تنبيه! - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

مثال 4 السرعة المتجهة اللحظية عند لحظة زمنية معينة

سقطت كرة من قمة بناية ارتفاعها 2000 ft، وتمثل الدالة f(t) = 2000 - 16t^2 ارتفاع الكرة عن سطح الأرض بالأقدام بعد t ثانية من سقوطها. أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للكرة بعد 5 s. لإيجاد السرعة المتجهة اللحظية، افترض أن t = 5، وطبق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. v(t) = lim_{h→0} (f(t + h) - f(t)) / h صيغة السرعة المتجهة اللحظية v(5) = lim_{h→0} (2000 - 16(5 + h)^2 - [2000 - 16(5)^2]) / h f(5 + h) = 2000 - 16(5 + h)^2, f(5) = 2000 - 16(5)^2 = lim_{h→0} (-160h - 16h^2) / h فك المقدار (5 + h)^2 واضرب وبسط = lim_{h→0} (h(-160 - 16h)) / h حلل = lim_{h→0} (-160 - 16h) اقسم على h = -160 - 16(0) = -160 عوض وبسط أي أن سرعة الكرة بعد 5 s هي 160 ft/s، أما الإشارة السالبة فتعني أن الكرة تهبط لأسفل.

التعويض تذكر أن توزع الإشارة السالبة إلى يسار f(t) على كل حد فيها.

تحقق من فهمك

4) سقطت علبة مادة التنظيف من يد عامل في أثناء قيامه بتنظيف نافذة بناية على ارتفاع 1400 ft عن سطح الأرض، وتمثل الدالة h(t) = 1400 - 16t^2 ارتفاع العلبة بالأقدام بعد t ثانية من سقوطها. أوجد السرعة المتجهة اللحظية للعلبة v(t) بعد 7 s.

يمكن إيجاد معادلة للسرعة المتجهة اللحظية عند أي زمن.

مثال 5 السرعة المتجهة اللحظية عند أي لحظة زمنية

تُعطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتيمترات بعد t ثانية بالدالة s(t) = 18t - 3t^3 - 1. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن. طبق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. v(t) = lim_{h→0} (s(t + h) - s(t)) / h صيغة السرعة المتجهة اللحظية = lim_{h→0} (18(t + h) - 3(t + h)^3 - 1 - [18t - 3t^3 - 1]) / h s(t + h) = 18(t + h) - 3(t + h)^3 - 1, s(t) = 18t - 3t^3 - 1 = lim_{h→0} (18h - 9t^2h - 9th^2 - 3h^3) / h فك المقدار (t + h)^3 واضرب وبسط = lim_{h→0} (h(18 - 9t^2 - 9th - 3h^2)) / h حلل = lim_{h→0} (18 - 9t^2 - 9th - 3h^2) اقسم على h = 18 - 9t^2 - 9t(0) - 3(0)^2 عوض وبسط = 18 - 9t^2 بسط أي أن معادلة سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند أي زمن هي v(t) = 18 - 9t^2.

تحقق من فهمك

5) تمثل الدالة s(t) = 90t - 16t^2 ارتفاع صاروخ بعد t ثانية من إطلاقه رأسياً من مستوى سطح البحر، حيث الارتفاع بالأقدام. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للصاروخ عند أي زمن.

152 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

مثال 4 السرعة المتجهة اللحظية عند لحظة زمنية معينة سقطت كرة من قمة بناية ارتفاعها 2000 ft، وتمثل الدالة f(t) = 2000 - 16t^2 ارتفاع الكرة عن سطح الأرض بالأقدام بعد t ثانية من سقوطها. أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للكرة بعد 5 s. لإيجاد السرعة المتجهة اللحظية، افترض أن t = 5، وطبق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. v(t) = lim_{h→0} (f(t + h) - f(t)) / h صيغة السرعة المتجهة اللحظية v(5) = lim_{h→0} (2000 - 16(5 + h)^2 - [2000 - 16(5)^2]) / h f(5 + h) = 2000 - 16(5 + h)^2, f(5) = 2000 - 16(5)^2 = lim_{h→0} (-160h - 16h^2) / h فك المقدار (5 + h)^2 واضرب وبسط = lim_{h→0} (h(-160 - 16h)) / h حلل = lim_{h→0} (-160 - 16h) اقسم على h = -160 - 16(0) = -160 عوض وبسط أي أن سرعة الكرة بعد 5 s هي 160 ft/s، أما الإشارة السالبة فتعني أن الكرة تهبط لأسفل. --- SECTION: تنبيه! --- التعويض تذكر أن توزع الإشارة السالبة إلى يسار f(t) على كل حد فيها. تحقق من فهمك 4) سقطت علبة مادة التنظيف من يد عامل في أثناء قيامه بتنظيف نافذة بناية على ارتفاع 1400 ft عن سطح الأرض، وتمثل الدالة h(t) = 1400 - 16t^2 ارتفاع العلبة بالأقدام بعد t ثانية من سقوطها. أوجد السرعة المتجهة اللحظية للعلبة v(t) بعد 7 s. يمكن إيجاد معادلة للسرعة المتجهة اللحظية عند أي زمن. مثال 5 السرعة المتجهة اللحظية عند أي لحظة زمنية تُعطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتيمترات بعد t ثانية بالدالة s(t) = 18t - 3t^3 - 1. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن. طبق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. v(t) = lim_{h→0} (s(t + h) - s(t)) / h صيغة السرعة المتجهة اللحظية = lim_{h→0} (18(t + h) - 3(t + h)^3 - 1 - [18t - 3t^3 - 1]) / h s(t + h) = 18(t + h) - 3(t + h)^3 - 1, s(t) = 18t - 3t^3 - 1 = lim_{h→0} (18h - 9t^2h - 9th^2 - 3h^3) / h فك المقدار (t + h)^3 واضرب وبسط = lim_{h→0} (h(18 - 9t^2 - 9th - 3h^2)) / h حلل = lim_{h→0} (18 - 9t^2 - 9th - 3h^2) اقسم على h = 18 - 9t^2 - 9t(0) - 3(0)^2 عوض وبسط = 18 - 9t^2 بسط أي أن معادلة سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند أي زمن هي v(t) = 18 - 9t^2. تحقق من فهمك 5) تمثل الدالة s(t) = 90t - 16t^2 ارتفاع صاروخ بعد t ثانية من إطلاقه رأسياً من مستوى سطح البحر، حيث الارتفاع بالأقدام. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للصاروخ عند أي زمن. 152 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447