إرشادات للدراسة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مُعدل التغير اللحظي
عند حساب نهاية ميل المستقيم القاطع عندما h → 0، فإن الحدود الباقية بعد إجراء الاختصارات، والتي تحتوي المتغير h ستصبح أصفارًا.

مثال 1

نوع: محتوى تعليمي

ميل المماس للمنحنى عند نقطة عليه

نوع: محتوى تعليمي

أوجد ميل مماس منحنى الدالة y = x² الممثلة بالشكل أدناه عند النقطة (1, 1).
صيغة معدل التغير اللحظي: m = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h
x = 1: = lim (h→0) [f(1 + h) - f(1)] / h
f(1 + h) = (1 + h)², f(1) = 1²: = lim (h→0) [(1 + h)² - 1²] / h
فك المقدار (1 + h)²: = lim (h→0) [1 + 2h + h² - 1] / h
بسط: = lim (h→0) [h(2 + h)] / h
اقسم على h: = lim (h→0) (2 + h)
عوض وبسط: = 2 + 0 = 2
أي أن ميل منحنى y = x² عند النقطة (1, 1) هو 2.
تحقق: من خلال التمثيل البياني للمنحنى ومماسه عند النقطة (1, 1)، نلاحظ أن ميل المستقيم الذي يمثل المماس يساوي 2.

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد ميل مماس كل منحنى مما يأتي عند النقطة المعطاة:

نوع: محتوى تعليمي

كما يمكنك استعمال صيغة معدل التغير اللحظي لإيجاد معادلة ميل المنحنى عند أي نقطة (x, f(x)) عليه.

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

ميل المنحنى عند أي نقطة عليه

نوع: محتوى تعليمي

أوجد معادلة ميل منحنى y = 4/x عند أي نقطة عليه.
صيغة معدل التغير اللحظي: m = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h
f(x + h) = 4/(x + h), f(x) = 4/x: m = lim (h→0) [4/(x + h) - 4/x] / h
اطرح الكسرين في البسط، ثم التبسيط: m = lim (h→0) [-4h / (x(x + h))] / h
بسط: m = lim (h→0) -4h / [h x(x + h)]
اقسم على h، ثم اضرب: m = lim (h→0) -4 / [x² + xh]
عوض: m = -4 / [x² + x(0)]
بسط: m = -4 / x²
أي أن ميل المماس للمنحنى عند أي نقطة (x, f(x)) عليه هو m = -4 / x²، والشكل المجاور يبين ميل المنحنى عند ثلاث نقط مختلفة.

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه:

🔍 عناصر مرئية

التمثيل البياني للدالة y = x² ومماسها عند (1, 1)

A blue parabola with vertex at the origin (0,0). A red tangent line is drawn at the point (1,1).

التمثيل البياني للدالة y = 4/x ومماساتها عند نقط مختلفة

A blue hyperbola with vertical asymptote x=0 and horizontal asymptote y=0. Three red tangent lines are shown at specific points with their slopes labeled.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
مُعدل التغير اللحظي
عند حساب نهاية ميل المستقيم القاطع عندما h → 0، فإن الحدود الباقية بعد إجراء الاختصارات، والتي تحتوي المتغير h ستصبح أصفارًا.

--- SECTION: مثال 1 ---
ميل المماس للمنحنى عند نقطة عليه

أوجد ميل مماس منحنى الدالة y = x² الممثلة بالشكل أدناه عند النقطة (1, 1).
صيغة معدل التغير اللحظي: m = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h
x = 1: = lim (h→0) [f(1 + h) - f(1)] / h
f(1 + h) = (1 + h)², f(1) = 1²: = lim (h→0) [(1 + h)² - 1²] / h
فك المقدار (1 + h)²: = lim (h→0) [1 + 2h + h² - 1] / h
بسط: = lim (h→0) [h(2 + h)] / h
اقسم على h: = lim (h→0) (2 + h)
عوض وبسط: = 2 + 0 = 2
أي أن ميل منحنى y = x² عند النقطة (1, 1) هو 2.
تحقق: من خلال التمثيل البياني للمنحنى ومماسه عند النقطة (1, 1)، نلاحظ أن ميل المستقيم الذي يمثل المماس يساوي 2.

تحقق من فهمك

--- SECTION: 1 ---
أوجد ميل مماس كل منحنى مما يأتي عند النقطة المعطاة:
1A. y = x², (3, 9)
1B. y = x² + 4, (-2, 8)

كما يمكنك استعمال صيغة معدل التغير اللحظي لإيجاد معادلة ميل المنحنى عند أي نقطة (x, f(x)) عليه.

--- SECTION: مثال 2 ---
ميل المنحنى عند أي نقطة عليه

أوجد معادلة ميل منحنى y = 4/x عند أي نقطة عليه.
صيغة معدل التغير اللحظي: m = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h
f(x + h) = 4/(x + h), f(x) = 4/x: m = lim (h→0) [4/(x + h) - 4/x] / h
اطرح الكسرين في البسط، ثم التبسيط: m = lim (h→0) [-4h / (x(x + h))] / h
بسط: m = lim (h→0) -4h / [h x(x + h)]
اقسم على h، ثم اضرب: m = lim (h→0) -4 / [x² + xh]
عوض: m = -4 / [x² + x(0)]
بسط: m = -4 / x²
أي أن ميل المماس للمنحنى عند أي نقطة (x, f(x)) عليه هو m = -4 / x²، والشكل المجاور يبين ميل المنحنى عند ثلاث نقط مختلفة.

تحقق من فهمك

--- SECTION: 2 ---
أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه:
2A. y = x² - 4x + 2
2B. y = x³

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: التمثيل البياني للدالة y = x² ومماسها عند (1, 1)
Description: A blue parabola with vertex at the origin (0,0). A red tangent line is drawn at the point (1,1).
X-axis: x
Y-axis: y
Context: Used to visually verify the slope of the tangent line at point (1,1) for Example 1.

**GRAPH**: التمثيل البياني للدالة y = 4/x ومماساتها عند نقط مختلفة
Description: A blue hyperbola with vertical asymptote x=0 and horizontal asymptote y=0. Three red tangent lines are shown at specific points with their slopes labeled.
X-axis: x
Y-axis: y
Key Values: m = -4 at (1, 4), m = -1/16 at (8, 0.5), m = -1/4 at (-4, -1)
Context: Illustrates how the slope of the tangent line changes at different points on the curve y = 4/x for Example 2.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 4

سؤال 1A: أوجد ميل مماس كل منحنى مما يأتي عند النقطة المعطاة: y = x^2, (3, 9)

الإجابة: m = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2-3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{9+6h+h^2-9}{h} = \lim_{h \to 0} (6+h) = 6

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من معلومات: - الدالة: $f(x) = x^2$ - النقطة المعطاة: $(3, 9)$، حيث $x = 3$.
**الخطوة 2 (القانون):** لإيجاد ميل المماس عند نقطة محددة، نستخدم صيغة النهاية للميل: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن $x = 3$ في القانون: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - (3)^2}{h}$$ نفك القوس التربيعي: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h}$$ نختصر العدد 9 مع -9، ثم نقسم على $h$: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h)$$ بتعويض $h = 0$، نجد أن الميل يساوي 6.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن ميل مماس المنحنى عند النقطة (3, 9) هو: **$m = 6$**

سؤال 1B: أوجد ميل مماس كل منحنى مما يأتي عند النقطة المعطاة: y = x^2 + 4, (-2, 8)

الإجابة: m = \lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(-2+h)^2+4-((-2)^2+4)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4-4h+h^2+4-8}{h} = \lim_{h \to 0} (-4+h) = -4

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المعطيات المتوفرة لدينا: - الدالة: $f(x) = x^2 + 4$ - النقطة المعطاة: $(-2, 8)$، حيث $x = -2$.
**الخطوة 2 (القانون):** نطبق قانون ميل المماس باستخدام النهايات: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن $x = -2$: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{((-2+h)^2 + 4) - ((-2)^2 + 4)}{h}$$ نحسب القيم داخل الأقواس: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{(4 - 4h + h^2 + 4) - (4 + 4)}{h}$$ $$m = \lim_{h \to 0} \frac{8 - 4h + h^2 - 8}{h}$$ بالتبسيط والقسمة على $h$: $$m = \lim_{h \to 0} (-4 + h)$$ عندما تقترب $h$ من الصفر، تكون النتيجة -4.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن ميل مماس المنحنى عند النقطة (-2, 8) هو: **$m = -4$**

سؤال 2A: أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: y = x^2 - 4x + 2

الإجابة: m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-4(x+h)+2-(x^2-4x+2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-4x-4h+2-x^2+4x-2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x+h-4) = 2x-4

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو إيجاد معادلة الميل العامة للدالة: $f(x) = x^2 - 4x + 2$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم التعريف العام للميل عند أي نقطة $x$: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
**الخطوة 3 (الحل):** نعوض بالدالة في القانون: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^2 - 4(x+h) + 2) - (x^2 - 4x + 2)}{h}$$ نفك الأقواس ونبسط المقدار: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 4x - 4h + 2 - x^2 + 4x - 2}{h}$$ بعد حذف الحدود المتشابهة: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - 4h}{h}$$ بقسمة جميع الحدود على $h$: $$m = \lim_{h \to 0} (2x + h - 4)$$ بوضع $h = 0$، نحصل على المعادلة النهائية.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن معادلة ميل المنحنى عند أي نقطة هي: **$m = 2x - 4$**

سؤال 2B: أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: y = x^3

الإجابة: m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h} = \lim_{h \to 0} (3x^2+3xh+h^2) = 3x^2

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** الدالة المعطاة هي دالة تكعيبية: $f(x) = x^3$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم صيغة ميل المنحنى العامة: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض في القانون: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$$ نفك التكعيب $(x+h)^3$: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}$$ نحذف $x^3$ مع $-x^3$، ثم نقسم على $h$: $$m = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2)$$ بتعويض $h = 0$ في الحدود المتبقية، يتبقى لدينا $3x^2$.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن معادلة ميل المنحنى للدالة $y = x^3$ هي: **$m = 3x^2$**