فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

8-3 المماس والسرعة المتجهة Tangent Line and Velocity

درست إيجاد متوسط معدل التغير باستعمال القاطع. (مهارة سابقة)

أجد معدل التغير اللحظي لدالة غير خطية عند نقطة بحساب ميل مماس منحنى الدالة عند تلك النقطة. أجد السرعة المتوسطة المتجهة والسرعة المتجهة اللحظية.

المماس tangent line معدل التغير اللحظي instantaneous rate of change قسمة الفرق difference quotient السرعة المتجهة اللحظية instantaneous velocity

عندما يقفز المظلي من ارتفاع 15000 ft، فإن سرعته في اتجاه الأرض تزداد مع مرور الزمن؛ بسبب تسارع الجاذبية الأرضية، وتستمر سرعته في الازدياد حتى يفتح مظلته عند ارتفاع 2500 ft، أو عندما يصل إلى السرعة المتجهة الحدية، وهي السرعة المتجهة التي ينعدم عندها تسارع المظلي، ويحدث هذا عندما تصبح محصلة القوى عليه صفرًا.

المماسات: تعلمت سابقاً أن معدل تغير منحنى دالة غير خطية يتغير من نقطة إلى أخرى عليه، ويمكن حساب متوسط معدل تغير الدالة غير الخطية على فترة باستعمال ميل القاطع. ففي التمثيلات البيانية أدناه للدالة y = x² والقاطع الذي يقطعه ماراً بالنقطة (1, 1)، وبنقطة أخرى مثل (3, 9)، أو (2, 4)، أو (1.1, 1.21)، تجد أن القاطع يتخذ أوضاعاً مختلفة يتغير خلالها ميله.

لاحظ أنه كلما قصر طول الفترة بين نقطتي التقاطع، زادت دقة تقريب ميل القاطع لميل المنحنى في هذه الفترة. إذا واصلنا تقصير الفترة إلى درجة تكون فيها نقطتا التقاطع متطابقتين كما في الشكل (3) أعلاه، فإننا نحصل على مماس للمنحنى، وهو مستقيم يتقاطع مع المنحنى، ولكنه لا يعبره عند نقطة التماس. ويمثل ميل هذا المستقيم ميل المنحنى عند نقطة التماس.

اختصارات: يمكن اختصار الجملة ميل المماس لمنحنى الدالة بميل المنحنى.

ولتعريف ميل المماس لمنحنى عند النقطة (x, f(x)) فإنه يمكننا الرجوع إلى صيغة ميل القاطع المار بالنقطتين ((x, f(x)) و ((x + h, f(x + h)) كما في الشكل المجاور، ومنه يمكن كتابة ميل القاطع بالصيغة: m = (f(x + h) - f(x)) / ((x + h) - x) = (f(x + h) - f(x)) / h وتُسمّى هذه الصيغة قسمة الفرق. فكلما اقتربت النقطة ((x + h, f(x + h)) من النقطة (x, f(x))؛ أي كلما اقتربت قيمة h من الصفر، فإن القاطع يقترب من مماس المنحنى عند النقطة (x, f(x))؛ لذا يمكننا حساب ميل المماس وهو معدل التغير اللحظي للدالة عند تلك النقطة على أنه نهاية ميل القاطع عندما h → 0.

معدل التغير اللحظي للدالة f عند النقطة (x, f(x)) هو ميل المماس m عند النقطة (x, f(x))، ويُعطى بالصيغة m = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h ، بشرط أن تكون النهاية موجودة.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 8-3 المماس والسرعة المتجهة Tangent Line and Velocity --- SECTION: فيما سبق --- درست إيجاد متوسط معدل التغير باستعمال القاطع. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- أجد معدل التغير اللحظي لدالة غير خطية عند نقطة بحساب ميل مماس منحنى الدالة عند تلك النقطة. أجد السرعة المتوسطة المتجهة والسرعة المتجهة اللحظية. --- SECTION: المفردات --- المماس tangent line معدل التغير اللحظي instantaneous rate of change قسمة الفرق difference quotient السرعة المتجهة اللحظية instantaneous velocity --- SECTION: لماذا؟ --- عندما يقفز المظلي من ارتفاع 15000 ft، فإن سرعته في اتجاه الأرض تزداد مع مرور الزمن؛ بسبب تسارع الجاذبية الأرضية، وتستمر سرعته في الازدياد حتى يفتح مظلته عند ارتفاع 2500 ft، أو عندما يصل إلى السرعة المتجهة الحدية، وهي السرعة المتجهة التي ينعدم عندها تسارع المظلي، ويحدث هذا عندما تصبح محصلة القوى عليه صفرًا. --- SECTION: المماسات --- المماسات: تعلمت سابقاً أن معدل تغير منحنى دالة غير خطية يتغير من نقطة إلى أخرى عليه، ويمكن حساب متوسط معدل تغير الدالة غير الخطية على فترة باستعمال ميل القاطع. ففي التمثيلات البيانية أدناه للدالة y = x² والقاطع الذي يقطعه ماراً بالنقطة (1, 1)، وبنقطة أخرى مثل (3, 9)، أو (2, 4)، أو (1.1, 1.21)، تجد أن القاطع يتخذ أوضاعاً مختلفة يتغير خلالها ميله. لاحظ أنه كلما قصر طول الفترة بين نقطتي التقاطع، زادت دقة تقريب ميل القاطع لميل المنحنى في هذه الفترة. إذا واصلنا تقصير الفترة إلى درجة تكون فيها نقطتا التقاطع متطابقتين كما في الشكل (3) أعلاه، فإننا نحصل على مماس للمنحنى، وهو مستقيم يتقاطع مع المنحنى، ولكنه لا يعبره عند نقطة التماس. ويمثل ميل هذا المستقيم ميل المنحنى عند نقطة التماس. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- اختصارات: يمكن اختصار الجملة ميل المماس لمنحنى الدالة بميل المنحنى. ولتعريف ميل المماس لمنحنى عند النقطة (x, f(x)) فإنه يمكننا الرجوع إلى صيغة ميل القاطع المار بالنقطتين ((x, f(x)) و ((x + h, f(x + h)) كما في الشكل المجاور، ومنه يمكن كتابة ميل القاطع بالصيغة: m = (f(x + h) - f(x)) / ((x + h) - x) = (f(x + h) - f(x)) / h وتُسمّى هذه الصيغة قسمة الفرق. فكلما اقتربت النقطة ((x + h, f(x + h)) من النقطة (x, f(x))؛ أي كلما اقتربت قيمة h من الصفر، فإن القاطع يقترب من مماس المنحنى عند النقطة (x, f(x))؛ لذا يمكننا حساب ميل المماس وهو معدل التغير اللحظي للدالة عند تلك النقطة على أنه نهاية ميل القاطع عندما h → 0. --- SECTION: مفهوم أساسي: معدل التغير اللحظي --- معدل التغير اللحظي للدالة f عند النقطة (x, f(x)) هو ميل المماس m عند النقطة (x, f(x))، ويُعطى بالصيغة m = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h ، بشرط أن تكون النهاية موجودة. --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link. **IMAGE**: Untitled Description: Photograph of two skydivers in freefall against a blue sky. **GRAPH**: Untitled Description: Graph of y = x² with a dashed red secant line passing through points (1, 1) and (3, 9). The slope of the secant line is labeled m = 4. Context: Illustrates the secant line over a large interval. **GRAPH**: Untitled Description: Graph of y = x² with a dashed red secant line passing through points (1, 1) and (2, 4). The slope of the secant line is labeled m = 3. Context: Illustrates the secant line as the interval decreases. **GRAPH**: Untitled Description: Graph of y = x² with a dashed red secant line passing through points (1, 1) and (1.1, 1.21). The slope of the secant line is labeled m = 2.1. Context: Illustrates the secant line approaching the tangent line as the interval becomes very small. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a curve y = f(x) with two points labeled. A dashed red secant line passes through both points. A horizontal distance 'h' is indicated between the x-coordinates of the two points. The points are (x, f(x)) and (x + h, f(x + h)). X-axis: x Y-axis: y Context: Visual derivation of the difference quotient and the limit definition of the derivative/slope of the tangent.