إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

السرعة المتجهة اللحظية؛ تعلمت سابقاً طريقة حساب السرعة المتوسطة لجسم يقطع مسافة f(t) في زمن مقداره t، من خلال قسمة المسافة المقطوعة على الزمن الذي استغرقه الجسم لقطع تلك المسافة. والسرعة المتجهة هي سرعة لها اتجاه. ويمكنك إيجاد السرعة المتوسطة المتجهة بالطريقة نفسها التي أوجدت بها السرعة المتوسطة مع توضيح اتجاهها باستعمال الإشارة في الناتج، فالإشارة الموجبة للناتج تعني اتجاه الأمام أو الأعلى، أما الإشارة السالبة فتعني اتجاه الخلف أو الأسفل.

موقع الجسم: موقع الجسم عادة يعطى بالعلاقة f(x) = y وذلك لتحديد الموقع في المستوى بدلالة الإحداثيين x, y، أما إذا أعطي بوصفه دالة في الزمن t، فهذا يعني الإزاحة (محصلة المركبة x والمركبة y) لموقع الجسم عند اللحظة t، وإذا كانت الحركة على خط مستقيم فإن دالة الموقع تكون نفسها دالة المسافة مع أخذ الاتجاه بعين الاعتبار.

إذا أُعطي موقع جسم متحرك بوصفه دالة في الزمن f(t)، فإن السرعة المتوسطة المتجهة للجسم v_avg في الفترة الزمنية من a إلى b تُعطى بالصيغة: v_avg = (التغير في المسافة) / (التغير في الزمن) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

جري: تمثل المعادلة f(t) = -1.3t^2 + 12t المسافة بالأميال، والتي قطعها عداء بعد t ساعة باتجاه خط النهاية. ما سرعته المتوسطة المتجهة بين الساعتين الثانية والثالثة من زمن السباق؟ أوجد أولاً المسافة الكلية التي قطعها العداء عند الزمن a = 2, b = 3. f(t) = -1.3t^2 + 12t (المعادلة الأصلية) f(3) = -1.3(3)^2 + 12(3) (a = 2, b = 3) f(3) = 24.3 (بسط) f(2) = -1.3(2)^2 + 12(2) f(2) = 18.8 استعمل الآن صيغة السرعة المتوسطة المتجهة. v_avg = (f(b) - f(a)) / (b - a) (صيغة السرعة المتوسطة المتجهة) = (24.3 - 18.8) / (3 - 2) (f(b) = 24.3, f(a) = 18.8, b = 3, a = 2) = 5.5 (بسط) أي أن السرعة المتوسطة المتجهة للعداء بين الساعتين الثانية والثالثة هي 5.5 mi/h إلى الأمام.

أحرز العداء السعودي محمد شاوين ذهبية سباق 1500 m في دورة ألعاب آسيا المقامة في الصين عام 2010م، وفي المتوسط فقد قطع مسافة كيلومتر خلال 2:24:33 دقيقة تقريباً.

تحقق من فهمك 3) بالون: تمثل h(t) = -16t^2 + 65t + 5 الارتفاع بالأقدام بعد t ثانية لبالون يصعد رأسياً، ما السرعة المتوسطة المتجهة للبالون بين t = 1s, t = 2s؟

إذا أمعنا النظر في إجابة المثال 3، نجد أنه تم حساب السرعة المتوسطة المتجهة من خلال إيجاد ميل القاطع الذي يمر بالنقطتين (2, 18.8), (3, 24.3) كما في الشكل المجاور. والسرعة المتجهة التي تم حسابها هي السرعة المتوسطة المتجهة خلال فترة زمنية، وليست السرعة المتجهة اللحظية، والتي تساوي سرعة الجسم المتجهة عند لحظة زمنية محددة. ولإيجاد سرعة العداء المتجهة عند لحظة زمنية محددة t، فإننا نجد معدل التغير اللحظي لمنحنى f(t) عند تلك اللحظة.

سبق أن عرفت عند دراسة الإحداثيات القطبية أن الاتجاه له دلالة خاصة في المسافة المتجهة والزاوية المتجهة، كذلك فإن الاتجاه في السرعة المتجهة له دلالة خاصة.

إذا أُعطي موقع جسم متحرك بوصفه دالة في الزمن f(t)، فإن السرعة المتجهة اللحظية v(t) لذلك الجسم عند الزمن t تُعطى بالصيغة: v(t) = lim (h -> 0) [f(t + h) - f(t)] / h بشرط أن تكون هذه النهاية موجودة.

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 | الدرس 3-8 المماس والسرعة المتجهة 151

السرعة المتجهة اللحظية؛ تعلمت سابقاً طريقة حساب السرعة المتوسطة لجسم يقطع مسافة f(t) في زمن مقداره t، من خلال قسمة المسافة المقطوعة على الزمن الذي استغرقه الجسم لقطع تلك المسافة. والسرعة المتجهة هي سرعة لها اتجاه. ويمكنك إيجاد السرعة المتوسطة المتجهة بالطريقة نفسها التي أوجدت بها السرعة المتوسطة مع توضيح اتجاهها باستعمال الإشارة في الناتج، فالإشارة الموجبة للناتج تعني اتجاه الأمام أو الأعلى، أما الإشارة السالبة فتعني اتجاه الخلف أو الأسفل. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- موقع الجسم: موقع الجسم عادة يعطى بالعلاقة f(x) = y وذلك لتحديد الموقع في المستوى بدلالة الإحداثيين x, y، أما إذا أعطي بوصفه دالة في الزمن t، فهذا يعني الإزاحة (محصلة المركبة x والمركبة y) لموقع الجسم عند اللحظة t، وإذا كانت الحركة على خط مستقيم فإن دالة الموقع تكون نفسها دالة المسافة مع أخذ الاتجاه بعين الاعتبار. --- SECTION: مفهوم أساسي: السرعة المتوسطة المتجهة --- إذا أُعطي موقع جسم متحرك بوصفه دالة في الزمن f(t)، فإن السرعة المتوسطة المتجهة للجسم v_avg في الفترة الزمنية من a إلى b تُعطى بالصيغة: v_avg = (التغير في المسافة) / (التغير في الزمن) = (f(b) - f(a)) / (b - a) --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة: السرعة المتوسطة المتجهة --- جري: تمثل المعادلة f(t) = -1.3t^2 + 12t المسافة بالأميال، والتي قطعها عداء بعد t ساعة باتجاه خط النهاية. ما سرعته المتوسطة المتجهة بين الساعتين الثانية والثالثة من زمن السباق؟ أوجد أولاً المسافة الكلية التي قطعها العداء عند الزمن a = 2, b = 3. f(t) = -1.3t^2 + 12t (المعادلة الأصلية) f(3) = -1.3(3)^2 + 12(3) (a = 2, b = 3) f(3) = 24.3 (بسط) f(2) = -1.3(2)^2 + 12(2) f(2) = 18.8 استعمل الآن صيغة السرعة المتوسطة المتجهة. v_avg = (f(b) - f(a)) / (b - a) (صيغة السرعة المتوسطة المتجهة) = (24.3 - 18.8) / (3 - 2) (f(b) = 24.3, f(a) = 18.8, b = 3, a = 2) = 5.5 (بسط) أي أن السرعة المتوسطة المتجهة للعداء بين الساعتين الثانية والثالثة هي 5.5 mi/h إلى الأمام. --- SECTION: الربط مع الحياة --- أحرز العداء السعودي محمد شاوين ذهبية سباق 1500 m في دورة ألعاب آسيا المقامة في الصين عام 2010م، وفي المتوسط فقد قطع مسافة كيلومتر خلال 2:24:33 دقيقة تقريباً. --- SECTION: 3 --- تحقق من فهمك 3) بالون: تمثل h(t) = -16t^2 + 65t + 5 الارتفاع بالأقدام بعد t ثانية لبالون يصعد رأسياً، ما السرعة المتوسطة المتجهة للبالون بين t = 1s, t = 2s؟ إذا أمعنا النظر في إجابة المثال 3، نجد أنه تم حساب السرعة المتوسطة المتجهة من خلال إيجاد ميل القاطع الذي يمر بالنقطتين (2, 18.8), (3, 24.3) كما في الشكل المجاور. والسرعة المتجهة التي تم حسابها هي السرعة المتوسطة المتجهة خلال فترة زمنية، وليست السرعة المتجهة اللحظية، والتي تساوي سرعة الجسم المتجهة عند لحظة زمنية محددة. ولإيجاد سرعة العداء المتجهة عند لحظة زمنية محددة t، فإننا نجد معدل التغير اللحظي لمنحنى f(t) عند تلك اللحظة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- سبق أن عرفت عند دراسة الإحداثيات القطبية أن الاتجاه له دلالة خاصة في المسافة المتجهة والزاوية المتجهة، كذلك فإن الاتجاه في السرعة المتجهة له دلالة خاصة. --- SECTION: مفهوم أساسي: السرعة المتجهة اللحظية --- إذا أُعطي موقع جسم متحرك بوصفه دالة في الزمن f(t)، فإن السرعة المتجهة اللحظية v(t) لذلك الجسم عند الزمن t تُعطى بالصيغة: v(t) = lim (h -> 0) [f(t + h) - f(t)] / h بشرط أن تكون هذه النهاية موجودة. وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 | الدرس 3-8 المماس والسرعة المتجهة 151 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن Description: The graph shows a curve starting from the origin (0,0). A blue secant line is drawn connecting two specific points on the curve to illustrate the average velocity as a slope. X-axis: t (الزمن) Y-axis: f(t) (المسافة) Context: يوضح الرسم البياني كيف أن السرعة المتوسطة المتجهة بين زمنين هي ميل القاطع المار بالنقطتين المقابلتين لهذين الزمنين على منحنى الموقع. **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لمجموعة من العدائين في سباق، يظهر في المقدمة عداء يرتدي قميصاً عليه الرقم 744 وشعار KSA (المملكة العربية السعودية). Context: تستخدم الصورة لربط المفاهيم الرياضية للسرعة بتطبيقات من واقع الحياة مثل سباقات الجري.