خطوة 2 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: خطوة 2

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

استكشاف 8-3 معمل الحاسبة البيانية: ميل المنحنى The Slope of a Curve

خطوة 2

نوع: QUESTION_ACTIVITY

احسب ميل القاطع المار بمنحنى: y = (x - 2)^3 + 1 عندما x = 3.5, x = 2.5. ظلل إحداثيي x لكلا النقطتين واستبدلهما بالإحداثيين x = 3.5, x = 2.5، فيكون ميل القاطع يساوي 3.25

خطوة 3

نوع: QUESTION_ACTIVITY

احسب ميل القاطع المار بمنحنى: y = (x - 2)^3 + 1 عندما x = 3.2, x = 2.8. ظلل إحداثيي x لكلا النقطتين واستبدلهما بالإحداثيين x = 3.8, x = 2.8، فيكون ميل القاطع يساوي 3.04

خطوة 4

نوع: QUESTION_ACTIVITY

أوجد ميل 3 قواطع أخرى في فترات متناقصة حول النقطة (3, 2). كلما نقص طول الفترة حول النقطة (3, 2)، فإن ميل القاطع يقترب أكثر من العدد 3؛ لذا فإن ميل منحنى y = (x - 2)^3 + 1 عند النقطة (3, 2) هو 3 تقريبًا.

نوع: محتوى تعليمي

تمارين:

نوع: محتوى تعليمي

قدّر ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند النقطة المعطاة:

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1) y = (x + 1)^2, (-4, 9)

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) y = x^3 - 5, (2, 3)

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3) y = 4x^4 - x^2, (0.5, 0)

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4) y = sqrt(x), (1, 1)

نوع: محتوى تعليمي

حلل النتائج

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5) حلل: صف ما يحدث لقاطع منحنى دالة عندما تقترب نقاط التقاطع من نقطة معطاة (a, b) على المنحنى.

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6) خمن: صف كيف يمكنك إيجاد القيمة الفعلية لميل منحنى عند نقطة معطاة عليه.

نوع: METADATA

148 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

A graphing calculator screen showing the curve of a cubic function. A secant line is drawn through two points on the curve. The slope of this secant line is displayed as 3.25.

A graphing calculator screen showing the same cubic function curve as above, but with a secant line drawn through two points closer to (3, 2). The slope of this secant line is displayed as 3.04.

📄 النص الكامل للصفحة

استكشاف 8-3 معمل الحاسبة البيانية: ميل المنحنى The Slope of a Curve --- SECTION: خطوة 2 --- احسب ميل القاطع المار بمنحنى: y = (x - 2)^3 + 1 عندما x = 3.5, x = 2.5. ظلل إحداثيي x لكلا النقطتين واستبدلهما بالإحداثيين x = 3.5, x = 2.5، فيكون ميل القاطع يساوي 3.25 --- SECTION: خطوة 3 --- احسب ميل القاطع المار بمنحنى: y = (x - 2)^3 + 1 عندما x = 3.2, x = 2.8. ظلل إحداثيي x لكلا النقطتين واستبدلهما بالإحداثيين x = 3.8, x = 2.8، فيكون ميل القاطع يساوي 3.04 --- SECTION: خطوة 4 --- أوجد ميل 3 قواطع أخرى في فترات متناقصة حول النقطة (3, 2). كلما نقص طول الفترة حول النقطة (3, 2)، فإن ميل القاطع يقترب أكثر من العدد 3؛ لذا فإن ميل منحنى y = (x - 2)^3 + 1 عند النقطة (3, 2) هو 3 تقريبًا. تمارين: قدّر ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند النقطة المعطاة: --- SECTION: 1 --- 1) y = (x + 1)^2, (-4, 9) --- SECTION: 2 --- 2) y = x^3 - 5, (2, 3) --- SECTION: 3 --- 3) y = 4x^4 - x^2, (0.5, 0) --- SECTION: 4 --- 4) y = sqrt(x), (1, 1) حلل النتائج --- SECTION: 5 --- 5) حلل: صف ما يحدث لقاطع منحنى دالة عندما تقترب نقاط التقاطع من نقطة معطاة (a, b) على المنحنى. --- SECTION: 6 --- 6) خمن: صف كيف يمكنك إيجاد القيمة الفعلية لميل منحنى عند نقطة معطاة عليه. 148 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A graphing calculator screen showing the curve of a cubic function. A secant line is drawn through two points on the curve. The slope of this secant line is displayed as 3.25. **GRAPH**: Untitled Description: A graphing calculator screen showing the same cubic function curve as above, but with a secant line drawn through two points closer to (3, 2). The slope of this secant line is displayed as 3.04.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 6

سؤال س1: قدّر ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند النقطة المعطاة: 1) $y = (x + 1)^2, (-4, 9)$

الإجابة: س1: الميل $y' = 2(x + 1) \Rightarrow$ عند $x = -4$ الميل $2(-3) = -6$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد الدالة والنقطة المعطاة: - الدالة: $y = (x + 1)^2$ - النقطة: $(-4, 9)$، حيث $x = -4$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** ميل المنحنى عند نقطة هو قيمة المشتقة الأولى للدالة عند تلك النقطة. نشتق الدالة باستخدام قاعدة القوة والقوس: $$y' = 2(x + 1)^1 \cdot (1) = 2(x + 1)$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن قيمة $x = -4$ في المشتقة لإيجاد الميل: $$m = 2(-4 + 1) = 2(-3) = -6$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن ميل المنحنى عند النقطة المعطاة هو: **-6**

سؤال س2: قدّر ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند النقطة المعطاة: 2) $y = x^3 - 5, (2, 3)$

الإجابة: س2: الميل $y' = 3x^2 \Rightarrow$ عند $x = 2$ الميل $3(2^2) = 12$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعطيات المتوفرة لدينا: - الدالة: $y = x^3 - 5$ - النقطة: $(2, 3)$، حيث $x = 2$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نوجد المشتقة الأولى للدالة لإيجاد صيغة الميل العام: $$y' = 3x^2$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نعوض الآن بقيمة الإحداثي $x$ للنقطة المعطاة في المشتقة: $$m = 3(2)^2 = 3(4) = 12$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن ميل المنحنى عند النقطة $(2, 3)$ يساوي: **12**

سؤال س3: قدّر ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند النقطة المعطاة: 3) $y = 4x^4 - x^2, (0.5, 0)$

الإجابة: س3: الميل $y' = 16x^3 - 2x \Rightarrow$ عند $x = 0.5$ الميل $= 16(0.125) - 1 = 1$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الدالة والنقطة التالية: - الدالة: $y = 4x^4 - x^2$ - النقطة: $(0.5, 0)$، حيث $x = 0.5$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نشتق الدالة بالنسبة لـ $x$ للحصول على معادلة الميل: $$y' = 16x^3 - 2x$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن $x = 0.5$ (أو $\frac{1}{2}$) في المشتقة: $$m = 16(0.5)^3 - 2(0.5)$$ $$m = 16(0.125) - 1 = 2 - 1 = 1$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن ميل المنحنى عند هذه النقطة هو: **1**

سؤال س4: قدّر ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند النقطة المعطاة: 4) $y = \sqrt{x}, (1, 1)$

الإجابة: س4: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow$ عند $x = 1$ الميل $= \frac{1}{2}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعطيات هي: - الدالة: $y = \sqrt{x}$ - النقطة: $(1, 1)$، حيث $x = 1$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نشتق دالة الجذر التربيعي باستخدام القاعدة الخاصة بها: $$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نعوض بقيمة $x = 1$ في صيغة المشتقة: $$m = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن ميل المنحنى عند النقطة $(1, 1)$ هو: **0.5** أو **$\frac{1}{2}$**

سؤال س5: 5) حلل: صف ما يحدث لقاطع منحنى دالة عندما تقترب نقاط التقاطع من نقطة معطاة $(a, b)$ على المنحنى.

الإجابة: س5: كلما اقتربت نقطة التقاطع الثانية من $(a, b)$ يصبح القاطع أقرب إلى المماس عند تلك النقطة، ويقترب ميل القاطع من ميل المماس.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لنتخيل وجود نقطتين على منحنى دالة، ونرسم خطاً مستقيماً يمر بهما؛ هذا الخط يسمى "القاطع". الفكرة هنا هي مراقبة سلوك هذا القاطع عندما نبدأ بتحريك النقطة الثانية لتقترب شيئاً فشيئاً من النقطة الأولى الثابتة $(a, b)$. كلما صغرت المسافة بين النقطتين، يبدأ ميل هذا القاطع في التغير ليقترب من ميل المنحنى عند تلك النقطة تحديداً. وعندما تصبح المسافة بينهما تؤول إلى الصفر، يتحول القاطع من كونه يقطع المنحنى في نقطتين إلى مستقيم يمس المنحنى في نقطة واحدة فقط. ولذلك الإجابة هي: **كلما اقتربت نقطة التقاطع الثانية من $(a, b)$ يصبح القاطع أقرب إلى المماس عند تلك النقطة، ويقترب ميل القاطع من ميل المماس.**

سؤال س6: 6) خمن: صف كيف يمكنك إيجاد القيمة الفعلية لميل منحنى عند نقطة معطاة عليه.

الإجابة: س6: بإيجاد نهاية ميل القواطع عندما تقترب نقطة ثانية من النقطة المعطاة، أي باستخدام تعريف المشتقة: $m = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لإيجاد القيمة الدقيقة والمؤكدة للميل بدلاً من مجرد التقدير، يجب أن نعتمد على مفهوم النهاية (Limit). نحن نعلم أن ميل القاطع بين نقطتين هو فرق الصادات على فرق السينات. إذا افترضنا أن المسافة الأفقية بين النقطتين هي $h$، فإننا نريد حساب الميل عندما تصبح هذه المسافة $h$ قريبة جداً من الصفر. هذه العملية هي جوهر تعريف المشتقة في الرياضيات، حيث نحسب نهاية معدل التغير عندما يقترب التغير في $x$ من الصفر. ولذلك الإجابة هي: **بإيجاد نهاية ميل القواطع عندما تقترب نقطة ثانية من النقطة المعطاة، أي باستخدام تعريف المشتقة: $m = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$**