو النهاية من جهة اليمين عند $x=2$.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
بالنظر إلى الرسم البياني، عندما نقترب من القيمة $x=2$ من جهة اليمين (القيم الأكبر من 2)، نجد أن المنحنى يتجه نحو القيمة $y=1$.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$. الإجابة الصحيحة هي **(ب) 1**